Syme­tria osio­wa, środ­ko­wa, płasz­czy­zno­wa… To nie wszyst­kie rodza­je syme­trii. Czę­sto lepiej uży­wać innych okre­śleń, np. odwo­łu­ją­cych się do zna­ne­go wszyst­kim zwier­cia­dła. Nie powin­ni­śmy się ogra­ni­czać tyl­ko do geo­me­trii, syme­trię znaj­du­ją też bada­cze lite­ra­tu­ry, muzy­ko­lo­dzy i inni.
Seria ese­jów, któ­rą tu roz­po­czy­nam, nie jest wykła­dem, próż­no szu­kać tu ści­słych defi­ni­cji. Wie­le zagad­nień led­wie muskam, ale też nawią­zu­ję do róż­nych dzie­dzin życia i wie­dzy, przy oka­zji rów­nież do moich pasji.
Do zaję­cia się tema­tem syme­trii spro­wo­ko­wa­ło mnie pyta­nie o osie syme­trii dwu­na­sto­ścia­nu foremnego.

To jed­no pyta­nie (o osiach syme­trii w prze­strze­ni opo­wiem póź­niej) ude­rzy­ło mnie jak grom z jasne­go nie­ba: ojej, jakie jest bogac­two mate­ma­ty­ki, jak wie­le pięk­nych zja­wisk kry­je poję­cie syme­trii, a jak nie­wie­le i cha­otycz­nie prze­ka­zu­je na ten temat szkoła.
Nie podam tra­dy­cyj­nej biblio­gra­fii, lecz opi­szę publi­ka­cje, któ­re były dla mnie inspi­ra­cją. Wśród nich znaj­dą się tak­że książ­ki skie­ro­wa­ne do wyma­ga­ją­cej publicz­no­ści, potrze­bu­ją­cej bar­dziej ści­słych lub facho­wych określeń.

Część I. Zagadki
Spro­wo­ko­wa­ny nie­istot­nym z pozo­ru zda­rze­niem posta­no­wi­łem dokład­niej zająć się poję­ciem syme­trii i jej miej­scem w edu­ka­cji mate­ma­tycz­nej – od naucza­nia począt­ko­we­go do mate­ma­ty­ki akademickiej.
Pierw­sza część to zagadka.
Na ilu­stra­cjach widać zeska­no­wa­ne wyszy­wan­ki (na czar­nym papie­rze) zro­bio­ne według pew­nej regu­ły. Pro­szę spró­bo­wać odtwo­rzyć tę zasadę.

Na bia­łym tle „wyszy­te” w Geo­Ge­brze według tej samej zasa­dy rysunki.

Regu­ła rzą­dzą­ca tymi rysun­ka­mi ma zwią­zek z aryt­me­ty­ką, to jedy­na podpowiedź.

Oddziel­ną zagad­ką jest syme­tria widocz­na w tych nicia­nych rysun­kach. Jeśli już zro­zu­mie­my, jak powsta­ją te rysun­ki, zasta­nów­my się nad uza­sad­nie­niem ist­nie­nia tej symetrii.

Wyja­śnie­nie zaga­dek ujaw­ni­my w któ­rymś z kolej­nych odcin­ków serii.

Część II. Na począt­ku szko­ły – kla­sy początkowe
Kie­dyś (gdy pra­co­wa­łem na uczel­ni) wybra­łem się z moimi stu­den­ta­mi na hospi­ta­cje do kla­sy II lub III szko­ły pod­sta­wo­wej. Tym razem nie była to lek­cja mate­ma­ty­ki, lecz pla­sty­ki. Temat lek­cji: oś syme­trii.
Nauczy­ciel­ka przy­go­to­wa­ła spo­ro zdjęć przed­sta­wia­ją­cych róż­ne syme­trycz­ne obiek­ty – lalecz­kę, moty­la, góry prze­glą­da­ją­ce się w sta­wie itp. Dość szyb­ko zaapli­ko­wa­ła uczniom poję­cie i wyra­że­nie „oś syme­trii” i zale­ci­ła, by się nim posłu­gi­wa­li. Teraz to oni mie­li poka­zy­wać przy­kła­dy syme­trii. Wszyst­ko zgod­nie pla­nem: ław­ka jest syme­trycz­na, tabli­ca jest syme­trycz­na, okno jest, coś tam jesz­cze. Gdzie jest oś syme­trii ław­ki? Tabli­cy? Coraz trud­niej było zna­leźć przy­kład w oto­cze­niu. Chło­piec z ostat­niej ław­ki powie­dział nieśmiało:
– Cia­ło ludz­kie jest symetryczne.
– A gdzie ma oś syme­trii? – bły­ska­wicz­nie spy­ta­ła nauczycielka.
Po chwi­li mil­cze­nia usłyszeliśmy:
– No, no… Kręgosłup.

Ta odpo­wiedź nie spo­tka­ła się z pochwa­łą nauczy­ciel­ki. Poraż­ka! (Czy­ja!?!)
Mnie pomysł chłop­ca bar­dzo się spodo­bał. Jestem skłon­ny twier­dzić, że z całej kla­sy to on naj­głę­biej prze­żył i zro­zu­miał, o czym była ta lekcja.
W tym zda­rze­niu moż­na uchwy­cić kil­ka zjawisk:
• Przed­wcze­sne nazy­wa­nie pojęć, któ­rych jed­no­znacz­ność jest bar­dzo zależ­na od kontekstu.
• Uży­cie ści­słe­go poję­cia mate­ma­tycz­ne­go tam, gdzie intu­icja dzie­ci jest bar­dzo sil­na, w dodat­ku uży­cie błęd­ne w kon­fron­ta­cji z popraw­nym rozu­mo­wa­niem dziecka.
Dla­cze­go błęd­ne? Obraz­ki, choć same były pła­skie, przed­sta­wia­ły obiek­ty trój­wy­mia­ro­we, mają­ce płasz­czy­znę syme­trii, nie oś. Pod­kre­ślam: płasz­czy­znę. A płasz­czy­znę miał na myśli chło­piec, ale nie miał do tego sto­sow­ne­go wyrażenia.
• No i czę­sty, nie­ste­ty, grzech naucza­ją­cych: brak pró­by zro­zu­mie­nia tego, co uczeń miał na myśli, jak­by uczeń nie miał pra­wa myśleć ina­czej niż zaplanowano.
Osta­tecz­nie hospi­to­wa­na lek­cja nale­ża­ła do tych, któ­re ze stu­den­ta­mi oma­wia­li­śmy w cyklu: Jak nie należy…

Kło­pot stwo­rzy­li „mądrzy” twór­cy pro­gra­mu naucza­nia. Zamiast sto­so­wać poję­cie osi syme­trii, poję­cie o wąskim zna­cze­niu, wystar­czy­ło mówić o syme­trii zwier­cia­dla­nej. Sęk w tym, że było­by zbyt mało „nauko­wo”.

Z żalem obser­wu­ję, jak coraz mniej wagi przy­wią­zu­je się do dzia­łań manu­al­nych, do roz­wo­ju małej moto­ry­ki, ćwi­cze­nia oka i ręki. Kie­dyś jesie­nią czę­sto widy­wa­ło się dzie­ci krą­żą­ce pod drze­wa­mi i szu­ka­ją­ce kasz­ta­nów, któ­re póź­niej wyko­rzy­sty­wa­ły m.in. do wyro­bu kasz­ta­no­wych ludzi­ków i zwie­rzą­tek. Mam wra­że­nie, że tego się już nie robi. Boję się spy­tać, czy w szko­le uży­wa się jesz­cze plasteliny…

Moż­na jed­nak cza­sem zoba­czyć wyci­nan­ki robio­ne na zaję­ciach z pla­sty­ki. Oprócz pre­cy­zyj­ne­go uży­cia noży­czek ucznio­wie mają oka­zję do obser­wa­cji syme­trii, na ogół wzglę­dem dwóch pro­stych pro­sto­pa­dłych. Tro­chę bar­dziej skom­pli­ko­wa­ne jest wyci­na­nie z wyko­rzy­sta­niem trzech zło­żeń, w tym wypad­ku moż­na spró­bo­wać wyzwo­lić pomy­sło­wość – jak zło­żyć papier, czy jak wzglę­dem sie­bie mają się mieć krzy­żu­ją­ce się w jed­nym punk­cie proste.

Na foto­gra­fiach widać dwie wyci­nan­ki (o róż­nych syme­triach!) z wysta­wy pre­zen­to­wa­nej przed laty w Pra­cow­ni Cało­do­bo­wej* pod­czas Kon­fe­ren­cji Kra­jo­wej Sto­wa­rzy­sze­nia Nauczy­cie­li Mate­ma­ty­ki. Jak skła­da­ny był papier?

Nie­co inne uży­cie noży­czek może być dobrym ćwi­cze­niem wyobraź­ni geo­me­trycz­nej. Jak trze­ba zło­żyć papier i gdzie zro­bić (jedy­ne!) cię­cie, żeby po roz­ło­że­niu zoba­czyć… No wła­śnie, to zda­nie może mieć róż­ne zakoń­cze­nia: trój­kąt o róż­nych kątach, siedmiokąt…
Ale to już nie wyci­nan­ki. Uru­cho­mio­na jest inne­go rodza­ju wyobraź­nia, wysi­łek jest bar­dziej skie­ro­wa­ny na zro­zu­mie­nie wła­sno­ści syme­trii (lustrza­nej) niż w walo­ry este­tycz­ne powsta­ją­ce­go wzo­ru. Zapew­ne nie moż­na się obejść bez eks­pe­ry­men­tów. I jesz­cze jed­no zdję­cie. Czy to jest wycinanka?

Część III. Intu­icje syme­trii przy oka­zji brył
Zain­te­re­so­wa­ny wyobraź­nią prze­strzen­ną dzie­ci pro­wa­dzi­łem kie­dyś obser­wa­cje uczniów klas III i VI. Dzie­ci były fil­mo­wa­ne pod­czas ćwi­czeń z bry­ła­mi geo­me­trycz­ny­mi. Mia­ły do czy­nie­nia z nie­ty­po­wy­mi dla szkol­nych zajęć pro­ble­ma­mi, ale nie­prze­kra­cza­ją­cy­mi ich moż­li­wo­ści. Zada­nia obej­mo­wa­ły łami­głów­ki, doda­wa­nie szcze­gó­łów na siat­ce, kla­sy­fi­ka­cję brył według wła­snych kry­te­riów… Wszyst­kie mode­le były prze­ze mnie zro­bio­ne z gru­be­go, odpor­ne­go kartonu.
Jed­ną z czyn­no­ści, któ­re zapro­po­no­wa­łem, było budo­wa­nie z „kloc­ków”.
Dzie­ci mia­ły do dys­po­zy­cji dzie­siąt­ki czwo­ro­ścia­nów dwóch kształ­tów (jak na załą­czo­nym obrazku).

Czwo­ro­ścia­ny nie nada­wa­ły się do naśla­do­wa­nia sie­ci pro­sto­pa­dło­ścia­nów cha­rak­te­ry­stycz­nych dla zwy­kłych drew­nia­nych kloc­ków, czy kloc­ków z pod­sta­wo­we­go zesta­wu LEGO. Uczest­ni­cy tych ćwi­czeń musie­li się więc mie­rzyć z nie­oswo­jo­ny­mi kształ­ta­mi i two­rzyć coś w nie­ty­po­wych warunkach.
Wszyst­kie dzie­ci, zarów­no młod­sze, jak i star­sze – ukła­da­ły budow­le syme­trycz­ne (ści­ślej: mają­ce co naj­mniej jed­ną płasz­czy­znę syme­trii). Kie­dy układ urósł z jed­nej stro­ny, zaraz musiał być zrów­no­wa­żo­ny z dru­giej stro­ny, syme­tria wracała.
Nie było wyjąt­ków… Ale…
Jeden chło­piec (III kla­sa) budo­wał nie­sy­me­trycz­nie. Kie­dy to zauwa­ży­łem, zaczą­łem bar­dzo dokład­nie obser­wo­wać jego zasa­dę postę­po­wa­nia. Pra­co­wał w sku­pie­niu i kon­se­kwent­nie. Wresz­cie zro­zu­mia­łem jego zamysł: jeśli poja­wia­ła się syme­tria, burzył część lub dokła­dał coś, aby ją zniszczyć.
Wszyst­kie dzie­ci odwo­ły­wa­ły się do syme­trii, nie nazy­wa­jąc jej wprost. Jedy­ną for­mą eks­pre­sji były czyn­no­ści manu­al­ne. Cza­sem – jeśli ukła­da­ły moje kloc­ki we dwój­kę – wymie­nia­ły mię­dzy sobą uwa­gi, w któ­rych ukry­ta była myśl o porząd­ku, powta­rzal­no­ści, de fac­to o symetrii.

Przy oka­zji: przy łami­głów­kach i pyta­niach o szcze­gó­ły na siat­ce, przy kloc­kach też w pew­nym stop­niu, a przy kla­sy­fi­ka­cji brył szcze­gól­nie, młod­si byli spon­ta­nicz­ni i odważ­ni, widać zaś było spo­wol­nie­nie star­szych uczniów, wzrost ostroż­no­ści w stwier­dze­niach. Na ogół młod­si z zagad­ka­mi radzi­li sobie lepiej od star­szych kolegów.

Jeśli któ­raś z Czy­tel­ni­czek chcia­ła­by (któ­ryś z Czy­tel­ni­ków chciał­by) zro­bić kopie moich kloc­ków: jeden z nich to czwo­ro­ścian forem­ny, dru­gi – ćwiart­ka ośmio­ścia­nu forem­ne­go o kra­wę­dzi rów­nej kra­wę­dzi czwo­ro­ścia­nu foremnego.
Dla chęt­nych dodat­ko­we zada­nie. Jak z tych dwóch rodza­jów kloc­ków zbu­do­wać więk­szy czwo­ro­ścian forem­ny? Czy da się z nich zło­żyć ośmio­ścian forem­ny? A sześcian?

Jan Bara­now­ski

* Wię­cej o Pra­cow­ni na stro­nie: http://warsztatotwarty.blogspot.com/