Wędrówka po labiryncie

Wśród baśni róż­nych ludów szcze­gól­ną pięk­no­ścią ukła­du i bogac­twem tre­ści wyróż­nia­ją się baśnie, czy­li mity grec­kie. Wśród baśni grec­kich cuda gra­ją sto­sun­ko­wo małą rolę, a roz­wią­za­nie węzła dra­ma­tycz­ne­go jest zwy­kle zasłu­gą dziel­no­ści i mądro­ści boha­te­ra, zaopa­trzo­ne­go przy tym w wyjąt­ko­wo dobrą broń lub narzę­dzie. W cie­ka­wym opo­wia­da­niu o przy­go­dach legen­dar­ne­go hero­sa kry­je się czę­sto, jak w łupi­nie ziarn­ko, traf­na obser­wa­cja przy­rod­ni­cza lub pro­blem nauko­wy, któ­re­go nie­raz następ­ne wie­ki nie potra­fią rozwiązać.

Wie­le z tych baśni poświę­co­no mitycz­ne­mu ateń­czy­ko­wi Deda­lo­wi, genial­ne­mu wyna­laz­cy. O ile wie­rzyć auto­rom mitów grec­kich*, Dedal wyna­lazł koło garn­car­skie i wyrzeź­bił sze­reg posą­gów, wyglą­da­ją­cych jak żywe, pod­czas gdy posą­gi innych rzeź­bia­rzy współ­cze­snych były sztyw­ne i mar­twe. Zna­czy to, że odkrył pra­wa pro­por­cji, a może i per­spek­ty­wy. Będąc na usłu­gach kre­teń­skie­go kró­la Mino­sa wybu­do­wał w Knos­sos [na wyspie Kre­cie – przyp. red.] olbrzy­mi gmach zwa­ny λαβύρινθος (labýrin­thos), a nie mogąc po ukoń­cze­niu budo­wy otrzy­mać od kró­la pozwo­le­nia na odjazd spo­rzą­dził skrzy­dła z piór pole­pio­nych woskiem i odle­ciał wraz z synem Ikarem.

Z mitu o Teze­uszu dowia­du­je­my się o prze­zna­cze­niu labi­ryn­tu i natra­fia­my na cie­ka­wy pro­blem geo­me­trycz­ny. Labi­rynt ów (opi­sa­ny mię­dzy inny­mi przez Owi­diu­sza w „Meta­mor­fo­zach”) posia­dał mnó­stwo sal, kory­ta­rzy i scho­dów prze­pla­ta­ją­cych się w spo­sób naj­bar­dziej zawi­ły¹. Kto tyl­ko wszedł do nie­go, musiał zabłą­dzić, a szu­ka­jąc wyj­ścia padał ofia­rą ludo­żer­cze­go potwo­ra Mino­tau­ra, ukry­wa­ją­ce­go się w pała­cu. Heros ateń­ski Teze­usz posta­no­wił zgła­dzić smo­ka, ale nie na wal­ce ze smo­kiem pole­ga­ła głów­na trud­ność zada­nia. Prze­cież nawet po zwy­cię­stwie musiał­by zgi­nąć z gło­du, błą­dząc wśród zaka­mar­ków budow­li. Zna­la­zła się jed­nak rada, i to zdu­mie­wa­ją­co pro­sta. Idąc za wska­za­niem kró­lew­ny Ariad­ny zaopa­trzył się w kłę­bek nici; nić przy­wią­zał u wej­ścia i odwi­jał z kłęb­ka, postę­pu­jąc na los szczę­ścia w głąb przejść i kory­ta­rzy. Napo­tkał Mino­tau­ra, zabił go i wró­cił tą samą dro­gą, nawi­ja­jąc z powro­tem nić na kłę­bek².

War­tość meto­dy Ariad­ny mogli­by­śmy zba­dać doświad­czal­nie, pró­bu­jąc zwie­dzić jaki­kol­wiek bar­dziej roz­ga­łę­zio­ny sys­tem grot, jak np. w oko­li­cy Ojco­wa lub kopal­nię soli w Wie­licz­ce. Jed­nak chwi­la namy­słu pozwo­li nam dostrzec, że meto­da ta prócz zalet ma też i wady. Wpraw­dzie unie­moż­li­wia ona zabłą­dze­nie, ale nie daje pew­no­ści, że idąc wzdłuż roz­wi­ja­nej nici zwie­dzi­my cały labi­rynt. Nie wie­my na przy­kład, co robić, jeże­li po przej­ściu odcin­ka dro­gi zawie­ra­ją­ce­go bocz­ne, odga­łę­zie­nia wyj­dzie­my na roz­sta­je, na któ­rym już leży nić. Wska­zy­wa­ła­by ona, że nasza dotych­cza­so­wa dro­ga lub jej część utwo­rzy­ła linię zamknię­tą. Jak mamy wów­czas szu­kać przejść nie zawie­ra­ją­cych nici: czy cofa­jąc się po już prze­by­tej dro­dze, czy też prze­ciw­nie, postę­pu­jąc naprzód? Oba­wia­my się, że w obu wypad­kach omi­nie­my część dróg, nawet gdy­by­śmy nie­któ­re łącz­ni­ce prze­cho­dzi­li po kil­ka razy.

Gdy­by cho­dzi­ło na przy­kład o wyszu­ka­nie skar­bu ukry­te­go w labi­ryn­cie, to nić Ariad­ny praw­do­po­dob­nie nie przy­da­ła­by się na nic. Przy­po­mnij­my sobie treść prze­pięk­nej powie­ści Bole­sła­wa Pru­sa, pt. „Fara­on”. Tam prze­cież czy­ta­li­śmy, jak kapłan egip­ski Samen­tu poszu­ki­wał skar­bu ukry­te­go w labi­ryn­cie koło jezio­ra Moeris. Zada­nie, jakie miał roz­wią­zać Samen­tu, było sto­sun­ko­wo łatwe, ponie­waż miał plan labi­ryn­tu. Pozwa­la­ło mu to wyszu­kać meto­dą prób dro­gę na pla­nie, by potem móc już odwie­dzać skar­biec nie oba­wia­jąc się zabłą­dze­nia, pod warun­kiem nie­zba­cza­nia z raz wyty­czo­nej dro­gi³.

Oto co mówi mate­ma­ty­ka o meto­dach zwie­dza­nia labi­ryn­tów: Każ­dy labi­rynt moż­na zwie­dzać bez oba­wy zabłą­dze­nia, jeże­li przy wej­ściu do labi­ryn­tu obie­rze­my zamiast nici prze­wod­niej jed­ną ze ścian kory­ta­rza, pra­wą lub lewą, i będzie­my iść sta­le wzdłuż tej samej ścia­ny. Wów­czas po przej­ściu wszyst­kich kory­ta­rzy, któ­rych ścia­ny bocz­ne łączą się z obwo­dem labi­ryn­tu, tra­fi­my do jed­ne­go z wyjść. Meto­da ta (poda­na przez Chri­stia­na Wie­ne­ra w 1873 r.) ma podob­ne wady jak meto­da Ariad­ny. Kie­ru­jąc się nią mogli­by­śmy w nie­jed­nym wypad­ku omi­nąć znacz­ną ilość sal czy kory­ta­rzy. Gdy­by na przy­kład doko­ła labi­ryn­tu biegł kory­tarz obwo­do­wy, to sto­su­jąc poda­ną meto­dę obe­szli­by­śmy tyl­ko ten kory­tarz, nie wni­ka­jąc w ogó­le do wnę­trza labiryntu.

Dowol­ny labi­rynt moż­na obejść tak, by każ­dy kory­tarz przejść dwu­krot­nie w dwóch prze­ciw­nych kie­run­kach, pod warun­kiem zacho­wa­nia odpo­wied­niej kolej­no­ści zwie­dza­nia kory­ta­rzy. Kolej­ność tę okre­śla­ją czte­ry pro­ste regu­ły poda­ne przez Char­le­sa Pier­re­’a Trémaux (1859–1882). Dla skró­ce­nia wypo­wie­dzi nazwij­my nową dro­gą albo skrzy­żo­wa­niem dro­gę (lub skrzy­żo­wa­nie) jesz­cze przez nas nie odwie­dzo­ne, a sta­rą dro­gą czy skrzy­żo­wa­niem dro­gę czy skrzy­żo­wa­nie, któ­re już odwie­dzi­li­śmy. Pamię­ta­jąc, że żad­nej dro­gi nie wol­no prze­cho­dzić wię­cej niż dwukrotnie:
1) Po przy­by­ciu na nowe skrzy­żo­wa­nie nale­ży wybrać nową dro­gę, a sta­rą zazna­czyć jed­ną kreską.
2) Dro­gę prze­by­tą dwu­krot­nie (w szcze­gól­no­ści śle­pą ulicz­kę) nale­ży zazna­czyć dwo­ma kreskami.
3) Po przy­by­ciu nową dro­gą na sta­re skrzy­żo­wa­nie, nale­ży cof­nąć się. W myśl poprzed­nie­go pra­wi­dła oba koń­ce dro­gi, po któ­rej wyco­fa­my się, zazna­czy­my dwo­ma kreskami.
4) Po przy­by­ciu sta­rą dro­gą na sta­re skrzy­żo­wa­nie trze­ba do dal­szej wędrów­ki obrać nową dro­gę. Jeże­li jed­nak wszyst­kie dro­gi sto­ją­ce do dys­po­zy­cji są sta­re, wów­czas moż­na obrać któ­rą­kol­wiek ze sta­rych dróg.

Zamiast ryso­wa­nia kre­sek moż­na też sto­so­wać nit­kę Ariad­ny, tyl­ko, oczy­wi­ście, nie wol­no jej zwi­jać z powro­tem. Przy­pu­ść­my, że zna­leź­li­śmy się w tej samej sytu­acji, co powie­ścio­wy Samen­tu, i tak jak on mamy wyszu­kać dro­gę do skar­bu leżą­ce­go w głę­bi labi­ryn­tu. W tym celu roz­pocz­nie­my pla­no­we zwie­dza­nie sal i kory­ta­rzy, ale zwie­dzać je będzie­my tyl­ko aż do odna­le­zie­nia skar­bu. Z tą chwi­lą prze­rwie­my dal­szą wędrów­kę, a kory­ta­rze zna­czo­ne jed­ną kre­ską wyty­czą jed­ną z dróg pro­wa­dzą­cych od wej­ścia do skarbu.

Mogło­by się wyda­wać, że szcze­gól­nie trud­nym labi­ryn­tem był­by kom­pleks gór i wąwo­zów, mają­cych na swych zbo­czach wej­ścia do labi­ryn­tów gro­to­wych, przy czym nie­któ­re z nich prze­bi­ja­ły­by góry na wylot. W rze­czy­wi­sto­ści jed­nak z chwi­lą wyty­cze­nia dróg moż­li­wych do prze­by­cia dla pie­chu­ra, jeźdź­ca lub samo­cho­du otrzy­ma­my labi­rynt kory­ta­rzo­wy pła­ski lub prze­strzen­ny. Nawet dowol­ne bez­dro­że moż­na zwie­dzać sto­su­jąc pozna­ne regu­ły. Nale­ży przed­tem spo­rzą­dzić mapę tere­nu, na któ­rej obsza­ry moż­li­we do prze­by­cia tyl­ko wzdłuż pew­nej linii pro­stej lub krzy­wej trze­ba przed­sta­wić jako dro­gi, a obsza­ry moż­li­we do prze­by­cia w dowol­nym kie­run­ku przed­sta­wić jako skrzy­żo­wa­nia dróg. Wów­czas mapa zamie­ni się w plan labi­ryn­tu, po któ­rym odbę­dzie­my wędrów­kę według jed­nej z metod: Ariad­ny, Wie­ne­ra lub Trémaux⁴.

***

Dodaj­my, że moż­na by zapro­jek­to­wać labi­rynt w któ­rym zasto­so­wa­nie reguł Trémaux było­by nie­moż­li­we. By to osią­gnąć, wystar­czy zaopa­trzyć labi­rynt kory­ta­rzo­wy w pew­ną ilość drzwi, dają­cych się otwo­rzyć tyl­ko z jed­nej strony.

***

W cza­sach nowo­żyt­nych budo­wa­no labi­ryn­ty ogro­do­we w for­mie szpa­le­rów; mia­ły one słu­żyć do roz­ryw­ki. W Anglii ist­nie­je ich dość dużo do dziś dnia.

Pier­wot­na wer­sja arty­ku­łu Jana Burzyń­skie­go była opu­bli­ko­wa­na w mie­sięcz­ni­ku popularno-naukowym Pro­ble­my (numer 10 z roku 1950). W naszym opra­co­wa­niu redak­cyj­nym część tek­stu prze­nie­sio­no do przy­pi­sów, a nie­wiel­ką część – pominięto.

Przy­pi­sy 

* Aż do VIII wie­ku p.n.e. Gre­cy nie zna­li żad­ne­go pisma. Wszyst­kie opo­wie­ści były prze­ka­zy­wa­ne z poko­le­nia na poko­le­nie tyl­ko ust­nie. Gawę­dzia­rzy wędru­ją­cych po mia­stach sta­ro­żyt­nej Gre­cji nazy­wa­no rap­so­da­mi (dosłow­nie „tka­cza­mi pie­śni”). W kon­se­kwen­cji czę­sto współ­ist­nia­ło wie­le róż­nych wer­sji tego same­go mitu. (Przyp. red.)

¹ Labi­rynt kre­teń­ski, zna­ny nam z mitu o Teze­uszu, został opi­sa­ny przez Owi­diu­sza i Wergiliusza.

Dedal mistrz naj­słyn­niej­szy sztu­ki budow­ni­czej, wzno­si gmach,
gma­twa linie, aż oczy w obłęd wpra­wia zawi­ło­ścią zakrę­tów i przejść
okręż­nych. Nie ina­czej fry­gij­ski Mean­der wije swe nur­ty, nagłym skrętem
odpły­wa i zno­wu się zja­wia, a zata­cza­jąc łuki, nagle wła­sne wody spotyka
nad­cho­dzą­ce z dru­giej stro­ny. To wra­ca do źró­deł, to znów ku morzu toczy
koli­ście swe wody. Tak i Dedal nie­zli­czo­ne zakrę­ty wpro­wa­dza­ją­ce w błąd
obmy­ślił, zale­d­wie sam z nich na zewnątrz wyjść zdo­łał, tak był gmach
zwod­ni­czy. Tutaj Minos zamknął potwo­ra, pół-chłopca, pół-byka.
Owi­diusz, Meta­mor­fo­zy (ks. VIII, w. 158n),
tłum. A. Kamień­ska, S. Sta­bry­ła, Wro­cław 1995

Nale­ży jed­nak zazna­czyć, że zda­niem wie­lu uczo­nych labi­rynt kre­teń­ski nie był wła­ści­wie labi­ryn­tem, lecz tyl­ko pała­cem o bar­dzo zawi­kła­nym ukła­dzie. Być może zresz­tą, że któ­raś z grup jaskiń na Kre­cie dała począ­tek poda­niu o labi­ryn­cie, któ­ry póź­niej utoż­sa­mio­no błęd­nie z pała­cem królewskim.

Film uka­zu­ją­cy ruiny pała­cu Minosa.
autor: Rowe­ro­ma­niak (licen­cja CC)

² Pene­lo­pe R. Doob, w swo­im wyśmie­ni­tym opra­co­wa­niu doty­czą­cym fizycz­nych i meta­fo­rycz­nych labi­ryn­tów sta­ro­żyt­no­ści i śre­dnio­wie­cza (z roku 1990), roz­róż­nia dwa rodza­je tej zawi­łej struk­tu­ry: labi­rynt jed­no­kie­run­ko­wy [wyróż­nie­nie – red.], w któ­rym wystę­pu­je tyl­ko jed­na ścież­ka wiją­ca się i skrę­ca­ją­ca, zwy­kle wzglę­dem cen­trum; i labi­rynt wie­lo­kie­run­ko­wy, gdzie wędro­wiec sta­je wobec serii kry­tycz­nych wybo­rów. (…) Cytu­jąc Pli­ny, Wergi­liu­sza, Owi­diu­sza i innych, poka­zu­je, że lite­rac­ka tra­dy­cja opi­su­je Domus Daeda­li jako labi­rynt wie­lo­kie­run­ko­wy. (…) Para­dok­sal­nie, w sztu­ce wizu­al­nej, od pre­hi­sto­rycz­nych cza­sów labi­rynt jest zawsze jed­no­kie­run­ko­wy, pod­czas gdy labi­rynt lite­rac­ki (z mitem Kre­teń­skim jako głów­nym przy­kła­dem) jest zwy­kle wie­lo­kie­run­ko­wy. Motyw wie­lo­kie­run­ko­wy nie poja­wiał się w sztu­ce aż do renesansu.
źró­dło: https://www.techsty.art.pl/magazyn2/artykuly/aarseth_cybertekst4.html

³ Labi­rynt egip­ski wspo­mnia­ny u Pru­sa, został wybu­do­wa­ny praw­do­po­dob­nie za cza­sów Ame­nem­he­ta III, fara­ona XII dyna­stii, panu­ją­ce­go w latach 1850–1801 przed Chry­stu­sem, licząc według chro­no­lo­gii Mane­tho. Znaj­do­wał się na wschód od ujścia kana­łu Józe­fa. Nosił nazwę „Lopa-rohunt“, tzn. świą­ty­nia ujścia kana­łu, stąd praw­do­po­dob­nie pocho­dzi grec­ka nazwa. Według opi­su Hero­do­ta (wiek V p.n.e.), powtó­rzo­ne­go przez Stra­bo­na (w I w. p.n.e.) i Pli­niu­sza Star­sze­go (w I n.e.), był on rów­no­cze­śnie skarb­cem i świą­ty­nią. Miał kształt pod­ko­wy ota­cza­ją­cej pira­mi­dę Men­de­sa i 12 świą­tyń oraz maga­zy­nów znaj­du­ją­cych się przed świą­ty­nia­mi. Całość skła­da­ła się jako­by z 3000 sal i kory­ta­rzy, z tego 1500 pod zie­mią. Ist­nie­ją do dziś ruiny labi­ryn­tu, jed­nak dokład­na rekon­struk­cja jest już niemożliwa.

⁴ W 1989 roku mate­ma­ty­cy zaj­mu­ją­cy się teo­rią gra­fów odkry­li algo­rytm tzw. prze­cho­dze­nia gra­fu w głąb (DFS – deep first search) – prze­pis na zna­le­zie­nie roz­wią­za­nia dla wie­lu pro­ble­mów z teo­rii gra­fów. Oka­za­ło się, że ten algo­rytm jest toż­sa­my z meto­dą Trémaux wędro­wa­nia po labi­ryn­cie. (przyp. red. – P.P.)