Albowiem wszelkiemu mającemu będzie dano, i obfitować będzie,
a temu, który nie ma, i to, co się zda mieć, będzie wzięto od niego.
Ewangelia Mateusza 25:291
Już ponad pół wieku temu amerykański socjolog Robert K. Merton (1910–2003) sformułował tzw. efekt św. Mateusza (inaczej nazywany „zasadą kumulatywnych korzyści”), który ujawnia się w licznych dziedzinach. Polega on na tym, że np. w nauce bardziej znani naukowcy za te same osiągnięcia naukowe dostają więcej punktów czy funduszy kosztem tych mniej znanych lub to samo osiągnięcie przypisuje się osobie bardziej sławnej.
W matematyce, czyli w regina omnium scientiarum (= królowa wszystkich nauk), jednym z pierwszych historycznie znanych efektów św. Mateusza jest, zdaje się, twierdzenie Pitagorasa.
W folklorze królowej nauk obrazowe przedstawienie twierdzenia znane jest jako „krzesło panny młodej” (ang. the bride’s chair), „kaptur franciszkański” (ang. the Franciscan’s cowl) czy „spodnie Pitagorasa” (ang. Pythagorean pants). Arabowie mówią o „postaci Panny Młodej”.
Wspomnijmy, że z twierdzeniem Pitagorasa byli zaznajomieni już starożytni matematycy Babilonii (nie licząc później po drodze Egipcjan, Chińczyków i Hindusów) ponad tysiąc lat przed narodzinami Pitagorasa. Jednakże starożytni Grecy przypisywali odkrycie i dowód Pitagorasowi, ówczesnej gwieździe greckiej nauki. Tak już pozostało do dzisiaj, a historia wykręciła rękami Greków efekt Świętego Mateusza.
Pitagoras (ok. 570–497 p.n.e.) pochodził z wyspy Samos (ojczyzny słynnego bajkopisa Ezopa) na morzu Egejskim. Syn grawera Mnesarchosa rozpuszczał o sobie wieści, że jest potomkiem boga Hermesa. Dodawał też, że pradziad, właściciel skrzydlatych sandałów i opiekun pasterzy, pozwolił mu zażądać wszystkiego z wyjątkiem nieśmiertelności. Grek wybrał pamięć. Jeszcze jako młokos, który mleka spod wąsa dobrze wytrzeć nie zdążył, dał drapaka z rodzinnej wysepki i ruszył w wielki świat.
Chciwy nauk młodzian pognał najpierw do Miletu, ówczesnego Oxfordu starożytności, gdzie pobierał nauki u samego Talesa. Kiedy miał już dość włóczęgi, osiadł w Krotonie – mieście na południu Italii, ówczesnej kolonii Wielka Grecja.
Założył tam bractwo, czy raczej: towarzystwo naukowe, znane dziś pod nazwą „pitagorejskiego”.
Epokowym i brzemiennym w skutki było słynne twierdzenie, noszące dziś imię Pitagorasa: w trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. Po tym odkryciu świętowano okrągły tydzień przy stu wołach na stołach. Nikt z biesiadujących pitagorejczyków nie podejrzewał, że przeciwprostokątna kryje w sobie jedną z pierwszych wielkich liczbowych niespodzianek.
Dla Pitagorasa i spółki świat liczb był bowiem dwojakiego rodzaju, a mianowicie naturalnych (1, 2, 3, 4, 5, …) i wymiernych (½, ¾, ⅝, …), dających się przedstawić jako iloraz dwóch liczb naturalnych.
Tymczasem okazało się, że żeglując po liczbowym oceanie łodzią napędzaną twierdzeniem Pitagorasa, wpada się na rafę przekątnej kwadratu o boku jednostkowym. A jej długość to straszydło zwące się pierwiastek kwadratowy z dwóch. Był to, lekko licząc, szok do kwadratu. Nikt nie podejrzewał, że ów dziwoląg, dziś nie robiący na nikim szczególnego wrażenia, może w ogóle istnieć.
Pitagoras miał do wyboru trzy wyjścia:
Pierwsze. Udać Greka, uznając, że paskudy nie da się nijak wyrazić, więc nie ma co sobie głowy nią zawracać. Na to jednak nie pozwalał mu honor Pitagorasa.
Drugie. Skromnie stwierdzić, że jego twierdzenie jest jedynie częściowo prawdziwe, tzn. zachodzi tylko dla trójkątów o bokach wymiernych. Ale na takie wyjście nie godził mu się honor matematyka.
Trzecie. Koniec końców wykazać, że pierwiastek z dwóch jest liczbą wymierną. Byłoby to rozwiązanie najlepsze z możliwych i na ówczesnym poziomie wiedzy wydawało się leżeć w zasięgu rozumu.
Pitagoras, będąc w sytuacji bez wyjścia, rozsądnie wybrał drogę trzecią. Jednak mimo wylania bez liku, a może i więcej, amfor potu, udowodnił wraz z bractwem to, czego nie chciał: liczba jest niewymierna (niewyrażalna – jak się wtedy wyrażano). Co gorsza, okazało się, że koszmarnych niewymiernych raf jest bezlik. Kataklizm był równy matematycznej apokalipsie; nowe liczby obracały w perzynę pitagorejski ład rzeczywistości pod rządami liczb naturalnych. Wszak światu nadano nazwę kosmos (κοσμος = ład).
„Wszystko jest liczbą” to słynne zdanie mistrza i zarazem filozoficzna kwintesencja pitagorejskiej opcji widzenia świata: 1 = punkt, 2 = linia, 3 = figura płaska, 4 = bryła, 5 = barwa, 6 = życie, 7 = duch, 8 = miłość, 9 = sprawiedliwość, 10 = wszechświat. Niewymierność była tu tylko kłopotliwym intruzem.
Jak wiadomo, liczby wymierne Grecy traktowali jako zło konieczne i dopust Olimpu. Nie dorastały do rangi prawdziwych liczb. Ale wyrażały się chociaż jako ich proporcje. To zapewniało im rację bytu. A niewymierna zakała tylko psuła harmonię kosmosu.
Postanowiono obłożyć ją pieczęcią bezwzględnego milczenia. Każdy członek bractwa złożył przysięgę, że nigdy i nikomu za żadną cenę nie wyjawi tej strasznej prawdy.
Jednak niejaki Hippasos miał przydługi język i kłapał na lewo i prawo o odkryciu niewspółmiernych dziwadeł. A tajemnica wykaraskawszy się na wolność, nie dała się już zapędzić z powrotem do klatki z napisem „ściśle tajne”.
Z rozkazu Pitagorasa plotkarz został utopiony. I nie on jeden poniósł taką karę za zdradę liczbowej tajemnicy. Proklos (student, nauczyciel, w końcu szef słynnej Akademii Platońskiej), komentator dzieł Euklidesa, napisał bez ogródek: „To, co niewysłowione i pozbawione formy, miało zostać zatajone. Ci, którzy odkryli tę stronę życia, zostawali natychmiast zgładzeni, a ich ciała wydane na pastwę fal wieczności”2.
Explicite wyraził to ponad dwa tysiące lat później Benjamin Franklin (1706–1790), uczony, filozof i wynalazca, zaliczany do grona Ojców Założycieli Stanów Zjednoczonych, który wywodził, że i „Trzy osoby mogą dochować tajemnicy, jeśli dwie z nich nie żyją.” (ang. “Three may keep a secret, if two of them are dead.”).
Odkrycie liczb niewymiernych wywarło olbrzymie wrażenie na starożytnych. Platon (uczeń Sokratesa i zarazem przyjaciel, nauczyciel Arystotelesa), który u wrót swej słynnej Akademii umieścił napis zakazujący wstępu tym, co mają o matematyce – a w szczególności o geometrii – pojęcie równe wiedzy wilka o uprawie kalafiorów, jeszcze sto lat później pisał do rodaków, że jest to triumf myśli ludzkiej tej miary, że jego nieznajomość czyni niegodnym miana człowieka3.
Wejście liczb rzeczywistych w Wielki Świat to gotowy scenariusz filmu sensacyjnego. Jak za dwa tysiące lat Georg Cantor (1845–1918) wykaże – wymierność to wyjątek, regułą jest niewymierność. Liczb wymiernych jest nieskończenie wiele, ale niewiele; zaledwie tyle, co naturalnych. W przestrzeni liczbowej są one pyłkami otoczonymi zewsząd niewymiernością (a to jest już zbiór z nieskończonością większej mocy). Pociąg pędzący po osi liczbowej ciągle przemierza niewymierne pola i lasy, tylko co jakiś czas mijając stacyjki wymierności, które w zasadzie są rzadkim przejawem normalności. Ale to już inna historia.
***
Matematyka ma na koncie pokaźny zbiór efektów św. Mateusza. I tak dla przykładu podamy jeszcze trzech jego „wybrańców”:
▶ W 1674 roku Leibniz odkrył, że sławetna liczba π skoligacona jest z klanem szeregów nieskończonych, czyli ciągnących się nieskończenie sumowanek (naprzemiennych). Był to pierwszy szereg, który dawał rozwinięcie liczby Archimedesa vel Ludolfiny, a dzisiaj po prostu π.
Wzór powyższy nazywany jest powszechnie wzorem Leibniza, ale faktem jest, że trzy lata wcześniej odkrył go szkocki matematyk i astronom James Gregory. Niestety, James miał pecha, bo Leibniz był w owym czasie europejską gwiazdą nauki i to jemu „sprzyjał” św. Mateusz wraz ze swoim efektem.
▶ Zbiór Cantora został odkryty w 1874 roku przez irlandzkiego matematyka Henry’ego Johna Stephena Smitha i dziewięć lat później wspomniany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora jako nietrywialny przykład zbioru doskonałego (zbioru domkniętego i wszędzie gęstego, czyli takiego, że każdy jego punkt jest takim punktem, że dowolny zbiór otwarty go zawierający zawiera też co najmniej jeden inny punkt tego zbioru).
Konstrukcja tego najprostszego, notabene, fraktala jest bardzo prosta: odcinek dzielimy na 3 rozłączne odcinki równej długości z których środkowy jest otwarty, a skrajne są domknięte. Zabawę kontynuujemy w nieskończoność, powtarzając ten proces z pozostałymi krótszymi odcinkami.
▶ Tribar, zwany wszem wobec jako trójkąt Penrose’a, to figura niemożliwa (łatwa do narysowania, niemożliwa do skonstruowania w realu), wymyślona przez szwedzkiego grafika Oscara Reutersvärda w 1936 roku. Ale nazwa pochodzi od matematyka sir Rogera Penrose’a (noblisty z fizyki z 2020 r.), ) który niezależnie odkrył go kilkanaście lat później i opisał jako impossibility in its purest form (tłum. „niemożliwość w jej najczystszej postaci”).
Taki sam los za sprawą efektu św. Mateusza spotkał też inną figurę niemożliwą autorstwa Reutersvärda, znaną dzisiaj jako kwadrat Penrose’a. Kwadrat ten posłużył na początku artykułu jako ramka wizerunku Pitagorasa.
Jak zostało wcześniej wspomniane – tę wyliczankę efektów św. Mateusza w matematyce (a przypomnijmy, że ów efekt zakumulowanej przewagi dotyczy wielu – jeśli nie wszystkich – dziedzin) da się kontynuować niemal bez końca. W największym „śmietniku świata”, czyli internecie, można znaleźć praktycznie niezliczoną liczbę stron poświęconych the Matthew effect (efektowi św. Mateusza), często określanemu aforyzmem The rich get richer and the poor get poorer (tłum. „Bogaci się bogacą, a biedni biednieją”) angielskiego poety i dramaturga okresu romantyzmu Percy Shelley’ego.
Pora jednak na morał. W matematyce – i ogólnie w nauce – system rozdziału zasług jest skrzywiony w kierunku już znanego i uznanego badacza, a efekt św. Mateusza miał, ma i – wszystko na to wskazuje – raczej będzie miał się dobrze. A to niedobrze.
Tadeusz Ostrowski
dr nauk matematycznych
1 Cytat z Bilblii Wujka (wydanie z 1923 r.)
2 Mac Tutor, Quotations (https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/)
3 Platon wyraził to dosadniej „Dziwiłem się i wydawało mi się, że to jest stan niegodny ludzi, tylko raczej jakichś tworów świńskiego rodzaju, więc wstydziłem się nie tylko za siebie, ale i za wszystkich Hellenów.” Prawa, 819C – D.