Ocalona cyfra

Ucznio­wie otrzy­ma­li do roz­wią­za­nia w domu nastę­pu­ją­ce zadanie:

Zada­nie wyda­wa­ło się pro­ste, wyjąt­ko­wo pro­ste. Nie­któ­rzy zaczę­li podej­rze­wać (i słusz­nie), że nauczy­ciel, pro­po­nu­jąc takie zada­nie, miał jakiś ukry­ty cel.

Następ­ne­go dnia w cza­sie pre­zen­ta­cji roz­wią­zań zadań, na tabli­cy poja­wi­ły się trzy spo­so­by roz­wią­za­nia zadania.
Co jed­nak cie­kaw­sze — przy­bli­że­nia dłu­go­ści poszu­ki­wa­ne­go odcin­ka zosta­ły przez auto­rów zapi­sa­ne róż­nie: \(0{,}41\) oraz \(0{,}414\).
Zosia, autor­ka ostat­niej pro­po­zy­cji roz­wią­za­nia, upie­ra­ła się, że w uzy­ska­nym przez nią przy­bli­że­niu wszyst­kie cyfry są zna­czą­ce (pew­ne).
Czy mia­ła rację?

Oto roz­wią­za­nie Wojtka:

\( x + 1 = \sqrt{2}, \)

skąd

\( x = \sqrt{2} – 1 \approx 0{,}41. \)

Taki spo­sób roz­wią­za­nia (jak Wojt­ka) domi­no­wał w klasie.

Andrzej, prze­kor­ny z natu­ry, posta­no­wił pro­blem opi­sać rów­na­niem kwadratowym: \(
(x + 1)^2 = 1^2 + 1^2,
\) któ­re prze­kształ­cił do postaci: \(
x^2 + 2x – 1 = 0
\) i roz­wią­zał, korzy­sta­jąc ze wzo­rów na pier­wiast­ki trój­mia­nu kwadratowego.
Jed­no z roz­wią­zań było licz­bą dodat­nią, więc uczeń zakoń­czył swą pre­zen­ta­cję, pisząc na tablicy: \(
x = \sqrt{2} – 1 \approx 0{,}41.
\)

Na koń­cu swo­je roz­wią­za­nie zapi­sa­ła Zosia.
Kole­dzy i kole­żan­ki spo­dzie­wa­li się, że ta dziew­czy­na, uczest­nicz­ka kon­kur­sów mate­ma­tycz­nych, może ich czymś zaskoczyć.

I tym razem Zosia nie rozczarowała.
Zasto­so­wa­ła bowiem… twier­dze­nie o siecz­nych (patrz powyż­szy rysu­nek) i otrzy­ma­ła równanie:

\(
x (\sqrt{2} + 1) = 1 \cdot 1,
\)

a stąd

\(
x = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \approx 0{,}414.
\)

Dziew­czy­na prze­ko­ny­wa­ła, że sko­ro przybliżenie \(
\sqrt{2} \approx 1{,}41
\) zawie­ra trzy pew­ne cyfry (tj. 1 nie powsta­ło przez zaokrą­gle­nie w górę), to w kon­se­kwen­cji pew­ne są też trzy cyfry ilorazu \(
\frac{1}{2,41} \approx 0{,}414.
\)

Na popar­cie swej tezy zapi­sa­ła na tabli­cy i obja­śni­ła oszacowanie: \(
0{,}414 < \frac{1}{2,415} < 0{,}415.
\)

Po pre­zen­ta­cjach roz­wią­zań w kla­sie wywią­za­ła się poucza­ją­ca dys­ku­sja. Nauczy­ciel przez dłuż­szy czas jej nie przerywał.
Zosia prze­ko­ny­wa­ła, że np. w przy­pad­ku koła o pro­mie­niu 100 m jej przy­bli­że­nie pozwo­li­ło­by podać poszu­ki­wa­ną odle­głość z dokład­no­ścią do 10 cm, co w prak­ty­ce obli­czeń (np. inży­nier­skich) może być istotne.

W koń­cu głos zabrał nauczy­ciel i potwier­dził, że meto­da zasto­so­wa­na przez Zosię pozwo­li­ła na wyzna­cze­nie odpo­wie­dzi do zada­nia z więk­szą dokład­no­ścią. Zwró­cił uwa­gę na to, że choć różnica \(
\sqrt{2} – 1
\) jest odwrot­no­ścią sumy \( {\sqrt{2} + 1} \), to w rachun­ku przy­bli­żo­nym (tj. gdy \( \sqrt{2} \) zastą­pi­my jego przy­bli­że­niem) ma zna­cze­nie, czy posłu­ży­my się licz­bą \( 0{,}41 \), czy licz­bą \( 1/2{,}41 \).
Nauczy­ciel stwier­dził, że w pierw­szym przy­pad­ku (\( 0{,}41 \)) przy­czy­ną utra­ty dokład­no­ści była ope­ra­cja odej­mo­wa­nia: doszło do zja­wi­ska zwa­ne­go zno­sze­niem się (ang. can­cel­la­tion) cyfr odjem­nej i odjemnika.

Nauczy­ciel posłu­żył się jesz­cze jed­nym przy­kła­dem uka­zu­ją­cym to, że róż­ni­ca dwóch pra­wie iden­tycz­nych liczb może mieć bar­dzo małą dokład­ność względ­ną: np. jeśli \(
x=0{,}1234\pm\frac{1}{2}\cdot{10}^{-4}
\) oraz \(
y=0{,}1233\pm\frac{1}{2}\cdot{10}^{-4},
\) to \(
x – y = 0{,}0001\pm 0{,}0001
\), to osza­co­wa­nie błę­du przy­bli­że­nia różnicy \(
x – y \) jest tak samo duże, jak otrzy­ma­na różnica!

***

Ucznio­wie przed­sta­wio­nej wyżej kla­sy mie­li szczę­ście, że ich nauczy­ciel mate­ma­ty­ki uczył ich rów­nież infor­ma­ty­ki. Jed­ną z kolej­nych lek­cji tego przed­mio­tu poświę­cił zagad­nie­niom algo­ryt­mów nie­sta­bil­nych (takim jest tzw. algo­rytm del­ty) oraz zadań źle uwa­run­ko­wa­nych nume­rycz­nie (takim jest odej­mo­wa­nie). Przy­wo­łał wów­czas roz­wią­za­nie Andrze­ja, któ­ry roz­wią­zy­wał rów­na­nie kwadratowe
\[
a x^2 + b x + c = 0
\]
sto­su­jąc zna­ny wszyst­kim uczniom szkół śred­nich wzory:
\[
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
\]

i

\[
x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},
\]
gdzie \(
\Del­ta = b^2 – 4 a c.
\)

Ucznio­wie mie­li oka­zję się prze­ko­nać, że ist­nie­ją rów­no­waż­ne wzory:

\[
x_1=\frac{2c}{-b+\sqrt{\Delta}}
\]

i

\[
x_2=\frac{2c}{-b-\sqrt{\Delta}}.
\]

Odpo­wied­ni z tych wzo­rów moż­na by zasto­so­wać wów­czas, gdy poja­wia się ryzy­ko zno­sze­nia się cyfr odjem­nej i odjem­ni­ka, tj. w sytu­acji, gdy iloczyn \(
\lvert 4ac \rvert \) jest licz­bą znacz­nie mniej­szą niż \( b^2 \).

Wyzwania

1. Wykaż, że przy­bli­że­nie że\(\sqrt{2} \approx 1,41\) jest obar­czo­ne błę­dem (względ­nym) mniej­szym niż \(0{,}3\%\).
2. Wykaż, że odpo­wiedź \(0{,}41\), uzy­ska­na przez więk­szość uczniów, była obar­czo­na błę­dem prze­kra­cza­ją­cym \(1\%\).
3. Uza­sad­nij popraw­ność wzo­rów, o któ­rych jest mowa w ostat­nim akapicie.

Pier­wot­na wer­sja arty­ku­łu pt. Pułap­ki obli­czeń przy­bli­żo­nych była opu­bli­ko­wa­na w 2016 r. na Poznań­skim Por­ta­lu Mate­ma­tycz­nym pro­wa­dzo­nym przez Poznań­ską Fun­da­cję Mate­ma­tycz­ną.
Paweł Pere­kiet­ka – autor arty­ku­łu – był wów­czas nauczy­cie­lem w V Liceum Ogól­no­kształ­cą­cym im. Klau­dy­ny Potoc­kiej w Poznaniu.