Dla sze­ro­kich rzesz nie zna­ją­cych rachun­ku praw­do­po­do­bień­stwa pra­wo wiel­kich liczb jest czymś „magicz­nym”, czymś, co jest naj­wyż­szym pra­wem rzą­dzą­cym świa­tem, któ­ry nas ota­cza. Czę­sto dwaj dys­ku­tan­ci gło­szą­cy sprzecz­ne tezy moty­wu­ją swo­je twier­dze­nia: „… bo to wyni­ka z pra­wa wiel­kich liczb”. Moż­na by przy­to­czyć wie­le bez­sen­sow­nych wypo­wie­dzi na temat tego pra­wa, ale nie to jest celem niniej­sze­go arty­ku­łu. Chce­my tutaj wyja­śnić — posłu­gu­jąc się pew­nym dość ogól­nym mode­lem — treść pra­wa wiel­kich liczb.

Nie zakła­da­my, że Czy­tel­nik posia­da już jakąś wie­dzę z rachun­ku praw­do­po­do­bień­stwa, lub co wię­cej, że zna pro­gram tego przed­mio­tu dla IV kla­sy liceum. Skon­cen­truj­my uwa­gę na doświad­cze­niu pole­ga­ją­cym na rzu­ca­niu zia­re­nek śru­tu na przy­rząd zwa­ny deską Galtona.

W gór­ne wej­ście pochy­lo­nej deski sypie­my śrut. Kul­ki wpa­da­ją w sys­tem kana­li­ków K, bie­gną­cych pomię­dzy sze­ścio­kąt­ny­mi wysep­ka­mi. Kul­ka, któ­ra znaj­du­je się w poło­że­niu \(x\), może następ­nie wpaść albo w kana­lik pra­wy \(a\), albo w lewy \(a’\). Moż­na zało­żyć, że obie moż­li­wo­ści są jed­na­ko­wo praw­do­po­dob­ne. Zanim kul­ka wpad­nie do jed­nej z prze­gró­dek na dole, to sytu­acja ta powtó­rzy się 9 razy, tj. kul­ka musi „wybrać” dzie­więć razy kana­lik \(a\) lub \(a’\). Jeże­li kul­ka 9 razy wybie­rze kana­lik \(a’\), to wpad­nie do szu­flad­ki o nume­rze 0, jeże­li dokład­nie raz wybie­rze kana­lik \(a\) (obo­jęt­nie, w któ­rym momen­cie), a pozo­sta­łe 8 razy kana­lik \(a’\), to wpad­nie do prze­gród­ki o nume­rze 1, itd; wresz­cie, jeże­li za każ­dym razem wybie­rze kana­lik \(a\), to wpad­nie do prze­gród­ki numer 9. Każ­dą dro­gę pro­wa­dzą­cą do prze­gród­ki o nume­rze \(k\) (\(k = 0, 1,\dots, 9\)) moż­na utoż­sa­mić z cią­giem dzie­wię­cio­wy­ra­zo­wym o wyra­zach \(a\) lub \(a’\). Wszyst­kich takich cią­gów jest \(\binom{9}{k}\), a więc tyleż jest róż­nych dróg pro­wa­dzą­cych do prze­gród­ki \(k\). Licz­ba wszyst­kich moż­li­wych dróg rów­na jest 29 (= licz­bie wszyst­kich dzie­się­cio­wy­ra­zo­wych cią­gów o wyra­zach \(a\) lub \(a’\)). Oznacz­my sto­su­nek licz­by wszyst­kich dróg pro­wa­dzą­cych do szu­flad­ki \(k\) do licz­by wszyst­kich dróg w ogó­le przez \(P_9 (k)\):
\[
P_9(k) = \frac{\binom{9}{k}}{2^9}.
\]
Moż­na przy­jąć, że każ­da dro­ga, licząc śred­nio, poja­wia się tak samo czę­sto (bo dla­cze­go pew­ne dro­gi mia­ły­by być bar­dziej uprzy­wi­le­jo­wa­ne, jeże­li całe urzą­dze­nie jest zro­bio­ne dosta­tecz­nie pre­cy­zyj­nie?). Zatem licz­ba \(P_9(k)\) powin­na być nie­mal rów­na czę­sto­ści wpa­da­nia kul­ki do prze­gród­ki \(k\), o ile roz­pa­tru­je­my dosta­tecz­nie wie­le prób pole­ga­ją­cych na pusz­cza­niu zia­re­nek śru­tu. Licz­bę \(P_9(k)\) nazwie­my praw­do­po­do­bień­stwem tra­fie­nia kul­ki do prze­gród­ki \(k\). Przed­staw­my gra­ficz­nie war­to­ści \(P_9(k)\). Na osi \(0X\) pro­wa­dzi­my z każ­de­go punk­tu o odcię­tej \(k = 0, 1, \dots, 9\) odci­nek pro­sto­pa­dły do osi \(OX\) o dłu­go­ści \(P_9(k)\) i łączy­my linią cią­głą wierz­choł­ki tych odcinków.

Widać, że praw­do­po­do­bień­stwo \(a_9\) tra­fie­nia kul­ki w prze­gród­ki o nume­rach 4 lub 5 (= sumie dłu­go­ści odcin­ków pro­wa­dzo­nych z punk­tów o odcię­tych 4 i 5) jest rów­ne 0,492. Ozna­cza to, że śred­nio co dru­ga kul­ka wpa­da w jed­ną z prze­gró­dek o nume­rach 4 lub 5, a prze­cież sta­no­wią one tyl­ko 20\% wszyst­kich przegródek.

A jak wyglą­da sytu­acja, jeśli roz­wa­żyć deskę Gal­to­na z 20 prze­gród­ka­mi (to zna­czy z 19 rzę­da­mi wyse­pek, co ozna­cza, że kul­ka 19 razy „wybie­ra” dro­gę)? Ana­lo­gicz­nie jak poprzed­nio, praw­do­po­do­bień­stwa \(P_{19}(k)\) dotar­cia kul­ki do prze­gród­ki o nume­rze \(k\) okre­ślo­ne są wzorami:
\[
P_{19}(k) = \frac{\binom{19}{k}}{2^{19}},\quad k=0,1,\dots,19.
\]
Gra­ficz­ny obraz liczb \(P_{19}(k)\) jest następujący:

Prze­gród­ki o nume­rach 8, 9, 10, il sta­no­wią dokład­nie 20\% wszyst­kich prze­gró­dek. Oznacz­my przez a19 praw­do­po­do­bień­stwo, że zia­ren­ko śru­tu tra­fi do jed­nej z tych 4 prze­gró­dek. Będzie ono sumą praw­do­po­do­bieństw, że zia­ren­ko tra­fi odpo­wied­nio do prze­gró­dek 8, 9, 10 i 11. Łatwo obli­czyć, że \(a_{19} = 0{,}64\). W przy­bli­że­niu ozna­cza to, że śred­nio na każ­de 3 zia­ren­ka śru­tu 2 tra­fia­ją do tych 20\% prze­gró­dek, a tyl­ko 1 do pozo­sta­łych 80\%.

W przy­pad­kach desek Gal­to­na z 50 i 100 prze­gród­ka­mi wykre­sy są następujące:

Na każ­dym z wykre­sów zazna­czo­no klam­rą 20\% prze­gró­dek, tych o naj­więk­szych praw­do­po­do­bień­stwach. Oznacz­my odpo­wied­nio przez \(a_{49}\) i \(a_{99}\) praw­do­po­do­bień­stwa, że zia­ren­ko śru­tu tra­fi do jed­nej z tych prze­gró­dek. Moż­na obli­czyć, że
\[
a_{49} = 0{,}834,\quad a_{99} = 0{,}966.
\]
Przyj­rzyj­my się licz­bom \(a_{n}\) dla \(n = 9, 19, 49, 99\): w odcin­ku o dłu­go­ści 1 będzie­my odkła­da­li odcin­ki o dłu­go­ściach \(a_n\):

Nasu­wa się przy­pusz­cze­nie, że wraz ze wzro­stem \(n\) praw­do­po­do­bień­stwo \(a_n\) tra­fie­nia w jed­ną z 20\% środ­ko­wych prze­gró­dek wzra­sta do 1, a tym samym praw­do­po­do­bień­stwo tra­fie­nia w jed­ną z pozo­sta­łych 80\% male­je do 0.

Tych 20\% środ­ko­wych prze­gró­dek są to prze­gród­ki o nume­rach \(k\), speł­nia­ją­cych warunek
\[
\left| k-\frac{n}{2} \right| \leq \frac{1}{5}n.
\]
Oznacz­my przez \(S_n\) licz­bę zakrę­tów „w pra­wo” wyko­na­nych przez poje­dyn­czą spa­da­ją­cą kul­kę. Zda­rze­nie, że kul­ka tra­fi w jed­ną ze środ­ko­wych prze­gró­dek, pole­ga na tym, iż kul­ka ta poto­czy się taką dro­gą, że
\[
\left| S_n-\frac{n}{2} \right| \leq \frac{1}{5}n\quad \text{(*)}.
\]
Nasze przy­pusz­cze­nie moż­na więc wyra­zić nastę­pu­ją­co: w cią­gu \(n\) jed­na­ko­wo praw­do­po­dob­nych loso­wań „w pra­wo” lub „w lewo” (\(a\) lub \(a’\)) praw­do­po­do­bień­stwo wylo­so­wa­nia dro­gi o \(S_n\) speł­nia­ją­cym (*) dąży do 1. Praw­do­po­do­bień­stwo zda­rze­nia defi­nio­wa­li­śmy jako gra­ni­cę czę­sto­ści poja­wia­nia się tego zda­rze­nia przy licz­bach prób dążą­cych do nie­skoń­czo­no­ści. A zatem zda­rze­nia o praw­do­po­do­bień­stwach bli­skich 1 nale­ży tłu­ma­czyć sobie jako bar­dzo czę­ste (pra­wie zawsze). Czy­li, prak­tycz­nie bio­rąc, dla dużych \(n\) pra­wie na pew­no licz­ba \(S_n\) musi speł­niać waru­nek (*). Licz­ba \(\frac{1}{5}\) (owe 20\%) nie jest tu uprzy­wi­le­jo­wa­na; te same roz­wa­ża­nia z tymi samy­mi rezul­ta­ta­mi moż­na prze­pro­wa­dzić zastę­pu­jąc licz­bę \(\frac{1}{5}\) dowol­ną licz­bą \(\epsi­lon > 0\).

W naszej desce Gal­to­na loso­wa­nia „w pra­wo” i „w lewo” były jed­na­ko­wo praw­do­po­dob­ne. Gdy­by­śmy skon­stru­owa­li deskę taką, że zda­rze­nia „w pra­wo” i „w lewo” nie są jed­na­ko­wo praw­do­po­dob­ne, na przy­kład praw­do­po­do­bień­stwo, że kul­ka poto­czy się w pra­wo, jest rów­ne \(p\), praw­do­po­do­bień­stwo, że poto­czy się w lewo, jest rów­ne \(q\), \(p \not = q\), \(p + q = 1\), to nie wni­ka­jąc w szcze­gó­ły tech­nicz­ne doszli­by­śmy do nastę­pu­ją­ce­go wnio­sku: praw­do­po­do­bień­stwo zda­rze­nia, że w cią­gu \(n\) loso­wań kana­li­ków \(a\) i \(a’\) licz­ba \(S_n\) wylo­so­wa­nych wyra­zów a speł­nia warunek
\[
|S_n‑n\cdot p| \leq n\cdot \epsilon,\quad (**)
\]
dąży do 1; \(\epsi­lon\) jest tutaj dowol­ną, usta­lo­ną licz­bą dodatnią.

Prak­tycz­nie ozna­cza to, że dla dużych \(n\) nie­rów­ność (**) jest speł­nio­na pra­wie na pew­no. Zazwy­czaj nie­rów­ność (**) zapi­su­je­my w postaci:
\[
\left|\frac{S_n}{n}-p\right|\leq \epsi­lon
\]
Sfor­mu­ło­wa­ny powy­żej wnio­sek został po raz pierw­szy zaob­ser­wo­wa­ny i udo­wod­nio­ny przez szwaj­car­skie­go mate­ma­ty­ka Jaku­ba Ber­no­ul­li (1654—1705). Wnio­sek ten nosi nazwę „pra­wo wiel­kich liczb Ber­no­ul­lie­go”. Jest to histo­rycz­nie pierw­sze twier­dze­nie z cyklu twier­dzeń nazy­wa­nych pra­wa­mi wiel­kich liczb. Oczy­wi­ście loso­wa­nia dróg „w pra­wo” i „w lewo” moż­na zastą­pić loso­wa­niem orła i resz­ki przy rzu­cie mone­tą, loso­wa­niem szóst­ki lub nie-szóstki przy rzu­cie kost­ką, wresz­cie samo loso­wa­nie moż­na zastą­pić pro­ce­sem poro­du, a rezul­ta­ty „w pra­wo”, „w lewo” — płcią nowo­rod­ka: „chło­piec”, „dziew­czyn­ka”. Są to tyl­ko zmia­ny typu inter­pre­ta­cyj­ne­go, sama mate­ma­tycz­na isto­ta zagad­nie­nia pozo­sta­je nie zmieniona.

Pra­wo wiel­kich liczb wypo­wia­da się tyl­ko na temat gra­ni­cy praw­do­po­do­bieństw pew­nych zda­rzeń, nie wyklu­cza więc ono moż­li­wo­ści zda­rzeń takich, w któ­rych poja­wia­ją się dłu­gie serie „w pra­wo” lub „w lewo”. Nie nale­ży tak­że wnio­sko­wać, że zda­rze­nia „w pra­wo” i „w lewo” muszą się na ogół prze­pla­tać lub też że licz­by ich w cią­gu o parzy­stej licz­bie wyra­zów (oznacz­my ją przez \(2n\)) muszą być rów­ne. Wręcz odwrot­nie, gdy \(n\) dąży do nie­skoń­czo­no­ści, to praw­do­po­do­bień­stwa te male­ją do O szyb­ciej niż ciąg \(\frac{1}{\sqrt{n}}\).


Arty­kuł dr. Wie­sła­wa Szlen­ka został pier­wot­nie opu­bli­ko­wa­ny w mie­sięcz­ni­ku Del­ta w nume­rze 11 z 1974 roku.
Fun­da­cja Zakła­dy Kór­nic­kie otrzy­ma­ła zgo­dę redak­cji mie­sięcz­ni­ka na umiesz­cze­nie tek­stu w zaso­bach ser­wi­su muma.edu.pl.