Stopa stopie nierówna

Prze­tóż prze­czy­tw­szy raz ty książki,
jeśli ie dru­gi raz przeczytasz,
będziesz ie lepiey rozu­miał niż za pierw­szym razem:
a im wię­cey sye będziesz tym bawił,
tym lep­szym będziesz Geometrem.
Sta­ni­sław Grzepski
(w przed­mo­wie do „Geo­me­trii“ z 1566 r.)

Wstęp
Przyj­rzyj­my się uważ­nie poniż­sze­mu rysun­ko­wi z I poło­wy XVI w.
Jakie pyta­nia i myśli poja­wia­ją się pod­czas „czy­ta­nia” tego rene­san­so­we­go obrazu?

Widzi­my męż­czyzn sto­ją­cych jeden za dru­gim. Jed­ni są star­si, a inni młodsi.
Zaję­ci są rozmowami.
Jakie emo­cje może­my odczy­tać z twa­rzy i gestów mężczyzn?
W jakim celu utwo­rzy­li tę zagad­ko­wą kolejkę?
Czy są ubra­ni odświętnie?
Zapew­ne histo­ryk rene­san­su mógł­by nam coś powie­dzieć o sta­tu­sie spo­łecz­nym poszcze­gól­nych męż­czyzn i o tym, jaką pra­cą zaj­mo­wa­li się na co dzień.

Lewe sto­py męż­czyzn two­rzą linię pro­stą. Mię­dzy sto­pa­mi nie widać odstę­pów, sty­ka­ją się.
Co znaj­du­je się pod sto­pa­mi mężczyzn?
Co robią trzej męż­czyź­ni widocz­ni na dal­szym pla­nie po lewej?
Jaki budy­nek widzi­my po pra­wej stronie?

Pod­ręcz­nik geo­me­trii praktycznej
Obraz, któ­ry „czy­ta­li­śmy” pocho­dzi z dzie­ła pt. Geo­me­trei, autor­stwa Jaco­ba Köbe­la (1462–1533), któ­ry stu­dio­wał sztu­kę i pra­wo na uni­wer­sy­te­cie w Heidel­ber­gu, a mate­ma­ty­kę w Aka­de­mii Kra­kow­skiej¹. Dzie­ło to wyda­no po raz pierw­szy w 1535 roku we Frank­fur­cie nad Menem, już po śmier­ci autora.
Był to pierw­szy w języ­ku nie­miec­kim pod­ręcz­nik dla mier­ni­czych, zaj­mu­ją­cych się mię­dzy inny­mi „mie­rze­niem i wyty­cza­niem ogro­dów zio­ło­wych, win­nic, gospo­darstw rol­nych” (sło­wa z pod­ty­tu­łu dzie­ła Köbela).
Od XVI w. mier­ni­czych nazy­wa się geo­me­tra­mi.² Dla­te­go w tytu­le mamy sło­wo Geo­me­trei (pisow­nia wyra­zu z XVI w.)
W pod­ręcz­ni­ku Köbe­la moż­na zna­leźć ilu­stra­cje przed­sta­wia­ją­ce mier­ni­cze­go pod­czas pracy.
Co cie­ka­we, na dwóch drze­wo­ry­tach geo­me­tra jest przed­sta­wio­ny w rene­san­so­wym kape­lu­szu ze stru­sim piórem.

Przy­rząd, któ­ry mier­ni­czy trzy­ma w rękach to pręt mier­ni­czy (kij pomia­ro­wy).³
Ktoś może zapy­tać o cel przed­sta­wie­nia trój­ką­ta czy pół­ko­la na rysun­kach. Otóż w pod­ręcz­ni­ku były ilu­stra­cja­mi tek­stu, w któ­rym opi­sa­no, jak obli­czać pola powierzch­ni, któ­re nie są prostokątne.
Jeśli jesz­cze raz przyj­rzy­my się powyż­szym rysun­kom, to na pew­no zauwa­ży­my podział­kę na prę­cie mier­ni­czym. Moż­na się nawet poku­sić o zli­cze­nie, z ilu rów­nej dłu­go­ści odcin­ków skła­da się taki pręt.

W języ­ku pol­skim pierw­szy pod­ręcz­nik mier­nic­twa wyda­no w 1566 roku. Nosił tytuł Geo­me­tria to iest Mier­nic­ka Nauka. Jego auto­rem był Sta­ni­sław Grzep­ski, pro­fe­sor Aka­de­mii Krakowskiej.

Wzo­rzec stopy
W pod­ręcz­ni­ku Köbe­la dłu­gość prę­ta mier­ni­cze­go to 16 stóp.
Aha! Na ana­li­zo­wa­nym przez nas rysun­ku, na któ­rym męż­czyź­ni sta­li w tajem­ni­czej kolej­ce, ich lewe sto­py były posta­wio­ne w linii przy prę­cie mier­ni­czym, z podział­ką dłu­go­ści uśred­nio­nej (wzor­co­wej) stopy.

Drze­wo­ryt przed­sta­wia reali­za­cję prze­pi­su (algo­ryt­mu), cyto­wa­ne­go w Geo­me­trei:

Szes­na­stu ludzi,
małych i wielkich,
tak, jak wycho­dzą z kościoła,
w nie­dziel­ny poranek,
mają usta­wić obu­te stopy,
po jed­nej, w rzędzie.
(tekst pol­ski za [7, s. 9])

Dalej autor pod­ręcz­ni­ka stwier­dza, że uzy­ska­na w ten spo­sób dłu­gość będzie wła­ści­wą (legal­ną) dłu­go­ścią dla prę­ta mier­ni­cze­go, a szes­na­sta jej część – wzor­cem sto­py jako jed­nost­ki miary.
God­na uwa­gi jest przej­rzy­stość pro­ce­su. Dłu­gość prę­ta mier­ni­cze­go wery­fi­ko­wa­no publicz­nie, o usta­lo­nej porze i w miej­scu, dokąd każ­dy miesz­ka­niec, boga­ty i bied­ny, mógł przy­być i obser­wo­wać cały pro­ces. Trzej męż­czyź­ni na dru­gim pla­nie obra­zu mogli być wła­śnie obser­wa­to­ra­mi.⁴
Prze­pis przed­sta­wio­ny przez Köbe­la był pró­bą ujed­no­li­ce­nia, jak współ­cze­śnie byśmy powie­dzie­li – pró­bą stan­da­ry­za­cji – dwóch jed­no­stek dłu­go­ści i ich wza­jem­ne­go powią­za­nia (sto­pa pod­wie­lo­krot­no­ścią pręta).
Dodaj­my wyraź­nie, że prze­pis z dzie­ła pt. Geo­me­trei pozwa­lał oczy­wi­ście nie tyl­ko na wery­fi­ka­cję dłu­go­ści prę­ta, ale i na odtwo­rze­nie dłu­go­ści jed­no­stek (prę­ta i sto­py) w róż­nych miej­scach (mia­stach i wio­skach), by moż­li­we było przy­go­to­wa­nie odpo­wied­nie­go prę­ta mier­ni­cze­go, w przy­bli­że­niu rów­ne­go innym uży­wa­nym już wcze­śniej na innym obszarze.

Dla­cze­go 16?
Odpo­wiedź wyda­je się pro­sta – aspekt obli­cze­nio­wy. Wyzna­cze­nie 1/16 dłu­go­ści prę­ta jako dłu­go­ści wzor­co­wej sto­py jest pro­ste: wystar­czą czte­ry poło­wie­nia odcin­ka sznu­ra o dłu­go­ści pręta.
Czy z prak­tycz­ne­go punk­tu widze­nia nie było­by łatwiej zmie­rzyć dłu­gość stóp usta­wio­nych w linii 8 męż­czyzn, a na wynik pomia­ru podwo­ić, by usta­lić dłu­gość prę­ta jako jed­nost­ki pomiaru?
Histo­ry­cy mate­ma­ty­ki są prze­ko­na­ni, że wybór 16 był dobrze prze­my­śla­ny⁵ i praw­do­po­dob­nie popar­ty doświad­cze­niem, tj. podej­mo­wa­ny­mi wcze­śniej pró­ba­mi z mniej­szą licz­bą stóp, któ­re były zakoń­czo­ne nie­po­wo­dze­niem – róż­ni­ce mię­dzy war­to­ścia­mi śred­ni­mi były znaczące.
Ze współ­cze­snej teo­rii sta­ty­sty­ki mate­ma­tycz­nej wyni­ka, że w przy­pad­ku, gdy mamy do czy­nie­nia z roz­kła­dem jakiejś cechy bli­skim roz­kła­do­wi nor­mal­ne­mu (wte­dy media­na, moda i śred­nia aryt­me­tycz­na są rów­ne), to wiel­kość pró­by w tym doświad­cze­niu loso­wym koniecz­na do wyzna­cze­nia wia­ry­god­ne­go przy­bli­że­nia śred­niej aryt­me­tycz­nej war­to­ści tej cechy (np. dłu­go­ści sto­py) to przy­naj­mniej 15–16 loso­wych pomia­rów (osób).
W przy­pad­ku ogra­ni­cze­nia się do mniej­szej licz­by loso­wych war­to­ści (np. 8 osób) nie otrzy­ma­my wia­ry­god­ne­go przy­bli­że­nia (wów­czas efekt tzw. zno­sze­nia się dłu­go­ści krót­kiej sto­py i dłu­giej sto­py jest zwy­kle niewystarczający).

Zakoń­cze­nie
Na koniec war­to dopo­wie­dzieć, że ujed­no­li­co­ny sys­tem metrycz­ny, któ­ry jako jed­nost­kę przyj­mu­je metr ma nie­wie­le ponad 100 lat. W XIX w. Pola­cy na tere­nie poszcze­gól­nych zabo­rów posłu­gi­wa­li się róż­ny­mi sys­te­ma­mi mie­rze­nia, np. opar­ty­mi na łok­ciu (rów­nym ok. 57,2 cm w zabo­rze rosyj­skim, a ok. 59,6 cm w zabo­rze austriac­kim) lub sto­pie pru­skiej (ok. 31,4 cm).
Cza­sa­mi w wiel­kich mia­stach funk­cjo­no­wa­ły inne wzor­ce (np. w Krakowie).
To, że jed­no­stek dłu­go­ści nie ujed­no­li­co­no nie wyni­ka­ło oczy­wi­ście z nie­chę­ci do uży­wa­nia osią­gnieć sta­ty­sty­ki mate­ma­tycz­nej. Przy­czy­ny były zupeł­nie innej materii.

***

Przy­pi­sy
¹ Stu­den­tem Aka­de­mii Kra­kow­skiej był wów­czas Miko­łaj Kopernik.
² Inży­nier Kazi­mierz Sawic­ki, autor zna­ko­mi­tej książ­ki o histo­rii pol­skiej geo­de­zji, komen­to­wał to tak: „Nie jest to wca­le przy­pad­ko­we, gdyż wte­dy wła­śnie nastą­pi­ło odro­dze­nie sta­ro­żyt­no­ści kla­sycz­nej. Ta nazwa grec­ka wywo­dzi się od geo­me­trii, jako nauki sto­so­wa­nej, będą­cej nie­ja­ko sztu­ką »mie­rze­nia zie­mi«” [6, s. 234]. Nazy­wa­nie mier­ni­cze­go geo­me­trą było powszech­ne w języ­ku pol­skim jesz­cze na począt­ku XX w.
³ W Pol­sce z cza­sów Pia­stów mier­ni­czych nazy­wa­no żerd­ni­ka­mi, więc w tek­stach histo­rycz­nych moż­na spo­tkać też śre­dnio­wiecz­ne okre­śle­nie – żerdź.
⁴ Moż­na spo­tkać opi­nię, że owi trzej męż­czyź­ni to geo­me­trzy, któ­rzy nad­zo­ru­ją cały proces.
⁵ Zamiast 16 stóp uży­wa­no się w nie­któ­rych miej­scach 15 stóp. W pra­wie saskim prze­pis brzmiał: „Pięt­na­ście stóp two­rzy pręt; ten mie­rzyć na pięt­na­stu jakich­kol­wiek [męż­czyzn], któ­rzy wyj­dą rano po kolei z kościo­ła” [7, s. 9]

Lite­ra­tu­ra
[1] M. Czo­chań­ski, G. Kowal­ski, Geo­de­zja w począt­kach Kró­le­stwa Pol­skie­go. Łódź 2014.
[2] A. Dąbrow­ski, Waria­cje na temat śred­niej, Mate­ma­ty­ka 1/2000, s. 12–19.
[3] R. Lelek, Sz. Zapo­tocz­ny, J. Zie­liń­ska, Mia­ry i wagi na co dzień. Kra­ków 1994.
[4] J. Miel­ni­czuk, Histo­ria rachun­ku praw­do­po­do­bień­stwa i sta­ty­sty­ki, https://home.ipipan.waw.pl/j.mielniczuk/Historia1_final.pdf [22.11.2023]
[5] P. Ran­som, The Right and Law­ful Rood, https://maa.org/book/export/html/116153 [21.11.2023]
[6] K. Sawic­ki, Od żerd­ni­ka do geo­de­ty. Prze­gląd geo­de­zyj­ny 8/1953, s. 233–236.
[7] E. Stamm, Sta­ro­pol­skie mia­ry. Cz. 1, Mia­ry dłu­go­ści i powierzch­ni, War­sza­wa 1938.
[8] E. Tomash, M. R. Wil­liams, The Erwin Tomash Libra­ry on the Histo­ry of Com­pu­ting, https://cse.umn.edu/cbi/erwin-tomash-library-history-computing [21.11.2023]
[9] A. K. Wró­blew­ski, Rewo­lu­cyj­na refor­ma miar i wag, Del­ta 10/1998, s. 4–6.