Aby rzucić nieco światła na rozległe zagadnienie wartości matematyki, musimy zdać sobie sprawę z tego, co jest charakterystyczne dla myśli matematycznej. Ograniczymy się przy tym do stwierdzenia faktów i ustalenia związków, nie wdając się w ich uzasadnienie.
Podobnie jak w innych naukach i sztukach, tak i w matematyce nie istnieją oczywiście absolutne kryteria tego, co się uznaje za „doniosłe” i „piękne”. Kto nie posiada pewnego nieuchwytnego a specyficznego daru przyrodzonego czy dyspozycji umysłu, w równym stopniu będzie niezdolny do zainteresowania się matematyką, jak ktoś niemuzykalny — dziełami Bacha [Chaconne, Partita No. 2, d‑moll do posłuchania – przyp. red.] czy Beethovena.
W zagadnieniu wartości czynnik osobisty jest zawsze rzeczą pierwszorzędnej wagi; a w dziedzinie matematyki, w której element artystyczny odgrywa rolę pierwszorzędną, w większym jeszcze stopniu niż gdziekolwiek indziej. Jest rzeczą bardzo pouczającą porównanie pod tym względem matematyki i fizyki, które wykazują w wielu punktach najbliższe pokrewieństwo. I tu i tam wiedza pochodzi z połączenia elementów świata zewnętrznego i naszej intuicji. Nie ma teorii fizycznej, która by nie pochodziła od pewnego zbioru zaobserwowanych faktów; i na odwrót, żaden wynik eksperymentalny fizyki nie da się odłączyć od jakiejś teorii, zawartej bądź w projekcie doświadczenia (eksperymentu), bądź w jego interpretacji. Podobnie nie istnieje żadna myśl matematyczna pozbawiona związków ze światem zewnętrznym. Jeżeli chodzi o wartości, które dostrzegamy w fizyce, jesteśmy skłonni używać wyrazów „doniosły”, „ważny”, nawet jeżeli nie przewidujemy pożytecznych zastosowań; natomiast wyrazu „piękny” używamy tu w charakterze raczej synonimu bardziej ogólnego. Przeciwnie, w matematyce nie da się oddzielić obu przymiotników „ważny” i „piękny”. Co się wydaje tu ważne, okazuje się w ostatecznej analizie piękne, przy czym tego ostatniego wyrazu używamy w ten sam sposób, jak w sztukach plastycznych, gdy go stosujemy do jakiegoś dzieła. Uważamy jednomyślnie za podstawowe odkrycie M. von Lauego [nagrodzone Nagrodą Nobla z fizyki za rok 1914 – przyp. red.], dotyczące interferencji promieni rentgenowskich w kryształach: dzięki pewnym teoriom pozwala nam ono zrozumieć niektóre tajemnice świata cząsteczek, które się wydawały niezgłębione.
źródło: scientificlib.com/en/Physics/Biographies/MaxVonLaue.html
Jako matematycy przywiązujemy najwyższą wagę do metody łuków Hardy’ego i Littlewooda, obmyślonej do traktowania problemu Waringa; daje ona bowiem pewne zależności od dawna poszukiwane, dotyczące rozkładu liczb naturalnych na sumy jednakowych potęg innych liczb naturalnych, a oprócz tego okazuje się niezmiernie płodna w zastosowaniu do innych trudnych zagadnień. Jeżeli posuniemy się jeszcze dalej i zapytamy, dlaczego odkrycia, dotyczące świata cząsteczek, posiadają dla nas pewną wartość, nie znajdziemy innej odpowiedzi, oprócz tej, że zaspokajają one naszą wrodzoną skłonność do poznania, tj. czystą ciekawość*. Tak samo odpowiada matematyk, gdy go pytają, czemu uważa za ważne poznanie najmniejszej liczby czwartych potęg, na których sumę da się rozłożyć każda liczba naturalna. I tu i tam zatem mamy te same dane i to samo zagadnienie.
| Problem Waringa – kalendarium (przyp. red.) |
| Żyjący w III w. n.e. grecki matematyk Diofantos podaje hipotezę, że każdą liczbę naturalną można zapisać jako sumę czterech kwadratów liczb naturalnych. Przykład: 7 = 22 + 12 + 12 + 12. |
| W 1770 r. dowód podaje włosko-francuski uczony Jospeh Louis Lagrange. Rozwiązanie Lagrange’a zawiera uzasadnienie, że liczby postaci 4n (8 k + 7) można zawsze przedstawić jako sumę trzech składników. |
| W 1770 r. angielski matematyk Edward Waring formułuje dwie hipotezy: I. Każdą liczbę naturalną można zapisać jako sumę co najwyżej dziewięciu sześcianów liczb naturalnych. II. Każdą liczbę naturalną można zapisać jako sumę co najwyżej 19 czwartych potęg liczb naturalnych. Przykładem liczby, której rozkład wymaga dziewięciu składników jest 23 = 23 + 23 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13. Przykładem liczby, której rozkład wymaga 19 składników jest liczba 79. |
| Przypuszczenia Waringa zostają ostatecznie potwierdzone w XX w. – odpowiednio: w 1912 r. oraz …w 1986 r. |
| Matematycy XIX w. stawiają hipotezy dotyczące wykładników 5, 6, 7, 8 i 10 dla rozkładów liczb naturalnych na sumy jednakowych potęg liczb naturalnych, o jak najmniejszej liczbie składników. |
| W 1909 r. słynny niemiecki matematyk David Hilbert wykazuje, że dla każdej liczby naturalnej n > 2 istnieje liczba naturalna s taka, że każda liczba naturalna jest sumą nie więcej s potęg (o wykładniku równym n) liczb naturalnych. |
| Jeśli każdej kolejnej liczbie naturalnej, począwszy od 1, przyporządkować najmniejszą liczbę s, zdefiniowaną jak wyżej, to otrzymamy ciąg: 1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055, 263619, 526502, 1051899, … Kolejne wyrazy tego ciągu uzyskano jako efekt pracy wielu autorów, począwszy od 1909 r. |
| W I połowie XX w. sformułowano hipotezę, że kolejne wyrazy ciągu można wyznaczyć ze wzoru 2n + ⌊(3/2)n⌋ – 2. Od 1957 r. wiadomo, że wzór może niepoprawny tylko dla co najwyżej skończonej liczby przypadków wartości n. Obecnie wiadomo, że do wyjątków na pewno nie należy żadna z wartości n aż do 471 600 000. |
| W 1920 r., modyfikując klasyczny problem Waringa, matematycy angielscy Hardy i Littlewood, postawili pytanie o najmniejszą liczbę potęg (o wykładniku n) liczb naturalnych, wystarczającą do przedstawienia w postaci sumy każdej dostatecznie dużej liczby naturalnej. Do chwili obecnej (2024 r.) problem rozstrzygnięto tylko dla n = 1, n = 2 i n = 4. Poszukiwane najmniejsze liczby potęg to odpowiednio 1, 4 i 16. Dla n = 3 wiadomo, że poszukiwana liczba to co najwyżej 7. |
| Źródła: https://www.math.purdue.edu/~twooley/publ/2002_wps.pdf https://oeis.org/A002804 https://oeis.org/A079611 https://mathworld.wolfram.com/WaringsProblem.html |
Zainteresowania fizyka przedmiotem swego badania wydaje nam się zrozumialsze: idzie mu o badanie natury, wewnątrz której się sami znajdujemy, jako jeden z najmniejszych elementów, której jesteśmy poddani i która na każdym kroku przykuwa naszą uwagę. I matematyk nie może stworzyć nic naprawdę nowego bez utrzymania stałego kontaktu ze światem spostrzeżeń: ale udział pierwiastków pochodzących z intuicji jest tu z pewnego punktu widzenia nierównie poważniejszy. Jeżeli zbadamy wyniki uzyskane przez matematyka z jednej, a fizyka z drugiej strony, znajdziemy w obu przypadkach tylko wzory, zależności geometryczne albo analityczne; zatem, jeżeli idzie o formę, sprawy przedstawiają się zupełnie analogicznie. A jednak różnica jest poważna: podczas gdy fizyka usiłuje przeniknąć w istotę otaczającej natury, matematyka ma za swój ulubiony przedmiot badań formę bez jakości, a raczej ogołoconą z jakości [abstrakcję – przyp. red.]. Oto dlaczego w matematyce, w stopniu znacznie wyższym niż w fizyce, indywidualna ocena osobista matematyków, lub raczej ich ocena zbiorowa, rozstrzyga o tym, co należy uważać za ważne, za godne wysiłku intelektualnego. Wróćmy teraz po tej dygresji do naszego zagadnienia: „Dlaczego fizyk ceni badanie świata cząsteczek i atomów, a matematyk badanie rozkładu na sumę czwartych potęg”? Fizyk odpowie: „Pragnę poznać istotę rzeczy w naturze”, podczas gdy matematyk oświadczy poprosili : „Jakież to piękne!”. Oto w czym się wyraża element estetyczny w matematyce. Co wyjaśnialiśmy na przykładzie szczególnym problemu Waringa, jest prawdziwe ogólnie. Rzeczy ważne w matematyce znajdują się w węzłach, z których wychodzą liczne rozgałęzienia; są to zagadnienia (problemy), których rozwiązanie będzie mieć daleko idące konsekwencje. Lecz w ostatecznie nasze zainteresowanie się tym zbiorem zagadnień pochodzi z odczucia ich piękna.
źródło rysunku:
commons.wikimedia.org
Sprowadziliśmy przedtem, na terenie matematyki, „doniosłość” do „piękna”, rozumiejąc je w podobnym sensie, co w sztukach plastycznych, jako coś dotyczącego formy. Ujęcie to wystarczy mniej więcej w rozważonym poprzednio przykładzie, ale jest zasadniczo zbyt ciasne. Pojęcie „piękna” w matematyce jest w swej istocie bardziej złożone i różnokształtne. Piękno formy przedmiotów matematyki i ich wyrazu analitycznego odgrywa bez wątpienia ważną — często decydującą — rolę w zagadnieniu wartości matematyki, Ale istnieją również inne czynniki, których wpływ uwzględnia matematyk, gdy mówi o pięknie swej nauki.
W liczbie całkowitej, w grupie skończonej, w konstrukcji geometrycznej, w twierdzeniu Pitagorasa pociąga nas przede wszystkim ich charakter indywidualny, skończony, ograniczony ze wszystkich stron. Powiadamy „przede wszystkim”, ale nie „wyłącznie”. W rzeczy samej, nie możemy myśleć o liczbach pierwszych, żeby w świadomości naszej nie pojawiła się zagadka ich rozkładu; nie możemy rozważać konfiguracji odpowiadającej twierdzeniu Pascala i nie pomyśleć o roli tego twierdzenia w teorii przecięć (przekrojów) stożkowych i w podstawach geometrii; nie zgłębilibyśmy symetrii grupy dwudziestościanu, gdybyśmy nie uwzględnili ich związków z algebrą równań stopnia piątego i teorią funkcji eliptycznych; wreszcie w twierdzeniu Pitagorasa nie możemy zapomnieć o jego czcigodnej starożytności i wybitnym znaczeniu historycznym.
Wówczas punkty G, H i K są współliniowe.
źródło rysunku:
commons.wikimedia.org
Wszystkie te czynniki odgrywają rolę i wpływają na nasz stosunek do przedmiotu. Wspomnieliśmy już, że zagadnienie wartości matematyki jest skomplikowane i nie daje się sprowadzić do prostych sformułowań (objaśnień). Istnieje zawsze wiele powodów, dzięki którym przypisujemy wagę jakiemuś zbiorowi pojęć i wzorów matematycznych, i rola każdego z nich oddzielnie może być mniej albo więcej doniosła. Lecz ostatecznie o postrzeganiu ich przez umysł decyduje przede wszystkim harmonia wszystkich składników, która określa charakter ogólny zbioru. I tu, jak się to często dzieje, spotykają się skrajności. Wszystko, co jest bogate w zależności, co się znajduje w punkcie węzłowym jakiejś rozległej sieci pojęć i wzorów, wydaje się nam już przez to piękne; ale istnieje jeszcze inny gatunek piękna, o którym chcemy wspomnieć. Jeżeli pomyślimy o pojęciu grupy we wszystkich jego zastosowaniach do algebry, teorii równań różniczkowych liniowych itd., albo o całości teorii Galois czy teorii funkcji eliptycznych, z ich nieporównaną wielością zastosowań i wzorów — mamy wrażenie czegoś niezmiernie bogatego i wspaniale ubarwionego; a wrażenie — elementarne i klarowne — które zawdzięczamy liczbie pierwszej albo twierdzeniu Pitagorasa, niemożliwe jest porównać do poprzedniego, jak przeżycia związane z wysłuchaniem dzieł Bacha i Beethovena. Któżby w obliczu tych spraw myślał o ocenie „bardziej” lub „mniej piękny”? Nie ma tu miejsca na takie porównanie.
Wiele się dziś chwieje rzeczy na tym świecie, niejedna prawda odwieczna wywołuje wątpliwości. Lecz jeżeli wciąż jeszcze jest prawdą, że to dla wartości moralnych i intelektualnych warto znosić trudy życia, matematyka — nauka i sztuka zarazem — jest jednym z najświętszych dóbr ludzkości.
Artykuł Leona Lichtensteina (1878–1933) był pierwotnie opublikowany w 1933 r. w „Mathesis Polska” – miesięczniku poświęconym naukom ścisłym i ich metodologii (T. 8, nr 9–10/1933). Tam znajdziemy następującą informację źródłową: „Artykuł niniejszy zawiera fragmenty publikacji pt. Réflexions sur l’ésthétique des Mathématiques (Journ. de Psychologie, XXX, 1933, p. 497–513), stanowiącej przekład (przez André Metza) rękopisu niemieckiego.”
Autorem polskiego przekładu artykułu Leona Lichtensteina był najprawdopodobniej Hugo Steinahus. (W tekście zredagowanym do publikacji w serwisie MuMy niektóre archaiczne wyrazy języka polskiego zastąpiono używanymi współcześnie i wprowadzono zasady ortograficzne obecnie obowiązujące. – przyp. red.)
W liście z 11 sierpnia 1933 Lichtenstein pisał do Steinhausa:
W mych rozważaniach estetycznych zwracam się li tylko do czytelnika, obeznanego gruntownie z matematyką, fizyką i t, d. Chodzi mi o wyjaśnienie faktu, dlaczego nam, matematykom, nauka ta wydaje się tak piękna. Bynajmniej nie mam zamiaru przekonywać »laików«.
* Matematyk zwróciłby uwagę na symetrię i cudowne proporcje aparatu geometrycznego i analitycznego, który kieruje światem wymiarów najmniejszych (przypis Autora).
