Zero, choć z pozoru okrągłe nic, jest jedną z ważniejszych „grubych ryb” liczbowego światka. Spełnia rolę rozjemcy – oddziela dwa przeciwstawne obozy: liczby ujemne od dodatnich, samo nie przynależąc ani do kliki Minusów, ani nie trzymając stronę paczki spod znaku Plus. Ta niby nic niewarta liczba, najmniejsza liczba kardynalna, czyli moc zbioru pustego Ø, nie pierwsza, ale parzysta, umownie naturalna lub nie, ma wielkie znaczenie dla Królowej Nauk, a to ze względu na szczególne własności, wyróżniające ją z czeredy innych liczb.
Zero sprawiedliwie dzieli się przez wszystko, oprócz siebie: 0 : a = 0, gdzie a ≠ 0. Spolegliwość polega tu na tym, że przy podziale nieupieczonego placka na dowolny niepusty zbiór a osób, każda z nich dostanie po równo, czyli dokładnie zero.
Zero nie dzieli żadnej liczby, nawet samej siebie, co jest uczciwością absolutną. Liczba ta nie dopuszcza patologii podziału upieczonego placka na nikogo.
Nasza bohaterka jest elementem neutralnym operacji dodawania, co znaczy, że trzeba się z nią liczyć. I tak, dodając pustą paczkę bakalii do pieczonego placka, nie zmieniamy jego smaku niezależnie od tego, z której strony ów brak dokładać: 0 + a = a + 0 = a.
Indyjski system liczbowy – pozycyjny, dziesiętny, używający abstrakcyjne symbole wraz z cyfrą 0, symbolizującą »brak czegoś« – jest obecnie uznawany za jedno z największych osiągnięć ludzkości w historii oraz najbardziej znaczący dar matematyki dla świata. Zdumiewa przeto fakt, że pokonanie oporów związanych z jego przyswojeniem trwało tak długo.
A spróbujmy dziś przebrnąć przez rzymski chaos. Tylko początek jest tam miły i łatwy: pałka plus pałka równa się dwie pałki: I + I = II. A co dalej?
Dalej, przy większych liczbach, jeśli nie przetłumaczyć ich na swojski system dziesiętny, potrzeba wyjątkowej zręczności szarych komórek.
Mimo swoich oczywistych zalet, na arenę liczbową zero wkroczyło zadziwiająco późno, bo długo miano je za nic. Dopiero w V wieku, narodziło się w Indiach, a było to kolejne poczęcie. Pierwsi Babilończycy wpadli na genialny pomysł stworzenia systemu pozycyjnego o podstawie 60, który zdeklasował inne systemy liczbowe starożytności. Na drugiej półkuli Majowie również opracowali zaawansowany system, lecz o podstawie 20. Świetny początek okazał się, niestety, falstartem i zero gdzieś się zawieruszyło w zakamarkach historii.
Na prawo liczbowego obywatelstwa na Starym Kontynencie liczba ta musiała cierpliwie czekać jeszcze prawie tysiąc lat.
Nim to się mogło stać, zero musiało wpierw zaistnieć. Okrągłe nic rozpoczęło europejski żywot za sprawą włoskiego matematyka Leonarda Pisano, przezwanego później Fibonaccim. Pojął on wagę cyfr arabskich z zerem na czele i ich przewagę nad wszechwładnymi wówczas literami rzymskimi. Uruchomił więc propagandową machinę na rzecz zera i jego dziewięciu kompanów.
Wyobraźmy sobie wydarzenia roku 1202. Pojawiło się Liber abaci (Księga abaku), algebraiczna encyklopedia Średniowiecza i powoli, z winy tegoż Fibonacciego i jego koleżków po matematycznym fachu, pozycja systemu rzymskiego zaczęła podupadać, schodzić na dziady. Niezwykle jednak, przetrwała aż do końca Średniowiecza. Dość powiedzieć, że Akademia Krakowska, dzisiejszy Uniwersytet Jagielloński, była jedną z pierwszych, a mówimy o XIV wieku, która wprowadziła Arytmetykę systemem pozycyjnym wykładaną.
Początki na ogół nie są łatwe, a i później bywa różnie. Jeszcze prawie sto lat po ukazaniu się dzieła Liber abaci, we Florencji wydano przepis korporacji Arte del Gambio, zakazujący używania zera – „cyfry diabelskiej”. I cyfr arabskich w ogóle. „Zero jest rodem z piekła, przeto po wsze czasy niechaj będzie wyklęte” – brzmiało uzasadnienie wyroku. W dokumentach obowiązywał rzymski system addytywny. Ale wielu obrotnych kupców cichaczem bratało się z „diabelską cyfrą”, której użyteczność mówiła sama za siebie.
Wywalczywszy w końcu równouprawnienie, w wielu dziedzinach zero z powodzeniem zaczęło pchać się na piedestał!. Na przykład:
Ekonomia: zero defects (bez fuszerki) – jakość na pierwszym miejscu, prawo do znaku najwyższej jakości Q.
Fizyka: zero bezwzględne – lodówka absolutna i bardziej marznąć jest fizyczną niemożnością (0 K ≈ –273,16 oC).
Geografia: południk zerowy – włóczęga wychodzący z bieguna północnego i po minięciu parku Greenwich w Londynie – przez Hiszpanię, Afrykę, Atlantyk i Ocean Południowy – człapiący po lodach Antarktydy do bieguna południowego.
Afektologia: dział w romansologii, badającej funkcje zmiennych niezależnych, gdzie miłość definiowana jest jako \(\lim_{n \to 0} { u \over r} \) – graniczna wartość ilorazu uczucia u przez rozsądek r, gdy ten ostatni dąży do zera, zaś rozsądek jest różnicą między liczbą okazji do popełnienia głupstw, a liczbą głupstw poczynionych przy tych okazjach. Jednym z fundamentalnych wyników afektologii jest twierdzenie-aforyzm Jadwigi Rutkowskiej: Tylko w miłości kompletne zero może być dla kogoś wszystkim.
Dietetyka: zero kaloryczne, czyli zajadanie bez przejadania oraz niedojadania; dokładniej, ilość kalorii spałaszowana i spalona zerują się (łatwo powiedzieć, trudno wykonać!).
Genetyka: tak zwane prawo zerowe genetyki głosi, że bezdzietność nie jest dziedziczna.
Oczywiście, w matematyce zero jest równie wszędobylskie: miejsce zerowe funkcji, odcinek zerowy (punkt), koło zerowe, czyli koło o promieniu 0 (znowu punkt), macierz zerowa (tablica samych zer) i tęgi zbiorek innych pojęć, gdzie bez zera ni rusz. A przypomnijmy, że zero zaczynało od zera.
Aby uniknąć zarzutów o nadmierne epatowanie zerosłowiem, omówimy dokładniej, choć pokrótce, tak zwany przypadek zerowy, kluczowy w kombinatoryce zajmującej się z problemami ilościowymi.
Przypomnijmy w tym celu symbol n! (czytamy „n silnia”) oznaczający iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n włącznie.
Przyjmujemy, że 0! = 1. Dlaczego? Matematycznie patrząc, przyjmujemy tak, bo inaczej się nie da; istnieje dokładnie jedna funkcja pusta, czyli taka, której dziedziną jest zbiór pusty, znaczy zero-elementowy. Praktycznie patrząc, widzimy to samo. Spytajmy np. Ile jest możliwości konsumpcji z pustego talerzyka? Pytania tego typu można mnożyć w nieskończoność. Odpowiedź w każdym przypadku jest jedna – istnieje dokładnie jeden sposób.
Spytajmy, na ile sposobów można robić nic to znaczy nic nie robić, jak śpiewała Katarzyna Klich na debiutanckim albumie „Lepszy model”? Jest tylko jeden sposób, aby nic nie robić, nie mając nic do roboty. To wszystko „załatwia” symbol Newtona \( \binom{n}{k} \) – czytamy „n po k” lub „k z n”. Dla liczb naturalnych \( 0 \le k \le n \) symbol Newtona definiujemy: \( \binom{n}{k} = \frac{ {n}!}{{k }! {(n – k)} !} \). W przypadku brzegowym przyjmuje się równość \( \binom{0}{0} = 1 \).
No i szafa gra, a reszta mebli tańczy!
Wobec wszystkich tych faktów nie sposób nie podziwiać zera. Ale, co ważne, należy obchodzić się z nim z matematyczną ostrożnością (jak z jajkiem). Dlatego prawie na zakończenie przytoczymy – jako pewne podsumowanie algebraicznych wyczynów zera – wiersz toruńskiego nauczyciela matematyki Disana Nikonowicza (1926–2007), który jest zamieszczany na wielu portalach*.
Ostrożnie z zerem
(Disan Nikonowicz)
| a + 0 = 0 + a = a |
Zapamiętaj sobie – babcia mi mówiła –
Zero to potężna i przewrotna siła.
Niby takie skromne – moduł dodawania,
Ale bardzo wpływa na inne działania.
| a ⦁ 0 = 0 ⦁ a = a 0 : a = 0 = a |
Zero jako czynnik – pomnóż ile chcesz,
Wynik będzie zerem. Chyba o tym wiesz?
Jeśli go podzielisz przez dowolne „a”
(ale nie przez zero!), znowu zero masz.
Dzielić zaś przez zero babcia zakazała.
Nie ma ilorazu! Taka już zakała.
I dzielenie wcale nie jest określone.
Gdy zero przez zero będzie podzielone.
Uzasadnić łatwo, trzeba tylko chcieć,
W ilorazie możesz każdą liczbę mieć.
Zera do zerowej nie podnoś potęgi.
Nic z tego nie będzie. Tak nas uczą księgi.
| a0 = 1 0! = 1 |
Gdy do potęgi zero inną liczbę masz,
Jednością jest wynik. Definicję znasz.
Zero silnia! Przedziwnie i wprost nie do wiary,
Znowu jest jedynką. Zapamiętaj stary.
0a = 0 |
Ale logarytm zera wcale nie istnieje.
Chyba wiesz dlaczego? – cichą mam nadzieję.
Potęgując zero, masz zero w wyniku,
Pierwiastkując również, bez łez i bez krzyku.
A więc wniosek łatwo już wyciągnąć stąd:
Bądź ostrożny z zerem – możesz zrobić błąd.
I wszystko w wierszu Disana byłoby elementarnie proste, gdyby nie fakt, że z zerem aż tak prosto nie jest. Dlaczego? Wśród nielicznych, na szczęście, symboli nieoznaczonych (nieokreślonych), czyli wyrażeń algebraicznych, w których działania są nie do wykonania, znajdziemy dwa przykłady z zerami w roli głównej: \( { 0 \over 0} \) oraz \( { 0^0} \).
Są to umowne zapisy granic wyrażeń, do których obliczenia stosuje się albo „sztuczki algebraiczne” (czytaj: przekształcenia), albo tzw. regułę de l’Hospitala, albo z innych powodów – wygodnictwa, uogólnień, prostoty i estetyki – ich wynik się po prostu definiuje. A z definicją nie ma dyskusji; jest taka jaka jest i basta.
Potęgę definicji znał prezydent Stanów Zjednoczonych Abraham Lincoln i miał dla kandydatów na współpracowników zagadkę; jeśli ogon psa zdefiniować jako łapę, to ile pies ma łap? Dobierał pracowników w zależności od uznanej przez siebie odpowiedzi: 4 – ogon definiowany jako łapa, to jeszcze nie łapa lub 5 – bo są cztery łapy jako takowe i piąta łapa na mocy definicji.
Przykład \( {0 \over 0} \) pokazuje funkcja sinus kardynalny, stosowana przy przetwarzaniu sygnałów, o wzorze
\( {sinc}{\left(x\right)}={\begin{cases}{\frac {\sin x}{x}}&{\text{dla }}x\neq 0\\1&{\text{dla }}x=0\end{cases}} \)
Zauważmy, że \(\lim_{x \to 0} {\frac {\sin x}{x}} = 1\).
Funkcja jest ciągła (ilustracja poniżej).
Miejsca zerowe: ±π, ±2π, ±3π, …
Ale \( {0 \over 0} \) może przyjmować różne wartości w zależności od „mocy” zera (tempa „zbiegania” wartości do zera) w liczniku i mianowniku.
Na przykład
\(\lim_{x ⤍ 1}\frac{x^{n} – 1}{x – 1} = \lim_{x ⤍ 1}\frac{(x^{n} – 1)’}{(x – 1)’} =\)
\(=\lim_{x ⤍ 1}\frac{n \cdot x^{n – 1}}{1} = {n}. \)
Zapisując ciąg równości skorzystaliśmy z reguły de l’Hospitala.
To wystarczy. Iloraz jest ogólnie nieokreślony i basta.
* * *
Matematyka jest Królową Nauk. Przyjęcie 00 = 1 skutkuje prostą, elegancką formą zapisu, a Rycerze (matematycy) przebywający na dworze Królowej mogą się pysznić, że dzięki nim Matematyka jeszcze poszerza granice swego Królestwa.
Na przykład wielomian ma tradycyjnie zapis \(W(x) = \sum_{k = 0}^{n}{a^{k}x^{k}}\).
W znanym dwumianie Newtona \( (x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n}{\begin{pmatrix}
n \\
k \\
\end{pmatrix}x^{n – k}y^{k}}\) przyjmuje się po prostu, że x0=y0=1 (także dla x=0 lub y=0).
Jest to definicja naturalna, bo na dodatek \(\lim_{x \to 0^{+}} {x^{x}} = 1\) (zapis \(x⤍0^{+}\) oznacza, że x zmierza do zera wartościami dodatnimi), a ponadto jest dokładnie jedna funkcja ze zbioru pustego w zbiór pusty i jest to funkcja pusta, czyli 00 = 1. Tym samym mucha nie siada i komar nie klęka!
Krótko mówiąc, powyższe dwa symbole, \( {0 \over 0} \) oraz 00, nie mają wartości wprost, ale posiadają je albo w granicy, albo z praktycznie przyjmowanej definicji w imię elegancji teorii, bo matematyka elegancję uwielbia i z powodzeniem praktykuje.
Tak więc matematyka dała światu ZERO, a świat mówi: dzięki za wielkie NIC!
Tadeusz Ostrowski
dr nauk matematycznych
*Ramki z wzorami pochodzą od autora tego artykułu.
