W połowie ubiegłego wieku zaprojektowano pierwsze na świecie komputery cyfrowe. Wkrótce te olbrzymie oraz kapryśne urządzenia, złożone z labiryntu tysięcy lamp i wielu kilometrów kabli, stały się faktem. Ich konstruktorzy zyskali miano ojców chrzestnych „bardzo szybkich idiotów” (jak mawiał wielki polski matematyk Hugo Steinhaus o komputerach), narzędzi do „pichcenia” prognozy pogody, między innymi.
Jeszcze ćwierć wieku wcześniej komputerowe prognozowanie pogody było klasyczną utopią, opisaną na kartach monografii Lewisa Fry Richardsona pt. Weather Prediction by Numerical Process. Brytyjski meteorolog i pionier matematycznego prognozowania pogody pisał w 1922 roku: „Być może któregoś dnia dalekiej przyszłości stanie się możliwe, że obliczenia będą szybsze od zmian pogody. Ale na razie jest to jedynie marzenie”. Wszyscy byli pewni, że wraz z komputerami nadeszła owa daleka przyszłość. Jednak okazała się dużo mniej różowa niż oczekiwano.
Rok 1961. Edward Norton Lorenz z MIT (Massachusetts Institute of Technology) „smaży” model pogody. Rolę patelni pełni komputer Royal McBee (Królewska Pszczółka) LGP-30, hałaśliwy grat według dzisiejszych standardów.

źródło: computerhistory.org
Era układów scalonych dopiero raczkowała – zaledwie dwa lata wcześniej, w 1959 roku, amerykański inżynier Jack Kilby opatentował układ scalony, za co w 2000 roku (dopiero!) otrzymał Nagrodę Nobla z fizyki.
***
Edward Norton Lorenz (1917 – 2008) – amerykański matematyk i meteorolog, znany jako ojciec teorii chaosu. Jego obserwacje doprowadziły go do sformułowania hipotezy o istnieniu zjawiska określanego jako efekt motyla, a wywodzącego się z pracy naukowej z 1972 r. zatytułowanej Przewidywalność: Czy trzepot skrzydeł motyla w Brazylii wywołuje tornado w Teksasie?
W 1983 r. Lorenz i Henry Melson Stommel otrzymali wspólnie Nagrodę Crafoorda w wysokości 50 000 dolarów, przyznawaną przez Królewską Szwedzką Akademię Nauk, za osiągnięcia w dziedzinach nauki, które nie kwalifikują się do Nagrody Nobla.
***
Lorenz właśnie zakończył analizowanie długiej sekwencji symulacji pogody. Postanowił „zmusić” komputer do wygenerowania kolejnego kawałka takiej sekwencji Poszedł jednak na łatwiznę – choć chyba lepiej powiedzieć, że pognał na skróty, robiąc sobie małą przerwę na kawę – i uruchomił komputerową symulację nie od początku, ale od środka z danymi z wydruku, na którym były kopie wartości zmiennych zapisanych podczas wcześniejszej symulacji. Ale oczekiwanego takiego samego kotleta jego komputer nie wysmażył. Ed Lorenz z niedowierzaniem kręcił głową, mrucząc: „Do diabła, chyba coś poszło nie tak”. Wszak wydruki z wynikami obliczeń powinny być identyczne. Był pewien, że otrzyma replikę prognozy. Tymczasem nowa prognoza z upływem czasu coraz bardziej odbiegała od starej, aż wszelkie podobieństwo stało się pustą nazwą. A jego Pszczółka ze stoickim spokojem brzęczała, że jest niewinna.
Podsumujmy: Lorenz uruchomił numeryczny model komputerowy, aby powtórzyć prognozę pogody od środka poprzedniego przebiegu. Idąc na skróty, wprowadził jako początkowy stan jednej ze zmiennych zaokrągloną wartość 0,506, zaczerpniętą z wydruku, zamiast wartości 0,506127 (z taką dokładnością liczby były zapisywane w pamięci komputera). Rezultat: zupełnie inna prognoza.
Sam Lorenz napisał:
W pewnym momencie postanowiłem powtórzyć niektóre obliczenia, aby zbadać, co się dzieje bardziej szczegółowo. Zatrzymałem komputer, wpisałem linię liczb, którą wydrukował jakiś czas wcześniej, i uruchomiłem go ponownie. Poszedłem na korytarz po filiżankę kawy i wróciłem po około godzinie, podczas której komputer symulował dwumiesięczną pogodę. Drukowane liczby nie przypominały starych. Nowe wartości najpierw powtarzały stare, ale wkrótce różniły się o jedną, a następnie o kilka jednostek na ostatnim miejscu, a potem zaczęły się różnić na przedostatnim miejscu, a następnie na miejscu przed nim. W rzeczywistości różnice mniej więcej stale podwajały się co cztery dni, aż w drugim miesiącu zniknęło wszelkie podobieństwo do oryginalnego wyniku. To wystarczyło, aby powiedzieć mi, co się stało: winowajcami były początkowe błędy zaokrągleń; stale się powiększały, aż zdominowały rozwiązanie. (E. N. Lorenz, The Essence of Chaos, University of Washington Press, 1995.)
Prawie żadna różnica – pozornie funta kłaków warta – w wartościach liczb na wejściu programu (rzędu 0,025%) spowodowała ogromną różnicę na wyjściu. Po raz kolejny okazało się, że „prawie” czyni wielką różnicę.
Ta maleńka różnica, niczym miniaturowy wiaterek wywołany trzepotem skrzydeł motyla, była przyczyną rozbiegnięcia się aury. Niemal identyczne dane prowadziły do wyników skrajnie różnych: od upalnego, suchego lata po zaśnieżoną, mroźną zimę.
Oznaczało to, niestety, plajtę meteorologii na polu prognoz długoterminowych; na dłużej nie da się nic przewidzieć! (dokładniej rzecz ujmując – na kilka godzin – prawie na pewno, na kilka dni – prawdopodobnie, na kilka tygodni – być może tak, być może nie, czyli na dwoje babka wróżyła). Winowajcą jest tu wrażliwość na warunki początkowe, czyli efekt motyla, który nie jest zjawiskiem przypadkowym, lecz przymusem konieczności.
Nie ma co biadać nad fiaskiem przewidywań, skoro z góry wiadomo, że prawdopodobnie będą złe. Sam Lorenz napisał: „dowolny układ fizyczny, zachowujący się nieokresowo, jest nieprzewidywalny”. W pełnym rezygnacji skrócie: chaos jest porządkiem pogodowego bałaganu. A prognozy meteorologiczne, nawet niedoskonałe, są lepsze niż żadne, co współgra z przewrotnym angielskim powiedzeniem „better than kick in the teeth” („lepsze to niż nic”).
Czy w przyszłości uda się przewidywać pogodę z całkowitą dokładnością? Niestety nie. Masa atmosfery ziemskiej zawiera, bagatela!, ok. 5·1015 ton różnych cząsteczek poruszających się w sposób losowy i próba uchwycenia ich wszystkich jest jak porywanie się z motyką na słońce. Chaotyczna natura pogody oznacza, że zawsze istnieje ryzyko, że model pogody będzie obarczony mniejszym lub większym j błędem.
Trzy równania różniczkowe Lorenza uwzględniają wszystkie istotne zjawiska i tworzą dziś klasykę układu modelującego atmosferę.
Układ ten można interpretować jako matematyczny model garnka z gazem postawionego na gorącym piecu. Cieplejszy gaz traci na gęstości, co powoduje, że unosi się ku górze. To wywołuje konwekcję, czyli prąd ciepła „pchający się” w górę wraz z przemieszczającymi się masami. Wielkości x, y, z są współrzędnymi układu przestrzennego, z kolei wartości pochodnych dx/dt, dy/dt, dz/dt określają szybkość zmian x, y oraz z w czasie t. Czynnik 28, wprowadzony przez Lorenza w środkowym równaniu, wyznacza układ wkrótce po jego przejściu w stan niestabilny, gdy atmosfera „wierci się” w bardzo zawiły sposób. Liczby z pozostałych równań są stałymi Barry’ego Saltzmana, ówczesnego guru meteorologii i klimatologii, który przed nim badał zjawisko konwekcji.
Pchające się do góry gorące powietrze odpowiada za wiele kaprysów aury. Chmury i burze w parne dni mają konwekcyjną metrykę. Na przykład krążący coraz wyżej szybowiec, korzysta z „konwekcyjnej windy”, utworzonej przez termiczny komin. Podobnie czynią ptaki drapieżne, oszczędzając sobie machania skrzydłami w trakcie wypatrywania biegającej po ziemi przekąski.
Motylkowaty atraktor dobrze obrazuje istotę efektu motyla. Ów sprasowany precelek, dynamiczny chaos skaczących trajektorii, jest na warunki początkowe czuły niczym mimoza; wystarczy niewielka zmiana położenia, porównywalna z założeniem przez komara nogi na nogę, a już pociąga za sobą przeskok na radykalnie inną trajektorię, prowadzącą do całkowicie odmiennej pogody. Jakiej? Oto jest pytanie.
Atraktor Lorenza przedstawia klimat. I chociaż pogoda zmienną jest, jej repertuar pozostaje w pewien sposób ograniczony – nie ma tornad na Grenlandii lub Alasce czy śnieżyc na Borneo lub Jamajce. Ale mimo skromności zakresu nie ma też w żaden sposób zdeterminowanej powtarzalności. Pogoda błądzi chaotycznie po pętlących się w nieskończoność trajektoriach.
Prognozowanie, jeśli ma być czymś więcej niż zgaduj zgadulą lub koncertem pobożnych życzeń, musi się ograniczyć do krótkiego okresu, bardzo krótkiego. I nie ma na to rady. „Układ fizyczny, zachowujący się nieokresowo, jest nieprzewidywalny”. Z pogodą na nadchodzące dni jest podobnie – diabli wiedzą, co się będzie działo. Podobnie, ale nieco inaczej, stwierdza ludowe przysłowie:
Tylko święty Gaweł ręczy za to,
jakie będzie przyszłe lato.
Summa summarum i z pełną pokorą, przewidywanie pogody to jeden z najstarszych i zarazem najbardziej bezcelowych ludzkich nawyków.
Dodajmy, że efekt motyla – duża wrażliwość na małe zaburzenia warunków początkowych, czyli tak zwany chaos deterministyczny – to nie tylko meteorologia. Pojawia się on niemal we wszystkich dziedzinach, od chemii i fizyki po ekologię czy ekonomię. Również w życiu codziennym, kiedy przykładowo pan Kowalski zapomniał kluczyków do samochodu i, wychodząc po raz drugi z domu, natknął się na przyszłą, jak się później okazało, panią Kowalską. W efekcie jego syn lub córka są prostą konsekwencją efektu motyla zapomnianych kluczyków. Drobiazg, który z pozoru nic nie znaczy, może zmienić całe życie. W tym sensie każdy z nas jest motylem, który trzepocząc skrzydłami, może coś zmienić.
Nadmieńmy, że pierwszy twardy dowód – wspomagany komputerowo! – na chaotyczność układu Lorenza przedstawili w 1995 roku Marian Mrozek (Uniwersytet Jagielloński) i Konstantin Michaikow (Rutgers University of New Jersey).
Pojęcie chaos deterministyczny oznacza, że chaos nie jest zjawiskiem losowym. Termin ten łączy dwie pozorne sprzeczności – chaos, czyli brak porządku, z determinizmem, czyli liniową zależnością przyczyny i skutku. Teoria chaosu mówi, że chaos ma swój porządek, realizując się sposób skokowy, a nie liniowy. I to wszystko wbrew temu, że człowiek nie lubi nie wiedzieć, co nastąpi w wyniku jakiegoś działania. W kultowym filmie thrillerze science fiction z 2004 roku „The Butterfly Effect” (efekt motyla) można usłyszeć: „zmień jeden drobiazg, a zmienisz wszystko”.
W świecie klasycznej fizyki rzeczywistość działa na zasadzie upadających kostek domina. Stosunkowo łatwo więc wyobrazić sobie sekwencję kolejnych wydarzeń, nawet wtedy, gdy finalny efekt jest nieosiągalny dla najbardziej złożonych algorytmów.
Stany kwantowe podlegają jednak innym prawom i do niedawna nie było jasne, jak efekt motyla mógłby objawić się w tak złożonej rzeczywistości. Nicolai Sinitsyn oraz Bin Yan z Los Alamos National Laboratory postanowli zbadać, co by się stało, jeżeli cofnęliby przebieg interakcji plączących ze sobą kubitów (jednostek informacji kwantowej), a potem „rozdeptaliby” kilka i ponownie uruchomili system, po czym dokonali pomiaru w tej samej konfiguracji.
– Odkryliśmy, że jeżeli ktoś z zewnątrz dokonałby zmieniającego stan pomiaru jakiegoś splątania, to nadal moglibyśmy odczytać istotne informacje, bo w czasie dekodowania zmiana stanu nie została powiększona – wyjaśnił Bin Yan. – Motyl w świecie kwantowym może trzepotać swoimi skrzydełkami jak opętany. Niczego już nie zmieni. W deterministycznym chaosie kwantowego świata zwyczajnie nie ma możliwości zmiany „efektu końcowego poprzez cofnięcie się w czasie”. Na tym odkryciu z pewnością nie da się zbudować maszyny do podróży w czasie.
– Chaos w klasycznej fizyce i chaos w fizyce kwantowej to dwie kompletnie różne rzeczy. I to pokazaliśmy – komentował Sinitsyn analizę artykułu “Recovery of Damaged Information and the Out-of-Time-Ordered Correlator”, który Yan oraz Sinitsyn opublikowali w prestiżowym (tylko co trzecia praca przeciska się przez redakcyjne sito) czasopiśmie „Physical Review Letters” 125 (2020), wydawanym przez American Physical Society.
***
Zilustrujmy jeszcze efekt motyla przykładem stricte matematycznym. Oto on: na leżące na ziemi dwie styczne rury, jedną o promieniu 30 cm, drugą dużo większą, bo aż półmetrowym promieniu, beztrosko ułożono trzecią, rozmiarów nieznanych (r = ?), ale z pewnością niemałych. Górna rura leżała na spodnich, stycznie do pozostałych, ale w pionie nad mniejszą. Wszystko było w porządku do chwili, póki na górnej rurze nie usiadł motyl i zaczął trzepotać skrzydełkami. Wtedy zadziałał efekt motyla, delikatną równowagę diabli wzięli i stoczyła się ona na ziemię. Jaki był promień górnej rury?
Ideę rozwiązania ilustruje poniższy rysunek.
Reszta leży w gestii niezawodnego twierdzenia Pitagorasa i odrobiny algebry na dokładkę.
Środek ciężkości górnej rury (zarazem jej środek geometryczny) znajdował się nad środkiem mniejszej. Trzepot skrzydełek motyka spowodował więc przesunięcie się środka ciężkości poza kruchy układ stabilności. Jeśli w trójkącie ABC poprowadzić wysokość h z wierzchołka C, to z dwóch prostokątnych trójkątów składowych dostajemy:
h2 = (r + 50)2 – (r + 10)2 = (50 + 30)2 – 202, skąd r = 45 cm.
Wniosek jest jednoznaczny: w deterministycznym świecie, czyli w świecie fizyki klasycznej, motyl rzeczywiście może dużo „namieszać” – i robi to bardzo często. Jednak w kwantowym świecie nie ma już nic do gadania.
Tadeusz Ostrowski
dr nauk matematycznych