Dzie­ląc przez uła­mek nie pytaj dlaczego,
lecz mnóż przez odwrot­ność, sza­now­ny kolego*.

Kie­dy pierw­szy raz w życiu mie­rzy­my się z dzie­le­niem przez uła­mek? W kla­sie pią­tej podstawówki?

Weź­my dla przy­kła­du \( \frac{4}{5}\\: \frac{2}{3} \).

Jak z takim rachun­kiem nauczy­li­śmy się sobie radzić w szko­le? Sto­su­jąc regu­łę (algo­rytm): Zamiast dzie­lić – mnóż przez odwrot­ność.

\(\frac{4}{5}\\: \frac{2}{3} = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{2}\)

Dora­sta­my z tą regu­łą i, gdy w cza­sie roz­wią­zy­wa­nia jakie­goś zada­nia poja­wi­ła się koniecz­ność dzie­le­nia przez uła­mek, to ją sto­su­je­my, zamie­nia­jąc licz­nik i mia­now­nik ułam­ka miejscami.

Dla­cze­go pomię­dzy ilo­ra­zem \(\frac{4}{5}\\ : \frac{2}{3}\) i ilo­czy­nem \(\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{2}\) moż­na posta­wić znak równości?

Moż­na dla tej wia­ry w popraw­ność szkol­nej regu­ły poszu­kać uzasadnienia.

Nie ma innej dro­gi, jak wyjść od \(\frac{4}{5}\\: \frac{2}{3}\) i tak ten ilo­raz prze­kształ­cić, aby dojść do \(\frac{4}{5}\ \cdot \frac{3}{2}\) .

Zapisz­my ilo­raz w posta­ci „pię­tro­wej”, następ­nie pomnóż­my pomnóż­my zarów­no licz­nik, jak i mia­now­nik tego ułam­ka przez odwrot­ność mianownika:

\[\frac{\ \ \ \ \ \frac{4}{5}\ \ \ \ \ }{\frac{2}{\ 3\ }}\ = \ \frac{\ \ \ \ \ \frac{4}{5}\ \ \ \ \ }{\frac{2}{\ 3\ }}\ \cdot \ \frac{\ \ \ \ \ \frac{3}{2}\ \ \ \ \ }{\frac{3}{\ 2\ }}\]

W koń­cu sto­su­jąc regu­ły mno­że­nia dwóch ułam­ków doj­dzie­my do poszu­ki­wa­ne­go iloczynu:

\[\frac{\ \ \ \ \ \frac{4}{5}\ \ \ \ \ }{\frac{2}{\ 3\ }}\ = \frac{\ \ \ \ \ \frac{4}{5}\ \ \ \ \ }{\frac{2}{\ 3\ }}\ \cdot \ \frac{\ \ \ \ \ \frac{3}{2}\ \ \ \ \ }{\frac{3}{\ 2\ }} = \frac{\ \ \frac{4}{5}\ \ \cdot \ \frac{3}{2}\ \ }{\frac{2}{\ 3\ }\ \cdot \ \ \frac{3}{2}} = \ \frac{\ \ \frac{4}{5}\ \ \cdot \ \frac{3}{2}\ \ }{1} = \ \frac{4}{5}\ \ \cdot \ \frac{3}{2}\ \]

Wypa­da jesz­cze dokoń­czyć nasze rachun­ki, by stwier­dzić, że \( \frac{4}{5}\\: \frac{2}{3}\) daje wynik \(\frac{6}{5}.\)

***

W regu­le Zamiast dzie­lić, mnóż przez odwrot­ność odwo­łu­je­my się (bez­re­flek­syj­nie?) do poję­cia odwrot­no­ści liczby.

Licz­bą odwrot­ną do licz­by \({x}\), róż­nej od 0, jest taka licz­ba \({y}\), dla któ­rej \( {x} \cdot {y} = {1}.\) Wte­dy \( y = \frac{1}{x}.\)
Oczy­wi­ście ta rela­cja jest syme­trycz­na, tzn. licz­bą odwrot­ną do licz­by \(\frac{1}{x}\) jest licz­ba \({x}.\)

Wyko­rzy­stu­jąc poję­cie odwrot­no­ści licz­by, może­my zde­fi­nio­wać ope­ra­cję dzie­le­nia przez ułamek.

Załóż­my, że licz­by \({a}, {b}, {c} \ i\ {d}\) są licz­ba­mi cał­ko­wi­ty­mi dodat­ni­mi. Wówczas

\[\frac{a}{b}\\ : \frac{c}{d}\ = \frac{a}{b}\ \ \cdot \frac{1}{\frac{c}{d}} = \ \frac{a}{b}\ \ \cdot \ \frac{d}{c}\]

Mate­ma­ty­ka to defi­ni­cje (poję­cia) i algo­ryt­my (regu­ły). Te dwa obli­cza mate­ma­ty­ki są jak dwie stro­ny jed­nej monety.

Uwa­ga. Powyż­szy tekst w wer­sji do wydru­ku znaj­du­je się w pli­ku PDF.

* When divi­ding frac­tions don’t ask why, just flip the second and multiply.
Ta mne­mo­tech­ni­ka jest przy­wo­ła­na w książ­ce Maths for Mums and Dads (auto­rzy: R. Eastway, M. Askew).
Pol­ska wer­sja pocho­dzi z pol­skie­go wyda­nia książ­ki (wydaw­nic­two Mamania).