Albo­wiem wszel­kie­mu mają­ce­mu będzie dano, i obfi­to­wać będzie,
a temu, któ­ry nie ma, i to, co się zda mieć, będzie wzię­to od niego.
Ewan­ge­lia Mate­usza 25:291

Już ponad pół wie­ku temu ame­ry­kań­ski socjo­log Robert K. Mer­ton (1910–2003) sfor­mu­ło­wał tzw. efekt św. Mate­usza (ina­czej nazy­wa­ny „zasa­dą kumu­la­tyw­nych korzy­ści”), któ­ry ujaw­nia się w licz­nych dzie­dzi­nach. Pole­ga on na tym, że np. w nauce bar­dziej zna­ni naukow­cy za te same osią­gnię­cia nauko­we dosta­ją wię­cej punk­tów czy fun­du­szy kosz­tem tych mniej zna­nych lub to samo osią­gnię­cie przy­pi­su­je się oso­bie bar­dziej sławnej.

W mate­ma­ty­ce, czy­li w regi­na omnium scien­tia­rum (= kró­lo­wa wszyst­kich nauk), jed­nym z pierw­szych histo­rycz­nie zna­nych efek­tów św. Mate­usza jest, zda­je się, twier­dze­nie Pitagorasa.

Pita­go­ras na the słyn­ne­go twier­dze­nia
(źró­dło: Ado­be Stock free)

W folk­lo­rze kró­lo­wej nauk obra­zo­we przed­sta­wie­nie twier­dze­nia zna­ne jest jako „krze­sło pan­ny mło­dej” (ang. the bride’s cha­ir), „kap­tur fran­cisz­kań­ski” (ang. the Franciscan’s cowl) czy „spodnie Pita­go­ra­sa” (ang. Pytha­go­re­an pants). Ara­bo­wie mówią o „posta­ci Pan­ny Młodej”.

Wspo­mnij­my, że z twier­dze­niem Pita­go­ra­sa byli zazna­jo­mie­ni już sta­ro­żyt­ni mate­ma­ty­cy Babi­lo­nii (nie licząc póź­niej po dro­dze Egip­cjan, Chiń­czy­ków i Hin­du­sów) ponad tysiąc lat przed naro­dzi­na­mi Pita­go­ra­sa. Jed­nak­że sta­ro­żyt­ni Gre­cy przy­pi­sy­wa­li odkry­cie i dowód Pita­go­ra­so­wi, ówcze­snej gwieź­dzie grec­kiej nauki. Tak już pozo­sta­ło do dzi­siaj, a histo­ria wykrę­ci­ła ręka­mi Gre­ków efekt Świę­te­go Mateusza.

Pita­go­ras (ok. 570–497 p.n.e.) pocho­dził z wyspy Samos (ojczy­zny słyn­ne­go baj­ko­pi­sa Ezo­pa) na morzu Egej­skim. Syn gra­we­ra Mne­sar­cho­sa roz­pusz­czał o sobie wie­ści, że jest potom­kiem boga Her­me­sa. Doda­wał też, że pra­dziad, wła­ści­ciel skrzy­dla­tych san­da­łów i opie­kun paste­rzy, pozwo­lił mu zażą­dać wszyst­kie­go z wyjąt­kiem nie­śmier­tel­no­ści. Grek wybrał pamięć. Jesz­cze jako mło­kos, któ­ry mle­ka spod wąsa dobrze wytrzeć nie zdą­żył, dał dra­pa­ka z rodzin­nej wysep­ki i ruszył w wiel­ki świat.

Chci­wy nauk mło­dzian pognał naj­pierw do Mile­tu, ówcze­sne­go Oxfor­du sta­ro­żyt­no­ści, gdzie pobie­rał nauki u same­go Tale­sa. Kie­dy miał już dość włó­czę­gi, osiadł w Kro­to­nie – mie­ście na połu­dniu Ita­lii, ówcze­snej kolo­nii Wiel­ka Gre­cja.
Zało­żył tam brac­two, czy raczej: towa­rzy­stwo nauko­we, zna­ne dziś pod nazwą „pita­go­rej­skie­go”.
Epo­ko­wym i brze­mien­nym w skut­ki było słyn­ne twier­dze­nie, noszą­ce dziś imię Pita­go­ra­sa: w trój­ką­cie pro­sto­kąt­nym suma kwa­dra­tów przy­pro­sto­kąt­nych jest rów­na kwa­dra­to­wi prze­ciw­pro­sto­kąt­nej. Po tym odkry­ciu świę­to­wa­no okrą­gły tydzień przy stu wołach na sto­łach. Nikt z bie­sia­du­ją­cych pita­go­rej­czy­ków nie podej­rze­wał, że prze­ciw­pro­sto­kąt­na kry­je w sobie jed­ną z pierw­szych wiel­kich licz­bo­wych niespodzianek.
Dla Pita­go­ra­sa i spół­ki świat liczb był bowiem dwo­ja­kie­go rodza­ju, a mia­no­wi­cie natu­ral­nych (1, 2, 3, 4, 5, …) i wymier­nych (½, ¾, ⅝, …), dają­cych się przed­sta­wić jako ilo­raz dwóch liczb naturalnych.

Tym­cza­sem oka­za­ło się, że żeglu­jąc po licz­bo­wym oce­anie łodzią napę­dza­ną twier­dze­niem Pita­go­ra­sa, wpa­da się na rafę prze­kąt­nej kwa­dra­tu o boku jed­nost­ko­wym. A jej dłu­gość to stra­szy­dło zwą­ce się pier­wia­stek kwa­dra­to­wy z dwóch. Był to, lek­ko licząc, szok do kwa­dra­tu. Nikt nie podej­rze­wał, że ów dzi­wo­ląg, dziś nie robią­cy na nikim szcze­gól­ne­go wra­że­nia, może w ogó­le istnieć.

Pita­go­ras miał do wybo­ru trzy wyjścia:
Pierw­sze. Udać Gre­ka, uzna­jąc, że pasku­dy nie da się nijak wyra­zić, więc nie ma co sobie gło­wy nią zawra­cać. Na to jed­nak nie pozwa­lał mu honor Pitagorasa.
Dru­gie. Skrom­nie stwier­dzić, że jego twier­dze­nie jest jedy­nie czę­ścio­wo praw­dzi­we, tzn. zacho­dzi tyl­ko dla trój­ką­tów o bokach wymier­nych. Ale na takie wyj­ście nie godził mu się honor matematyka.
Trze­cie. Koniec koń­ców wyka­zać, że pier­wia­stek z dwóch jest licz­bą wymier­ną. Było­by to roz­wią­za­nie naj­lep­sze z moż­li­wych i na ówcze­snym pozio­mie wie­dzy wyda­wa­ło się leżeć w zasię­gu rozumu.

Pita­go­ras, będąc w sytu­acji bez wyj­ścia, roz­sąd­nie wybrał dro­gę trze­cią. Jed­nak mimo wyla­nia bez liku, a może i wię­cej, amfor potu, udo­wod­nił wraz z brac­twem to, cze­go nie chciał: licz­ba jest nie­wy­mier­na (nie­wy­ra­żal­na – jak się wte­dy wyra­ża­no). Co gor­sza, oka­za­ło się, że kosz­mar­nych nie­wy­mier­nych raf jest bez­lik. Kata­klizm był rów­ny mate­ma­tycz­nej apo­ka­lip­sie; nowe licz­by obra­ca­ły w perzy­nę pita­go­rej­ski ład rze­czy­wi­sto­ści pod rzą­da­mi liczb natu­ral­nych. Wszak świa­tu nada­no nazwę kosmos (κοσμος = ład).

„Wszyst­ko jest licz­bą” to słyn­ne zda­nie mistrza i zara­zem filo­zo­ficz­na kwin­te­sen­cja pita­go­rej­skiej opcji widze­nia świa­ta: 1 = punkt, 2 = linia, 3 = figu­ra pła­ska, 4 = bry­ła, 5 = bar­wa, 6 = życie, 7 = duch, 8 = miłość, 9 = spra­wie­dli­wość, 10 = wszech­świat. Nie­wy­mier­ność była tu tyl­ko kło­po­tli­wym intruzem.

Jak wia­do­mo, licz­by wymier­ne Gre­cy trak­to­wa­li jako zło koniecz­ne i dopust Olim­pu. Nie dora­sta­ły do ran­gi praw­dzi­wych liczb. Ale wyra­ża­ły się cho­ciaż jako ich pro­por­cje. To zapew­nia­ło im rację bytu. A nie­wy­mier­na zaka­ła tyl­ko psu­ła har­mo­nię kosmosu.
Posta­no­wio­no obło­żyć ją pie­czę­cią bez­względ­ne­go mil­cze­nia. Każ­dy czło­nek brac­twa zło­żył przy­się­gę, że nigdy i niko­mu za żad­ną cenę nie wyja­wi tej strasz­nej prawdy.

Jed­nak nie­ja­ki Hip­pa­sos miał przy­dłu­gi język i kła­pał na lewo i pra­wo o odkry­ciu nie­współ­mier­nych dzi­wa­deł. A tajem­ni­ca wyka­ra­skaw­szy się na wol­ność, nie dała się już zapę­dzić z powro­tem do klat­ki z napi­sem „ści­śle tajne”.

Z roz­ka­zu Pita­go­ra­sa plot­karz został uto­pio­ny. I nie on jeden poniósł taką karę za zdra­dę licz­bo­wej tajem­ni­cy. Pro­klos (stu­dent, nauczy­ciel, w koń­cu szef słyn­nej Aka­de­mii Pla­toń­skiej), komen­ta­tor dzieł Eukli­de­sa, napi­sał bez ogró­dek: „To, co nie­wy­sło­wio­ne i pozba­wio­ne for­my, mia­ło zostać zata­jo­ne. Ci, któ­rzy odkry­li tę stro­nę życia, zosta­wa­li natych­miast zgła­dze­ni, a ich cia­ła wyda­ne na pastwę fal wiecz­no­ści”2.

Expli­ci­te wyra­ził to ponad dwa tysią­ce lat póź­niej Ben­ja­min Fran­klin (1706–1790), uczo­ny, filo­zof i wyna­laz­ca, zali­cza­ny do gro­na Ojców Zało­ży­cie­li Sta­nów Zjed­no­czo­nych, któ­ry wywo­dził, że i „Trzy oso­by mogą docho­wać tajem­ni­cy, jeśli dwie z nich nie żyją.” (ang. “Three may keep a secret, if two of them are dead.”).

Odkry­cie liczb nie­wy­mier­nych wywar­ło olbrzy­mie wra­że­nie na sta­ro­żyt­nych. Pla­ton (uczeń Sokra­te­sa i zara­zem przy­ja­ciel, nauczy­ciel Ary­sto­te­le­sa), któ­ry u wrót swej słyn­nej Aka­de­mii umie­ścił napis zaka­zu­ją­cy wstę­pu tym, co mają o mate­ma­ty­ce – a w szcze­gól­no­ści o geo­me­trii – poję­cie rów­ne wie­dzy wil­ka o upra­wie kala­fio­rów, jesz­cze sto lat póź­niej pisał do roda­ków, że jest to triumf myśli ludz­kiej tej mia­ry, że jego nie­zna­jo­mość czy­ni nie­god­nym mia­na czło­wie­ka3.

Wej­ście liczb rze­czy­wi­stych w Wiel­ki Świat to goto­wy sce­na­riusz fil­mu sen­sa­cyj­ne­go. Jak za dwa tysią­ce lat Georg Can­tor (1845–1918) wyka­że – wymier­ność to wyją­tek, regu­łą jest nie­wy­mier­ność. Liczb wymier­nych jest nie­skoń­cze­nie wie­le, ale nie­wie­le; zale­d­wie tyle, co natu­ral­nych. W prze­strze­ni licz­bo­wej są one pył­ka­mi oto­czo­ny­mi zewsząd nie­wy­mier­no­ścią (a to jest już zbiór z nie­skoń­czo­no­ścią więk­szej mocy). Pociąg pędzą­cy po osi licz­bo­wej cią­gle prze­mie­rza nie­wy­mier­ne pola i lasy, tyl­ko co jakiś czas mija­jąc sta­cyj­ki wymier­no­ści, któ­re w zasa­dzie są rzad­kim prze­ja­wem nor­mal­no­ści. Ale to już inna historia.

***

Mate­ma­ty­ka ma na kon­cie pokaź­ny zbiór efek­tów św. Mate­usza. I tak dla przy­kła­du poda­my jesz­cze trzech jego „wybrań­ców”:

▶ W 1674 roku Leib­niz odkrył, że sła­wet­na licz­ba π sko­li­ga­co­na jest z kla­nem sze­re­gów nie­skoń­czo­nych, czy­li cią­gną­cych się nie­skoń­cze­nie sumo­wa­nek (naprze­mien­nych). Był to pierw­szy sze­reg, któ­ry dawał roz­wi­nię­cie licz­by Archi­me­de­sa vel Ludol­fi­ny, a dzi­siaj po pro­stu π.

Wzór powyż­szy nazy­wa­ny jest powszech­nie wzo­rem Leib­ni­za, ale fak­tem jest, że trzy lata wcze­śniej odkrył go szkoc­ki mate­ma­tyk i astro­nom James Gre­go­ry. Nie­ste­ty, James miał pecha, bo Leib­niz był w owym cza­sie euro­pej­ską gwiaz­dą nauki i to jemu „sprzy­jał” św. Mate­usz wraz ze swo­im efektem.

▶ Zbiór Can­to­ra został odkry­ty w 1874 roku przez irlandz­kie­go mate­ma­ty­ka Henry’ego Joh­na Ste­phe­na Smi­tha i dzie­więć lat póź­niej wspo­mnia­ny przez nie­miec­kie­go mate­ma­ty­ka Geo­r­ga Can­to­ra jako nie­try­wial­ny przy­kład zbio­ru dosko­na­łe­go (zbio­ru domknię­te­go i wszę­dzie gęste­go, czy­li takie­go, że każ­dy jego punkt jest takim punk­tem, że dowol­ny zbiór otwar­ty go zawie­ra­ją­cy zawie­ra też co naj­mniej jeden inny punkt tego zbioru).
Kon­struk­cja tego naj­prost­sze­go, nota­be­ne, frak­ta­la jest bar­dzo pro­sta: odci­nek dzie­li­my na 3 roz­łącz­ne odcin­ki rów­nej dłu­go­ści z któ­rych środ­ko­wy jest otwar­ty, a skraj­ne są domknię­te. Zaba­wę kon­ty­nu­uje­my w nie­skoń­czo­ność, powta­rza­jąc ten pro­ces z pozo­sta­ły­mi krót­szy­mi odcinkami.

▶ Tri­bar, zwa­ny wszem wobec jako trój­kąt Penrose’a, to figu­ra nie­moż­li­wa (łatwa do nary­so­wa­nia, nie­moż­li­wa do skon­stru­owa­nia w realu), wymy­ślo­na przez szwedz­kie­go gra­fi­ka Osca­ra Reu­ter­svär­da w 1936 roku. Ale nazwa pocho­dzi od mate­ma­ty­ka sir Roge­ra Penrose’a (nobli­sty z fizy­ki z 2020 r.), ) któ­ry nie­za­leż­nie odkrył go kil­ka­na­ście lat póź­niej i opi­sał jako impos­si­bi­li­ty in its purest form (tłum. „nie­moż­li­wość w jej naj­czyst­szej postaci”).
Taki sam los za spra­wą efek­tu św. Mate­usza spo­tkał też inną figu­rę nie­moż­li­wą autor­stwa Reu­ter­svär­da, zna­ną dzi­siaj jako kwa­drat Penrose’a. Kwa­drat ten posłu­żył na począt­ku arty­ku­łu jako ram­ka wize­run­ku Pitagorasa.

Trój­kąt Penrose’a jako ekierka

Jak zosta­ło wcze­śniej wspo­mnia­ne – tę wyli­czan­kę efek­tów św. Mate­usza w mate­ma­ty­ce (a przy­po­mnij­my, że ów efekt zaku­mu­lo­wa­nej prze­wa­gi doty­czy wie­lu – jeśli nie wszyst­kich – dzie­dzin) da się kon­ty­nu­ować nie­mal bez koń­ca. W naj­więk­szym „śmiet­ni­ku świa­ta”, czy­li inter­ne­cie, moż­na zna­leźć prak­tycz­nie nie­zli­czo­ną licz­bę stron poświę­co­nych the Mat­thew effect (efek­to­wi św. Mate­usza), czę­sto okre­śla­ne­mu afo­ry­zmem The rich get richer and the poor get poorer (tłum. „Boga­ci się boga­cą, a bied­ni bied­nie­ją”) angiel­skie­go poety i dra­ma­tur­ga okre­su roman­ty­zmu Per­cy Shelley’ego.

Pora jed­nak na morał. W mate­ma­ty­ce – i ogól­nie w nauce – sys­tem roz­dzia­łu zasług jest skrzy­wio­ny w kie­run­ku już zna­ne­go i uzna­ne­go bada­cza, a efekt św. Mate­usza miał, ma i – wszyst­ko na to wska­zu­je – raczej będzie miał się dobrze. A to niedobrze.

Tade­usz Ostrowski
dr nauk matematycznych


1 Cytat z Bil­blii Wuj­ka (wyda­nie z 1923 r.)
2 Mac Tutor, Quota­tions (https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/)
3 Pla­ton wyra­ził to dosad­niej „Dzi­wi­łem się i wyda­wa­ło mi się, że to jest stan nie­god­ny ludzi, tyl­ko raczej jakichś two­rów świń­skie­go rodza­ju, więc wsty­dzi­łem się nie tyl­ko za sie­bie, ale i za wszyst­kich Hel­le­nów.” Pra­wa, 819C – D.