W poło­wie ubie­głe­go wie­ku zapro­jek­to­wa­no pierw­sze na świe­cie kom­pu­te­ry cyfro­we. Wkrót­ce te olbrzy­mie oraz kapry­śne urzą­dze­nia, zło­żo­ne z labi­ryn­tu tysię­cy lamp i wie­lu kilo­me­trów kabli, sta­ły się fak­tem. Ich kon­struk­to­rzy zyska­li mia­no ojców chrzest­nych „bar­dzo szyb­kich idio­tów” (jak mawiał wiel­ki pol­ski mate­ma­tyk Hugo Ste­in­haus o kom­pu­te­rach), narzę­dzi do „pich­ce­nia” pro­gno­zy pogo­dy, mię­dzy innymi.

Jesz­cze ćwierć wie­ku wcze­śniej kom­pu­te­ro­we pro­gno­zo­wa­nie pogo­dy było kla­sycz­ną uto­pią, opi­sa­ną na kar­tach mono­gra­fii Lewi­sa Fry Richard­so­na pt. Weather Pre­dic­tion by Nume­ri­cal Pro­cess. Bry­tyj­ski mete­oro­log i pio­nier mate­ma­tycz­ne­go pro­gno­zo­wa­nia pogo­dy pisał w 1922 roku: „Być może któ­re­goś dnia dale­kiej przy­szło­ści sta­nie się moż­li­we, że obli­cze­nia będą szyb­sze od zmian pogo­dy. Ale na razie jest to jedy­nie marze­nie”. Wszy­scy byli pew­ni, że wraz z kom­pu­te­ra­mi nade­szła owa dale­ka przy­szłość. Jed­nak oka­za­ła się dużo mniej różo­wa niż oczekiwano.

Rok 1961. Edward Nor­ton Lorenz z MIT (Mas­sa­chu­setts Insti­tu­te of Tech­no­lo­gy) „sma­ży” model pogo­dy. Rolę patel­ni peł­ni kom­pu­ter Roy­al McBee (Kró­lew­ska Psz­czół­ka) LGP-30, hała­śli­wy grat według dzi­siej­szych standardów.

Kom­pu­ter LGP-30 na ulot­ce rekla­mo­wej Roy­al Pre­ci­sion
źró­dło: computerhistory.org

Era ukła­dów sca­lo­nych dopie­ro racz­ko­wa­ła – zale­d­wie dwa lata wcze­śniej, w 1959 roku, ame­ry­kań­ski inży­nier Jack Kil­by opa­ten­to­wał układ sca­lo­ny, za co w 2000 roku (dopie­ro!) otrzy­mał Nagro­dę Nobla z fizyki.

***

Edward Nor­ton Lorenz (1917 – 2008) – ame­ry­kań­ski mate­ma­tyk i mete­oro­log, zna­ny jako ojciec teo­rii cha­osu. Jego obser­wa­cje dopro­wa­dzi­ły go do sfor­mu­ło­wa­nia hipo­te­zy o ist­nie­niu zja­wi­ska okre­śla­ne­go jako efekt moty­la, a wywo­dzą­ce­go się z pra­cy nauko­wej z 1972 r. zaty­tu­ło­wa­nej Prze­wi­dy­wal­ność: Czy trze­pot skrzy­deł moty­la w Bra­zy­lii wywo­łu­je tor­na­do w Teksasie?

W 1983 r. Lorenz i Hen­ry Mel­son Stom­mel otrzy­ma­li wspól­nie Nagro­dę Cra­fo­or­da w wyso­ko­ści 50 000 dola­rów, przy­zna­wa­ną przez Kró­lew­ską Szwedz­ką Aka­de­mię Nauk, za osią­gnię­cia w dzie­dzi­nach nauki, któ­re nie kwa­li­fi­ku­ją się do Nagro­dy Nobla.

***

Lorenz wła­śnie zakoń­czył ana­li­zo­wa­nie dłu­giej sekwen­cji symu­la­cji pogo­dy. Posta­no­wił „zmu­sić” kom­pu­ter do wyge­ne­ro­wa­nia kolej­ne­go kawał­ka takiej sekwen­cji Poszedł jed­nak na łatwi­znę – choć chy­ba lepiej powie­dzieć, że pognał na skró­ty, robiąc sobie małą prze­rwę na kawę – i uru­cho­mił kom­pu­te­ro­wą symu­la­cję nie od począt­ku, ale od środ­ka z dany­mi z wydru­ku, na któ­rym były kopie war­to­ści zmien­nych zapi­sa­nych pod­czas wcze­śniej­szej symu­la­cji. Ale ocze­ki­wa­ne­go takie­go same­go kotle­ta jego kom­pu­ter nie wysma­żył. Ed Lorenz z nie­do­wie­rza­niem krę­cił gło­wą, mru­cząc: „Do dia­bła, chy­ba coś poszło nie tak”. Wszak wydru­ki z wyni­ka­mi obli­czeń powin­ny być iden­tycz­ne. Był pewien, że otrzy­ma repli­kę pro­gno­zy. Tym­cza­sem nowa pro­gno­za z upły­wem cza­su coraz bar­dziej odbie­ga­ła od sta­rej, aż wszel­kie podo­bień­stwo sta­ło się pustą nazwą. A jego Psz­czół­ka ze sto­ic­kim spo­ko­jem brzę­cza­ła, że jest niewinna.

Pod­su­muj­my: Lorenz uru­cho­mił nume­rycz­ny model kom­pu­te­ro­wy, aby powtó­rzyć pro­gno­zę pogo­dy od środ­ka poprzed­nie­go prze­bie­gu. Idąc na skró­ty, wpro­wa­dził jako począt­ko­wy stan jed­nej ze zmien­nych zaokrą­glo­ną war­tość 0,506, zaczerp­nię­tą z wydru­ku, zamiast war­to­ści 0,506127 (z taką dokład­no­ścią licz­by były zapi­sy­wa­ne w pamię­ci kom­pu­te­ra). Rezul­tat: zupeł­nie inna prognoza.

Sam Lorenz napisał:
W pew­nym momen­cie posta­no­wi­łem powtó­rzyć nie­któ­re obli­cze­nia, aby zba­dać, co się dzie­je bar­dziej szcze­gó­ło­wo. Zatrzy­ma­łem kom­pu­ter, wpi­sa­łem linię liczb, któ­rą wydru­ko­wał jakiś czas wcze­śniej, i uru­cho­mi­łem go ponow­nie. Posze­dłem na kory­tarz po fili­żan­kę kawy i wró­ci­łem po oko­ło godzi­nie, pod­czas któ­rej kom­pu­ter symu­lo­wał dwu­mie­sięcz­ną pogo­dę. Dru­ko­wa­ne licz­by nie przy­po­mi­na­ły sta­rych. Nowe war­to­ści naj­pierw powta­rza­ły sta­re, ale wkrót­ce róż­ni­ły się o jed­ną, a następ­nie o kil­ka jed­no­stek na ostat­nim miej­scu, a potem zaczę­ły się róż­nić na przed­ostat­nim miej­scu, a następ­nie na miej­scu przed nim. W rze­czy­wi­sto­ści róż­ni­ce mniej wię­cej sta­le podwa­ja­ły się co czte­ry dni, aż w dru­gim mie­sią­cu znik­nę­ło wszel­kie podo­bień­stwo do ory­gi­nal­ne­go wyni­ku. To wystar­czy­ło, aby powie­dzieć mi, co się sta­ło: wino­waj­ca­mi były począt­ko­we błę­dy zaokrą­gleń; sta­le się powięk­sza­ły, aż zdo­mi­no­wa­ły roz­wią­za­nie. (E. N. Lorenz, The Essen­ce of Cha­os, Uni­ver­si­ty of Washing­ton Press, 1995.)

Pra­wie żad­na róż­ni­ca – pozor­nie fun­ta kła­ków war­ta – w war­to­ściach liczb na wej­ściu pro­gra­mu (rzę­du 0,025%) spo­wo­do­wa­ła ogrom­ną róż­ni­cę na wyj­ściu. Po raz kolej­ny oka­za­ło się, że „pra­wie” czy­ni wiel­ką różnicę.

Ta maleń­ka róż­ni­ca, niczym minia­tu­ro­wy wia­te­rek wywo­ła­ny trze­po­tem skrzy­deł moty­la, była przy­czy­ną roz­bie­gnię­cia się aury. Nie­mal iden­tycz­ne dane pro­wa­dzi­ły do wyni­ków skraj­nie róż­nych: od upal­ne­go, suche­go lata po zaśnie­żo­ną, mroź­ną zimę.

Ozna­cza­ło to, nie­ste­ty, plaj­tę mete­oro­lo­gii na polu pro­gnoz dłu­go­ter­mi­no­wych; na dłu­żej nie da się nic prze­wi­dzieć! (dokład­niej rzecz ujmu­jąc – na kil­ka godzin – pra­wie na pew­no, na kil­ka dni – praw­do­po­dob­nie, na kil­ka tygo­dni – być może tak, być może nie, czy­li na dwo­je bab­ka wró­ży­ła). Wino­waj­cą jest tu wraż­li­wość na warun­ki począt­ko­we, czy­li efekt moty­la, któ­ry nie jest zja­wi­skiem przy­pad­ko­wym, lecz przy­mu­sem konieczności.

Nie ma co bia­dać nad fia­skiem prze­wi­dy­wań, sko­ro z góry wia­do­mo, że praw­do­po­dob­nie będą złe. Sam Lorenz napi­sał: „dowol­ny układ fizycz­ny, zacho­wu­ją­cy się nie­okre­so­wo, jest nie­prze­wi­dy­wal­ny”. W peł­nym rezy­gna­cji skró­cie: cha­os jest porząd­kiem pogo­do­we­go bała­ga­nu. A pro­gno­zy mete­oro­lo­gicz­ne, nawet nie­do­sko­na­łe, są lep­sze niż żad­ne, co współ­gra z prze­wrot­nym angiel­skim powie­dze­niem „bet­ter than kick in the teeth” („lep­sze to niż nic”).

Czy w przy­szło­ści uda się prze­wi­dy­wać pogo­dę z cał­ko­wi­tą dokład­no­ścią? Nie­ste­ty nie. Masa atmos­fe­ry ziem­skiej zawie­ra, baga­te­la!, ok. 5·1015 ton róż­nych czą­ste­czek poru­sza­ją­cych się w spo­sób loso­wy i pró­ba uchwy­ce­nia ich wszyst­kich jest jak pory­wa­nie się z moty­ką na słoń­ce. Cha­otycz­na natu­ra pogo­dy ozna­cza, że zawsze ist­nie­je ryzy­ko, że model pogo­dy będzie obar­czo­ny mniej­szym lub więk­szym j błędem.

Trzy rów­na­nia róż­nicz­ko­we Loren­za uwzględ­nia­ją wszyst­kie istot­ne zja­wi­ska i two­rzą dziś kla­sy­kę ukła­du mode­lu­ją­ce­go atmosferę.

Układ ten moż­na inter­pre­to­wać jako mate­ma­tycz­ny model garn­ka z gazem posta­wio­ne­go na gorą­cym pie­cu. Cie­plej­szy gaz tra­ci na gęsto­ści, co powo­du­je, że uno­si się ku górze. To wywo­łu­je kon­wek­cję, czy­li prąd cie­pła „pcha­ją­cy się” w górę wraz z prze­miesz­cza­ją­cy­mi się masa­mi. Wiel­ko­ści x, y, z są współ­rzęd­ny­mi ukła­du prze­strzen­ne­go, z kolei war­to­ści pochod­nych dx/dt, dy/dt, dz/dt okre­śla­ją szyb­kość zmian x, y oraz z w cza­sie t. Czyn­nik 28, wpro­wa­dzo­ny przez Loren­za w środ­ko­wym rów­na­niu, wyzna­cza układ wkrót­ce po jego przej­ściu w stan nie­sta­bil­ny, gdy atmos­fe­ra „wier­ci się” w bar­dzo zawi­ły spo­sób. Licz­by z pozo­sta­łych rów­nań są sta­ły­mi Barry’ego Salt­zma­na, ówcze­sne­go guru mete­oro­lo­gii i kli­ma­to­lo­gii, któ­ry przed nim badał zja­wi­sko konwekcji.

Pcha­ją­ce się do góry gorą­ce powie­trze odpo­wia­da za wie­le kapry­sów aury. Chmu­ry i burze w par­ne dni mają kon­wek­cyj­ną metry­kę. Na przy­kład krą­żą­cy coraz wyżej szy­bo­wiec, korzy­sta z „kon­wek­cyj­nej win­dy”, utwo­rzo­nej przez ter­micz­ny komin. Podob­nie czy­nią pta­ki dra­pież­ne, oszczę­dza­jąc sobie macha­nia skrzy­dła­mi w trak­cie wypa­try­wa­nia bie­ga­ją­cej po zie­mi przekąski.

Motyl­ko­wa­ty atrak­tor dobrze obra­zu­je isto­tę efek­tu moty­la. Ów spra­so­wa­ny pre­ce­lek, dyna­micz­ny cha­os ska­czą­cych tra­jek­to­rii, jest na warun­ki począt­ko­we czu­ły niczym mimo­za; wystar­czy nie­wiel­ka zmia­na poło­że­nia, porów­ny­wal­na z zało­że­niem przez koma­ra nogi na nogę, a już pocią­ga za sobą prze­skok na rady­kal­nie inną tra­jek­to­rię, pro­wa­dzą­cą do cał­ko­wi­cie odmien­nej pogo­dy. Jakiej? Oto jest pytanie.

Atrak­tor Loren­za przed­sta­wia kli­mat. I cho­ciaż pogo­da zmien­ną jest, jej reper­tu­ar pozo­sta­je w pewien spo­sób ogra­ni­czo­ny – nie ma tor­nad na Gren­lan­dii lub Ala­sce czy śnie­życ na Bor­neo lub Jamaj­ce. Ale mimo skrom­no­ści zakre­su nie ma też w żaden spo­sób zde­ter­mi­no­wa­nej powta­rzal­no­ści. Pogo­da błą­dzi cha­otycz­nie po pętlą­cych się w nie­skoń­czo­ność trajektoriach.

Pro­gno­zo­wa­nie, jeśli ma być czymś wię­cej niż zga­duj zga­du­lą lub kon­cer­tem poboż­nych życzeń, musi się ogra­ni­czyć do krót­kie­go okre­su, bar­dzo krót­kie­go. I nie ma na to rady. „Układ fizycz­ny, zacho­wu­ją­cy się nie­okre­so­wo, jest nie­prze­wi­dy­wal­ny”. Z pogo­dą na nad­cho­dzą­ce dni jest podob­nie – dia­bli wie­dzą, co się będzie dzia­ło. Podob­nie, ale nie­co ina­czej, stwier­dza ludo­we przysłowie:

Tyl­ko świę­ty Gaweł ręczy za to,
jakie będzie przy­szłe lato.

Sum­ma sum­ma­rum i z peł­ną poko­rą, prze­wi­dy­wa­nie pogo­dy to jeden z naj­star­szych i zara­zem naj­bar­dziej bez­ce­lo­wych ludz­kich nawyków.

Dodaj­my, że efekt moty­la – duża wraż­li­wość na małe zabu­rze­nia warun­ków począt­ko­wych, czy­li tak zwa­ny cha­os deter­mi­ni­stycz­ny – to nie tyl­ko mete­oro­lo­gia. Poja­wia się on nie­mal we wszyst­kich dzie­dzi­nach, od che­mii i fizy­ki po eko­lo­gię czy eko­no­mię. Rów­nież w życiu codzien­nym, kie­dy przy­kła­do­wo pan Kowal­ski zapo­mniał klu­czy­ków do samo­cho­du i, wycho­dząc po raz dru­gi z domu, natknął się na przy­szłą, jak się póź­niej oka­za­ło, panią Kowal­ską. W efek­cie jego syn lub cór­ka są pro­stą kon­se­kwen­cją efek­tu moty­la zapo­mnia­nych klu­czy­ków. Dro­biazg, któ­ry z pozo­ru nic nie zna­czy, może zmie­nić całe życie. W tym sen­sie każ­dy z nas jest moty­lem, któ­ry trze­po­cząc skrzy­dła­mi, może coś zmienić.

Nad­mień­my, że pierw­szy twar­dy dowód – wspo­ma­ga­ny kom­pu­te­ro­wo! – na cha­otycz­ność ukła­du Loren­za przed­sta­wi­li w 1995 roku Marian Mro­zek (Uni­wer­sy­tet Jagiel­loń­ski) i Kon­stan­tin Micha­ikow (Rut­gers Uni­ver­si­ty of New Jersey).

Poję­cie cha­os deter­mi­ni­stycz­ny ozna­cza, że cha­os nie jest zja­wi­skiem loso­wym. Ter­min ten łączy dwie pozor­ne sprzecz­no­ści – cha­os, czy­li brak porząd­ku, z deter­mi­ni­zmem, czy­li linio­wą zależ­no­ścią przy­czy­ny i skut­ku. Teo­ria cha­osu mówi, że cha­os ma swój porzą­dek, reali­zu­jąc się spo­sób sko­ko­wy, a nie linio­wy. I to wszyst­ko wbrew temu, że czło­wiek nie lubi nie wie­dzieć, co nastą­pi w wyni­ku jakie­goś dzia­ła­nia. W kul­to­wym fil­mie thril­le­rze scien­ce fic­tion z 2004 roku „The But­ter­fly Effect” (efekt moty­la) moż­na usły­szeć: „zmień jeden dro­biazg, a zmie­nisz wszystko”.

W świe­cie kla­sycz­nej fizy­ki rze­czy­wi­stość dzia­ła na zasa­dzie upa­da­ją­cych kostek domi­na. Sto­sun­ko­wo łatwo więc wyobra­zić sobie sekwen­cję kolej­nych wyda­rzeń, nawet wte­dy, gdy final­ny efekt jest nie­osią­gal­ny dla naj­bar­dziej zło­żo­nych algorytmów.

Sta­ny kwan­to­we pod­le­ga­ją jed­nak innym pra­wom i do nie­daw­na nie było jasne, jak efekt moty­la mógł­by obja­wić się w tak zło­żo­nej rze­czy­wi­sto­ści. Nico­lai Sinit­syn oraz Bin Yan z Los Ala­mos Natio­nal Labo­ra­to­ry posta­now­li zba­dać, co by się sta­ło, jeże­li cof­nę­li­by prze­bieg inte­rak­cji plą­czą­cych ze sobą kubi­tów (jed­no­stek infor­ma­cji kwan­to­wej), a potem „roz­dep­ta­li­by” kil­ka i ponow­nie uru­cho­mi­li sys­tem, po czym doko­na­li pomia­ru w tej samej konfiguracji.

– Odkry­li­śmy, że jeże­li ktoś z zewnątrz doko­nał­by zmie­nia­ją­ce­go stan pomia­ru jakie­goś splą­ta­nia, to nadal mogli­by­śmy odczy­tać istot­ne infor­ma­cje, bo w cza­sie deko­do­wa­nia zmia­na sta­nu nie zosta­ła powięk­szo­na – wyja­śnił Bin Yan. – Motyl w świe­cie kwan­to­wym może trze­po­tać swo­imi skrzy­deł­ka­mi jak opę­ta­ny. Nicze­go już nie zmie­ni. W deter­mi­ni­stycz­nym cha­osie kwan­to­we­go świa­ta zwy­czaj­nie nie ma moż­li­wo­ści zmia­ny „efek­tu koń­co­we­go poprzez cof­nię­cie się w cza­sie”. Na tym odkry­ciu z pew­no­ścią nie da się zbu­do­wać maszy­ny do podró­ży w czasie.

– Cha­os w kla­sycz­nej fizy­ce i cha­os w fizy­ce kwan­to­wej to dwie kom­plet­nie róż­ne rze­czy. I to poka­za­li­śmy – komen­to­wał Sinit­syn ana­li­zę arty­ku­łu “Reco­ve­ry of Dama­ged Infor­ma­tion and the Out-of-Time-Ordered Cor­re­la­tor”, któ­ry Yan oraz Sinit­syn opu­bli­ko­wa­li w pre­sti­żo­wym (tyl­ko co trze­cia pra­ca prze­ci­ska się przez redak­cyj­ne sito) cza­so­pi­śmie „Phy­si­cal Review Let­ters” 125 (2020), wyda­wa­nym przez Ame­ri­can Phy­si­cal Society.

***

Zilu­struj­my jesz­cze efekt moty­la przy­kła­dem stric­te mate­ma­tycz­nym. Oto on: na leżą­ce na zie­mi dwie stycz­ne rury, jed­ną o pro­mie­niu 30 cm, dru­gą dużo więk­szą, bo aż pół­me­tro­wym pro­mie­niu, bez­tro­sko uło­żo­no trze­cią, roz­mia­rów nie­zna­nych (r = ?), ale z pew­no­ścią nie­ma­łych. Gór­na rura leża­ła na spodnich, stycz­nie do pozo­sta­łych, ale w pio­nie nad mniej­szą. Wszyst­ko było w porząd­ku do chwi­li, póki na gór­nej rurze nie usiadł motyl i zaczął trze­po­tać skrzy­deł­ka­mi. Wte­dy zadzia­łał efekt moty­la, deli­kat­ną rów­no­wa­gę dia­bli wzię­li i sto­czy­ła się ona na zie­mię. Jaki był pro­mień gór­nej rury?

Ideę roz­wią­za­nia ilu­stru­je poniż­szy rysunek.

Resz­ta leży w gestii nie­za­wod­ne­go twier­dze­nia Pita­go­ra­sa i odro­bi­ny alge­bry na dokładkę.

Śro­dek cięż­ko­ści gór­nej rury (zara­zem jej śro­dek geo­me­trycz­ny) znaj­do­wał się nad środ­kiem mniej­szej. Trze­pot skrzy­de­łek moty­ka spo­wo­do­wał więc prze­su­nię­cie się środ­ka cięż­ko­ści poza kru­chy układ sta­bil­no­ści. Jeśli w trój­ką­cie ABC popro­wa­dzić wyso­kość h z wierz­choł­ka C, to z dwóch pro­sto­kąt­nych trój­ką­tów skła­do­wych dostajemy:

h2 = (r + 50)2 – (r + 10)2 = (50 + 30)2 – 202, skąd r = 45 cm.

Wnio­sek jest jed­no­znacz­ny: w deter­mi­ni­stycz­nym świe­cie, czy­li w świe­cie fizy­ki kla­sycz­nej, motyl rze­czy­wi­ście może dużo „namie­szać” – i robi to bar­dzo czę­sto. Jed­nak w kwan­to­wym świe­cie nie ma już nic do gadania.


Tade­usz Ostrowski
dr nauk matematycznych