Zenon z Elei (ok. 490 – 430 p.n.e.) to filozof, który bronił starożytnej teorii filozoficznej o jedności i niezmienności bytu, starając się wykazać – poprzez sprzeczność – niemożliwość mnogości (wielości) i zmiany.
Szczególnie zawziął się na ruch. Jego dowody na niemożność ruchu stanowią przykłady aporii (z pozoru niemożliwej do przezwyciężenia trudności, w której zmysły mówią, że jest wielość i zmienność, a rozum, że jedność i stałość).
Dla przykładu Zenona aporia dychotomii w ujęciu współczesnym wygląda następująco: bramkarz w trakcie meczu może spokojnie drzemać przy słupku, choć to nie wypada; kopnięta w stronę jego bramki piłka musi wpierw przebyć połowę drogi, potem połowę tego, co pozostało, później połowę reszty dystansu do mety i tak w nieskończoność, a gol pozostanie nieziszczalnym marzeniem strzelca.
Najsłynniejszą – autorstwa Zenona – stała się aporia Achillesa i żółwia, której przyjrzymy się w dwóch różnych aspektach, ponieważ – jak powszechnie wiadomo – każdy kij ma dwa końce (a proca nawet trzy!).
Otóż żółw wyzwał Achillesa na pojedynek biegowy, pod warunkiem, że na starcie będzie nieznacznie uprzywilejowany – miejsce jego startu zostanie przesunięte w stronę mety. Dowiedział się bowiem od wspomnianego Zenona, że mimo iż Achilles jest szybkonogim wojownikiem, to jeśli przed wyścigiem niebacznie da żółwiowi fory, wtedy nigdy już go nie dogoni, choćby ten ostatni nie wiadomo jak się ślimaczył.
Być może było odwrotnie. Dumny Achilles wyzwał żółwia na pojedynek, bowiem usłyszał od Zenona Eleaty, że jeśli na starcie da żółwiowi fory, to nawet gdyby pędził niczym rydwan-express, zawsze będzie biegł za żółwiem. To by oznaczało ujmę na jego honorze.
Tak więc bohater Iliady, wychowanek centaura Chirona, musi w trakcie biegu wpierw dobiec do miejsca, z którego wystartował żółw. Ten jednak przesunie się w tym czasie nieco do przodu. Achilles (łudząc się, że dogonienie żółwia jest tylko kwestią chwili) popędzi, ile pary w piersiach, do punktu, w którym ostatnio był rywal. Tu niespodzianka: żółw znów przesunie się trochę dalej, chociaż mniej niż uprzednio.
Rozumowanie rozciąga się w nieskończoność, argumentował Zenon, i ślamazarny żółw, chociaż o coraz mniejszy odcinek, stale będzie wyprzedzać wojownika Achajów, skazanego w ten sposób na ciągły ogląd ogonka grającego mu na nosie żółwia.
Zajrzyjmy zatem do matematycznej kuchni tego sławetnego pojedynku, którego Homer zapomniał opisać w Iliadzie, i załóżmy, że Achilles ściga się z żółwiem w biegu na dystansie 100 metrów. Ponieważ żółw jest dwa razy wolniejszy, grecki wojak daje mu wspaniałomyślnie 40 metrów przewagi na starcie. Mamy więc ustalony scenariusz owych zmagań.
Gdy Achilles pokonał 40 metrów forów, żółw był, oczywiście, nadal przed nim. Teraz już tylko o połowę forów, czyli 20 metrów.
– Dobra nasza! – wrzasnął wielki wojownik. – Zenon wywodził, że tak właśnie będzie.
Ciąg dalszy nieco zirytował Achillesa. Żółw wciąż był przed nim, choć już tylko o 10 metrów.
Achilles pieklił się coraz bardziej, do żółwia brakowało kolejno 5 m, 2,5 m, 1,25 m, …
Każdy, bez większego wysiłku, stosując znany z lekcji fizyki wzór na prędkość w ruchu jednostajnym, obliczy, że „rywalizacyjna zabawa” kończy się na 80-tym metrze. Wtedy Achilles zrówna się z żółwiem i zwycięstwo będzie miał już w kieszeni, przekraczając linię mety o całe 10 metrów przed rywalem.
Eleata, operując wielkościami dyskretnymi na ciągłych, przyprawiał starożytnych Greków o ból głowy i doprowadzał ich do przedwczesnej siwizny. Grecy, z Arystotelesem na czele, którzy jako pierwsi musieli rozgryzać ten orzech uważali go za rozgryzionego, dlatego że rozwiązanie tkwi w równie nieskończonej podzielności czasu i przestrzeni. Tymczasem problem dotyczy stosunku wielkości skończonych i nieskończonych, co staje się wyjątkowo kłopotliwe przy ciągłościach typu czas, przestrzeń. Przestrzeń nie sumuje się punktami, a czas – momentami. Jednak wynalazek rachunku całkowego, o czym ani Zenon, ani Arystoteles nie mogli oczywiście wiedzieć, to dopiero o dwa tysiące lat późniejsze czasy Isaaca Newtona i Wilhelma Leibniza.
*
Ponadto rzecz w tym, że nasz żółw okazał się orłem matematycznym. Świadczy o tym pamiętnik znaleziony w jego karapaksie, czyli pancerzu. Dzięki królowej nauk potrafił wygrać z Achillesem. Jak tego dokonał? Bardzo prosto. Pomógł mu w tym tak zwany szereg harmoniczny, czyli szereg liczbowy o niekończonej liczbie składników, które są odwrotnościami kolejnych liczb naturalnych, począwszy od 1:
\[ \overset{\infty }{\underset{n=1}{\sum }} \frac 1 n {\ = 1} {\ + } \frac 1 2 {\ + } \frac 1 3 {\ +} \frac 1 4 {\ + …} \]
Dowiemy się o wszystkim z pamiętnika żółwia.
Pamiętnik żółwia znaleziony w jego pancerzu
Matma to pięta achillesowa mojego przeciwnika. Pogłówkowałem nieco i uzmysłowiłem sobie, że wśród szeregów liczbowych, czyli sumowań, jest pewien cwaniak zwany harmonicznym (każdy składnik, od drugiego począwszy, jest średnią harmoniczną jego sąsiadów lub, równoważnie, jest odwrotnością średniej arytmetycznej odwrotności sąsiadów), a stwarzający mi szansę wygranej. „Stary capie, zaskorupiały w pancerzu. Do dzieła!”, rzekłem do siebie i zacząłem kreślić liczby na piasku.
Jeżeli pewny siebie zarozumialec Achilles będzie biegł ze stałą prędkością i da mi fory równe a, to, gdy pokona ten dystans, ja w tym czasie pokonam odcinek a/2. Jest to zupełnie realne, bo gnam dwa razy wolniej od niego.
Świetnie, jedźmy dalej. Co to? Ułamki. W szkole nie należałem do „ułomków z ułamków”. Mam cię, bratku!. Muszę tylko wymóc, żebyś nie przyspieszał Możesz biec, jak szybko chcesz, byle równo w jednym tempie.
Gdy mój szacowny przeciwnik (zasada RESPECT obowiązuje) będzie miał do pokonania dzielący nas dystans a/2, to popędzę nieco szybciej (stać mnie na takie przyspieszanie po intensywnym treningu) i przebiegnę a/3. A jak wynika z rachunków, o takiej długości odcinek będę wtedy prowadził.
Klnę się na mój karapaks, że Achilles zbaranieje, a ojciec poezji epickiej, Homer, pożałuje, iż mego zwycięstwa nie opiewał w Iliadzie, skupiając się jedynie na gniewie Achillesa i jego żądzy zemsty. Ułamki to koń trojański moich sportowych wyczynów. Kiedy Achaj przebiegnie dystans a/3, dzielący go ode mnie, to znowu ciut, ciut przyśpieszę i umknę mu w tym czasie o odcinek długości a/4. I tak dalej bez końca, bo będę się rozpędzał niczym fale gnane przez burzę na Morzu Egejskim.
Ogólnie patrząc, zawsze będę przed Achillesem, bo różnica
\[ \frac a n {\ – } {\ } \frac a {n+1} \ = \frac a{n(n+1)} {\ }{ \gt} {\ } { 0,} \]
dąży do zera, ale hen, hen, hen w nieskończoności. Albo inaczej, Achilles zawsze będzie biegł szybciej ode mnie, jednak dzięki treningowi – a wiadomo, że praktyka czyni mistrza – stosunek naszych prędkości będzie stale się zmniejszał, dążąc do wyrównania, ale dopiero w nieskończoności. Dokładniej, w n-tym kroku, czyli na każdym kolejnym n-tym odcinku trasy, będzie on równy
\[ \ \frac a n {\ :} {\ } \frac a{n+1} {\ =} {\ } \frac{n+1} n {\ =} \]
\[ {\ = 1 +} \frac 1 n {\ } {→ \ 1, gdy} {\ } \textit{n} { → } {\ } {\infty .} \]
Finis coronat opus („koniec wieńczy dzieło”), to Owidiusz. Ale końca nie będzie. Ściślej mówiąc, Achilles dogoni mnie dopiero wtedy, gdy przebiegnie drogę s równą
\[ \overset{\infty } {\underset{n=1}{\sum }}\frac a n {\ = } {\ a } \overset{\infty }{\underset{n=1}{\sum }}\frac 1 n { = } {\ } {\ a } { \cdot } {\infty } { = \infty,} \]
czyli nigdy.
Nicole Oresme, kłaniam się tobie nisko. Chapeau bas. Dzięki za inspirację! Duma rozpiera mi pancerz. Jutro poczłapię do Achillesa i zażądam rewanżu. Na pewno wszyscy będą potem śpiewać peany na cześć mojej wiktorii nad tym pyszałkiem.
***
Nicole Oresme (1320 – 1382) – francuski ksiądz, filozof, matematyk, astronom i ekonomista;
● w matematyce wprowadził potęgi o wykładniku ułamkowym i podał dowód rozbieżności szeregu harmonicznego, co było jednym z ważniejszych osiągnięć średniowiecznej matematyki;
● w astronomii wysunął koncepcję obrotowego ruchu Ziemi, którą później upowszechnił Mikołaj Kopernik (1473, Toruń – 1543, Frombork) w ramach swego heliocentryzmu;
● ekonomia zawdzięcza mu pionierskie prace na temat teorii pieniądza.
Oresme pokazał, że dodając odpowiednio dużo odwrotności kolejnych liczb naturalnych, możemy otrzymać dowolnie wielką liczbę. Jego genialny pomysł polegał na pogrupowaniu składników w takie grupy, w których – od trzeciej począwszy – każda następna ma dwa razy więcej wyrazów niż poprzednia, a suma częściowa jest większa niż ½.
\[ \overset{\infty }{\underset{n=1}{\sum }}\frac 1 n {\ = 1 + } \frac 1 2 { \ + } \frac 1 3 { \ + } \frac 1 4 {\ + } \frac 1 5 { \ + } \frac 1 6 { \ + } \frac 1 7 {\ + } \frac 1 8 {\ + … \ =} \]
\[ {\ = 1 + } {\ } \frac 1 2 {\ + (} \frac 1 3 {\ +} \frac 1 4 {\ ) + (} \frac 1 5 {\ + } \frac 1 6 {\ + } \frac 1 7 {\ + } \frac 1 8 {\ ) + … } {\gt} \]
\[ {\ } {\ } {\gt} {\ 1 + } \frac 1 2 {\ + (} \frac 1 4 {\ + } \frac 1 4 {\ ) + (} \frac 1 8 {\ + \ } \frac 1 8 {\ \ + \ } \frac 1 8 {\ \ + \ } \frac 1 8 {) + … \ =} \]
\[ {\ = 1 + } \frac 1 2 {\ + } \frac 1 2 {\ + } \frac 1 2 {\ + … = 1 + } \frac n 2 {\ } {→} {\ } {\infty } {■} \]
Wniosek: Ćwiczenie, trening, zaprawione matematyką – to recepta na mistrzostwo.
Zadowolony z siebie kończę te wywody. Pora na trening i regenerację. Rano idę do Achillesa z żądaniem rewanżu. A wieczorem będę świętować z Zenonem z Elei przy lampce najlepszego wina. Dzięki matematyce wygram ku chwale mojej i wszystkich moich braci, dźwigających na swoim grzbiecie dany im przez naturę karapaks.
Z poważaniem i dumą,
Żółw.
Tadeusz Ostrowski
dr nauk matematycznych
