Objaśnienia i przypisy

Do pojęć raczej intuicyjnie odczuwanych przez wielu, niż rozumianych, należy pojęcie nieskończoności. Było ono przedmiotem badań, począwszy od filozofów greckich jak Arystoteles, a skończywszy na czasach najnowszych i dało niejednokrotnie powód do gorących dyskusji i sporów, również wśród matematyków.

Zastosowanie wartości bezwzględnej pozwala ująć w jednym równaniu opis figury, złożonej z odcinków prostych lub łuków linii krzywych. Artykuł przedstawia kilka metod budowania takich równań dla figur płaskich.

Zazwyczaj zaczynamy naukę tabliczki mnożenia od przykładów z mnożeniem przez 2 (np. 2 × 6 w miejsce 6 + 6). Nauczenie się ich na pamięć nie sprawi dziecku trudności. Ale z tego nie ma żadnej korzyści, a są szkody. Dziecko się nastawi, że na lekcjach rachunków „nie ma co rozumieć”, że tabliczka mnożenia to taki wierszyk w rodzaju „erliczki, perliczki, czerwone guziczki”.

Z punktu widzenia psychologii lepiej by było, gdybyśmy mogli zrezygnować z nauki tabliczki mnożenia, ale w metodyce nauczania nie można zbytnio psychologizować. Nie kosztem logiki i wymogów nauki szkolnej. Tabliczka mnożenia jest koniecznością.

Mam zamiar Ci opowiedzieć o dwóch przeplecionych czworościanach, symetrycznych względem punktu równo odległego od wszystkich wierzchołków. To połączenie czworościanów Luca Pacioli nazwał octahedron elevatum.

W trzeciej części cyklu ,,Wiele ciekawego o liczbach Fibonacciego" wędrujemy z Pizy, w której w 1202 roku o przedmiotowych liczbach pisał Fibonacci, do Gizy, gdzie w wymiarach Wielkiej Piramidy dostrzega się obecność złotej liczby, Φ, a więc tej wielkości, którą -- tak jej nie nazywając -- półtora wieku wcześniej rozważał Euklides. Po drodze zaglądamy m.in. do Pragi, gdzie odwiedzamy Johannesa Keplera i do Glasgow, składając wizytę Robertowi Simsonowi.

W przedostatnim odcinki cyklu piszę o pożytkach zaglądania między lustra, wspominam nie tylko ważne dla mnie książki, ale i wielką przygodę z samodzielnym generowaniem ornamentów.

Znane są wzory na sumy potęg kolejnych liczb naturalnych. Co z sumami pierwiastków (kwadratowych, sześciennych, itd.) kolejnych liczb? Czy istnieją stosunkowo proste wzory dla takich sum? W artykule jest ukazana metoda znajdowania przybliżonych wartości takich sum oparta na narzędziach rachunku różniczkowego i całkowego, m.in. na wykorzystaniu szeregów asymptotycznych.

W części pierwszej naszego cyklu „Wiele ciekawego o liczbach Fibonacciego” odwiedziliśmy Indie (tam przedmiotowe liczby pojawiły się po raz pierwszy), w niniejszej dostrzegliśmy liczby Fibonacciego w drzewach i w fortepianie (dziwacznym, bo kto potrafiłby na nim grać?), wraz z tymi liczbami odwiedziliśmy (wędrując choćby palcem po mapie) Bagdad i Fez, algierską Budiję, Paryż oraz, oczywiście, Pizę.

Liczby doskonałe, podobnie jak doskonali ludzie, są bardzo rzadkie. (Kartezjusz)
Znane liczby doskonałe mają postać 2^{p – 1} · (2^p – 1), gdzie p i 2p – 1 to liczby pierwsze. A co z doskonałością nieparzystą? Niestety, mimo zawziętego szperania w liczbowym cieście, nie udało się dotąd wytropić żadnego „rodzynka”.