Kooperacja czy zdrada

Indy­wi­du­al­ny roz­są­dek każe nam nie współ­pra­co­wać i pod­po­wia­da, że naj­le­piej korzy­stać z dóbr wytwo­rzo­nych przez nie­ra­cjo­nal­nych altru­istów, choć gdy­by wszy­scy ze sobą koope­ro­wa­li, było­by wię­cej dóbr do podzia­łu. Para­doks ten sta­no­wi isto­tę tzw. dyle­ma­tów społecznych.

Mate­ma­tycz­na teo­ria gier opi­su­je ukła­dy oddzia­łu­ją­cych ze sobą osob­ni­ków (gra­czy), któ­rzy mogą się zacho­wy­wać na róż­ne spo­so­by zwa­ne stra­te­gia­mi. Gra­cze w wyni­ku roz­gryw­ki uzy­sku­ją korzy­ści w posta­ci wypłat, któ­rych wyso­kość jest uza­leż­nio­na nie tyl­ko od ich stra­te­gii, ale tak­że od stra­te­gii ich opo­nen­tów. Jest to fun­da­men­tal­na cecha teo­rii gier, odróż­nia­ją­ca ją od kla­sycz­nej opty­ma­li­za­cji, w któ­rej szu­ka­my naj­lep­sze­go, czy­li opty­mal­ne­go dla sie­bie roz­wią­za­nia w odpo­wie­dzi na nie­zmien­ne warun­ki zewnętrz­ne. W teo­rii gier dzia­ła­nia każ­de­go gra­cza wpły­wa­ją na jego oto­cze­nie, ale oto­cze­nie wpły­wa też na jego zacho­wa­nia. Pod­sta­wo­we zało­że­nie indy­wi­du­al­nej racjo­nal­no­ści mówi, że każ­dy gracz dąży do uzy­ska­nia jak naj­więk­szej wypła­ty, nie bacząc na innych. Wybie­ra­jąc stra­te­gię, musi wziąć pod uwa­gę zacho­wa­nia swo­ich opo­nen­tów, a tak­że prze­wi­dzieć, cze­go oni się po nim spodziewają.

Tego typu roz­wa­ża­nia dopro­wa­dzi­ły Joh­na Nasha do sfor­mu­ło­wa­nia kon­cep­cji rów­no­wa­gi. Jest to taki wybór stra­te­gii przez gra­czy, że żad­ne­mu z nich nie opła­ca się zmia­na, gdyż na pew­no sobie nie pod­wyż­szy wypła­ty, a być może ją obni­ży. Powsta­je wte­dy nie­pi­sa­ny kon­trakt, któ­re­go jed­no­stron­ne zerwa­nie nie przy­no­si korzy­ści. Rów­no­wa­ga Nasha zapew­nia pewien rodzaj bez­pie­czeń­stwa, ale czy zapew­nia gra­czom opty­mal­ne wypłaty?

Kla­sycz­nym przy­kła­dem ilu­stru­ją­cym isto­tę dyle­ma­tów spo­łecz­nych jest „Dyle­mat więźnia”:

Dwie oso­by oskar­żo­ne o popeł­nie­nie prze­stęp­stwa są oddziel­nie prze­słu­chi­wa­ne. Każ­da może zezna­wać prze­ciw­ko wspól­ni­ko­wi (zdra­da – Z) lub mil­czeć (koope­ra­cja – K). Jeże­li żaden z oskar­żo­nych nie zgo­dzi się współ­pra­co­wać z poli­cją i oby­dwaj wybio­rą stra­te­gię „koope­ra­cja”, uzy­ska­ją obni­że­nie wyro­ków o 3 lata. Gdy jeden będzie chro­nił wspól­ni­ka („koope­ra­cja”), ale dru­gi zde­cy­du­je się na ugo­dę („zdra­da”), pierw­szy dosta­nie wyrok mak­sy­mal­ny, a dru­gi – niż­szy o 5 lat. Jeśli prze­stęp­cy oskar­żą się wza­jem­nie (każ­dy zagra „zdra­da”), mogą liczyć na zła­go­dze­nie kary o 1 rok.

Obni­że­nie wyro­ku moż­na trak­to­wać jako wypła­ty w grze „Dyle­mat więź­nia” i zapre­zen­to­wać je za pomo­cą nastę­pu­ją­cej macie­rzy wypłat, gdzie gracz wier­szo­wy, gra­jąc stra­te­gią wier­szo­wą K lub Z prze­ciw­ko gra­czo­wi kolum­no­we­mu gra­ją­ce­mu K lub Z, otrzy­mu­je wypła­tę daną na prze­cię­ciu odpo­wied­nie­go wier­sza i kolumny.

Jak widać, nie­za­leż­nie od stra­te­gii jed­ne­go gra­cza dru­gie­mu opła­ca się go zdra­dzić, obo­pól­na zdra­da jest rów­no­wa­gą Nasha. Jed­nak obaj gra­cze uzy­ska­li­by więk­sze zła­go­dze­nie wyro­ku, gdy­by ze sobą współ­pra­co­wa­li. Mamy tu do czy­nie­nia z przy­kła­dem dyle­ma­tu spo­łecz­ne­go w naj­bar­dziej ele­men­tar­nej posta­ci. Co robić? Jak wydo­stać się z rów­no­wa­gi Nasha?

Roz­sze­rze­niem kla­sycz­nej teo­rii gier jest teo­ria gier ewo­lu­cyj­nych zapro­po­no­wa­na przez Joh­na Maynarda-Smitha w latach 70. XX wie­ku. Nie­dłu­go potem poja­wi­ły się jej kon­kret­ne mode­le dyna­micz­ne. W naj­prost­szym uję­ciu róż­ni­ca pole­ga na tym, że w grze uczest­ni­czy wie­lu osob­ni­ków. Gra­cze łączą się w pary i roz­gry­wa­ją np. „Dyle­mat więź­nia”. W kolej­nej run­dzie pro­por­cja gra­czy wybie­ra­ją­cych okre­ślo­ną stra­te­gię zmie­nia się w zależ­no­ści od wypła­ty, jaką zasto­so­wa­na stra­te­gia przy­nio­sła w poprzed­niej run­dzie. Wyni­ka to bez­po­śred­nio z isto­ty teo­rii ewo­lu­cji Dar­wi­na: osob­ni­ki lepiej przy­sto­so­wa­ne mają wię­cej dzie­ci, któ­re dzie­dzi­czą ich cechy, a w tym przy­pad­ku cecha­mi tymi są stra­te­gie gry.

Robert Axel­rod roz­sze­rzył zbiór dopusz­czal­nych stra­te­gii i prze­pro­wa­dził kom­pu­te­ro­we roz­gryw­ki zgod­nie z powy­żej opi­sa­ny­mi zasa­da­mi. Roz­sze­rze­nie zasad było koniecz­ne, ponie­waż gdy­by­śmy dopu­ści­li tyl­ko bez­wa­run­ko­wą zdra­dę lub bez­wa­run­ko­wą koope­ra­cję, to popu­la­cję bar­dzo szyb­ko zdo­mi­nu­ją zdraj­cy. Oka­za­ło się, że cał­kiem nie­źle spraw­dza­ła się stra­te­gia „wet za wet” (z ang. tit for tat): w pierw­szej run­dzie współ­pra­cu­je­my, a w następ­nych postę­pu­je­my tak, jak opo­nent zacho­wy­wał się w poprzed­niej run­dzie, czy­li zdra­dza­my zdraj­cę, a koope­ru­je­my z altru­istą. Stra­te­gia ta wygry­wa­ła z wie­lo­ma inny­mi, ale jak łatwo zauwa­żyć, prze­gry­wa z bez­wa­run­ko­wą zdra­dą. Wnio­sek z tego, że współ­pra­ca ma w dar­wi­now­skim świe­cie pew­ne szanse.

Od tego cza­su poja­wi­ło się wie­le nowych mode­li mate­ma­tycz­nych, któ­re pro­mu­ją stra­te­gie zwią­za­ne z koope­ra­cją, cza­sem nawet bar­dzo moc­no. Powsta­ły mię­dzy inny­mi mode­le z repu­ta­cją (poma­gaj tym, któ­rzy zyska­li repu­ta­cję, poma­ga­jąc innym), z aspi­ra­cja­mi (nie zado­wa­la­my się małą wypła­tą uzy­ski­wa­ną za zdra­dę zdraj­ców) czy wresz­cie gier prze­strzen­nych z lokal­ny­mi oddzia­ły­wa­nia­mi. W tym ostat­nim mode­lu wokół współ­pra­cu­ją­ce­go osob­ni­ka two­rzy się gru­pa koope­ru­ją­cych sąsia­dów, co wspo­ma­ga współ­pra­cę, a gru­pa zdra­dza­ją­cych sąsia­dów uzy­sku­je śred­nio mniej­sze wypła­ty niż gru­pa koope­ru­ją­cych altru­istów. Mode­le te zawie­ra­ją dodat­ko­we mecha­ni­zmy wspo­ma­ga­ją­ce koope­ra­cję, któ­rych nie było w kla­sycz­nym „Dyle­ma­cie więź­nia” i któ­re mogły powsta­wać dro­dze ewo­lu­cji. Dzię­ki nim moż­li­we jest bada­nie roz­wo­ju pew­nych zacho­wań na bar­dzo ogól­nym, filo­zo­ficz­nym (albo, jak kto woli, mate­ma­tycz­nym) pozio­mie. Bada­nia mode­li ewo­lu­cyj­nych w prze­wa­ża­ją­cej więk­szo­ści nie są powią­za­ne z dany­mi bio­lo­gicz­ny­mi, spo­łecz­ny­mi czy też eks­pe­ry­men­ta­mi psy­cho­lo­gicz­ny­mi. Przy­ję­te w grze arbi­tral­ne wypła­ty (np. 5, 3, 1, 0 w „Dyle­ma­cie więź­nia”) nie mają odnie­sie­nia do rze­czy­wi­sto­ści. Teo­ria gier może jed­nak nabrać cha­rak­te­ru nauki przy­rod­ni­czej lub spo­łecz­nej, gdy wyso­kość wypłat ska­li­bru­je­my na pod­sta­wie danych doświadczalnych.

Innym inte­re­su­ją­cym zasto­so­wa­niem gier ewo­lu­cyj­nych jest bada­nie moż­li­wo­ści wpro­wa­dze­nia mecha­ni­zmów pro­mu­ją­cych koope­ra­cję do pro­jek­to­wa­nia pra­wa i funk­cjo­no­wa­nia insty­tu­cji publicz­nych. W dyle­ma­cie eks­plo­ata­cji wspól­nych zaso­bów zna­nym po pol­sku jako „Tra­ge­dia wspól­ne­go pastwi­ska” (ang. Tra­ge­dy of Com­mons) stra­te­gią rol­ni­ków jest licz­ba wypa­sa­nych krów.

Dla każ­de­go z gra­czy naj­lep­szą stra­te­gią, nie­za­leż­nie od stra­te­gii przy­ję­tych przez innych gra­czy, jest wypa­sa­nie jak naj­więk­szej licz­by krów. Takie zacho­wa­nie dopro­wa­dza do rów­no­wa­gi Nasha, w któ­rej wypła­ta gra­czy (dzien­na ilość mle­ka) ze wzglę­du na degra­da­cję pastwi­ska nie jest wca­le mak­sy­mal­na. Jeże­li jed­nak odpo­wied­nio opo­dat­ku­je­my wypa­sa­nie mak­sy­mal­nej licz­by krów (zmie­ni­my macierz wypłat gry), to oka­że się, że w zmo­dy­fi­ko­wa­nej grze zmie­nio­na rów­no­wa­ga Nasha zapew­ni wszyst­kim gra­czom mak­sy­mal­ne wypła­ty przy mniej­szej licz­bie wypa­sa­nych krów. Zauważ­my, że w takiej sytu­acji nikt nie zapła­ci podatku.

Powyż­szą pro­ce­du­rę moż­na okre­ślić jako nie­au­to­ry­tar­ne wymu­sza­nie okre­ślo­nych zacho­wań. Jed­nym z zadań insty­tu­cji pań­stwo­wych powin­no być wpro­wa­dza­nie takich regu­la­cji praw­nych, aby w naszych grach życio­wych rów­no­wa­gi Nasha dawa­ły nam opty­mal­ne wypła­ty. W ten spo­sób znik­nę­ły­by dyle­ma­ty społeczne.

Moż­li­wość wpro­wa­dza­nia takich zmian wyda­je się powią­za­na z pyta­niem, czy może­my być lep­si, niż wyni­ka to z teo­rii ewo­lu­cji. Czy kie­ru­jąc swo­im zacho­wa­niem, może­my na obec­nym eta­pie roz­wo­ju ogra­ni­czyć skut­ki i prze­wi­dy­wa­nia teo­rii ewo­lu­cji? Czy może­my poko­nać ewo­lu­cję albo nią ste­ro­wać? W dar­wi­now­skiej teo­rii ewo­lu­cji opi­su­ją­cej powsta­wa­nie i zanik gatun­ków orga­ni­zmy nie podej­mu­ją racjo­nal­nych decy­zji, ale po pro­stu szyb­ciej lub wol­niej się roz­mna­ża­ją. W bada­niach zacho­wań ludz­kich trze­ba brać pod uwa­gę wol­ną wolę, któ­ra wpły­wa na podej­mo­wa­nie racjo­nal­nych (lub nie) decy­zji. Zamiast bez­myśl­nej repli­ka­cji do roz­wa­żań powin­ni­śmy włą­czyć mecha­ni­zmy ucze­nia się. Z tego powo­du dłu­go­ter­mi­no­we zacho­wa­nie ewo­lu­cyj­nych mode­li bio­lo­gicz­nych i spo­łecz­nych może się dia­me­tral­nie różnić.

A w jaki spo­sób my, mate­ma­ty­cy, może­my roz­wi­jać teo­rię gier i brać udział w powyż­szych fun­da­men­tal­nych dys­ku­sjach? Mode­le teo­rii gier ewo­lu­cyj­nych to ukła­dy dyna­micz­ne, w któ­rych stan popu­la­cji gra­czy zmie­nia się według ści­śle okre­ślo­nych reguł. Na przy­kład zawo­dy Axel­ro­da moż­na opi­sać ukła­dem rów­nań róż­nicz­ko­wych tzw. dyna­mi­ki repli­ka­to­ro­wej, któ­re opi­su­ją cza­so­wą ewo­lu­cję czę­sto­ści wystę­po­wa­nia poszcze­gól­nych stra­te­gii. Szyb­kość zmia­ny czę­sto­ści danej stra­te­gii jest pro­por­cjo­nal­na do róż­ni­cy śred­niej wypła­ty tej stra­te­gii i śred­niej wypła­ty w całej popu­la­cji. Tu zno­wu odzy­wa się Dar­win: jeśli wypła­ta danej stra­te­gii jest więk­sza od śred­niej w popu­la­cji, jej czę­stość wystę­po­wa­nia rośnie. W przy­pad­ku „Dyle­ma­tu więź­nia” sytu­acja jest oczy­wi­sta. Nie­za­leż­nie od warun­ków począt­ko­wych (z wyjąt­kiem popu­la­cji samych altru­istów) popu­la­cja bar­dzo szyb­ko zosta­nie zdo­mi­no­wa­na przez zdraj­ców. W innych, bar­dziej skom­pli­ko­wa­nych mode­lach o więk­szej licz­bie stra­te­gii (np. „wet za wet”) albo o innych regu­łach dyna­micz­nych (np. opie­ra­ją­cych się na imi­ta­cji stra­te­gii prze­ciw­ni­ka) zada­niem mate­ma­ty­ków jest zba­da­nie wła­ści­wo­ści takich ukła­dów. Szu­ka­my odpo­wie­dzi na nastę­pu­ją­ce pyta­nia: w jakich kla­sach mode­li i dla jakich para­me­trów sta­ny sta­cjo­nar­ne (takie, któ­re nie pod­le­ga­ją dal­szej ewo­lu­cji) są rów­no­wa­ga­mi Nasha? Czy są one sta­bil­ne, tzn. czy po odchy­le­niu od sta­nu sta­cjo­nar­ne­go układ do nie­go powró­ci? Czy moż­li­we są zacho­wa­nia cyklicz­ne? Czy docho­dzi do wymie­ra­nia pew­nych stra­te­gii? Czy moż­li­we jest współ­ist­nie­nie strategii?

Zazwy­czaj zakła­da się, że wszel­kie oddzia­ły­wa­nia zacho­dzą bły­ska­wicz­nie, a ich efek­ty są natych­mia­sto­we. W rze­czy­wi­sto­ści w pro­ce­sach ewo­lu­cyj­nych wypła­ty, czy­li zmia­ny przy­sto­so­wa­nia (z ang. fit­ness), poja­wia­ją się z pew­nym opóź­nie­niem. W inte­rak­cjach spo­łecz­nych ludzie podej­mu­ją decy­zje na pod­sta­wie infor­ma­cji o zda­rze­niach, któ­re zaszły w prze­szło­ści. Opóź­nie­nia cza­so­we mogą powo­do­wać oscy­la­cje wokół punk­tów równowagi.

Roz­waż­my dyna­mi­kę repli­ka­to­ro­wą z asymp­to­tycz­nie sta­bil­ną rów­no­wa­gą opi­su­ją­cą współ­ist­nie­nie koope­ra­cji i zdra­dy w grze „Zamieć śnieżna”.

Wyobraź­my sobie dwóch podróż­nych, któ­rzy nie mogą kon­ty­nu­ować jaz­dy samo­cho­dem z powo­du zato­ru śnież­ne­go na dro­dze. Niech koszt odśnie­że­nia wyno­si 2, a nagro­da (czy­li dojazd do domu) to 4. Każ­dy z gra­czy może albo koope­ro­wać, czy­li odśnie­żać, albo cze­kać, aż dru­gi kie­row­ca odśnie­ży dro­gę. Macierz wypłat gry jest wte­dy dana przez

W tej grze naj­lep­szą odpo­wie­dzią na koope­ra­cję jest zdra­da i naj­lep­szą odpo­wie­dzią na zdra­dę jest koope­ra­cja. Wyka­za­li­śmy, że jeże­li w mode­lach typu spo­łecz­ne­go gra­cze reagu­ją na infor­ma­cję o wcze­śniej­szym sta­nie ukła­du z opóź­nie­niem, to przy odpo­wied­nio dużych opóź­nie­niach poja­wić się mogą oscy­la­cje wokół poło­że­nia równowagi.

Z kolei w mode­lach typu bio­lo­gicz­ne­go, w któ­rych wyda­rze­nia z prze­szło­ści wpły­wa­ją na zmia­nę przy­sto­so­wa­nia w teraź­niej­szo­ści, współ­ist­nie­nie obu stra­te­gii jest sta­bil­ne dla każ­de­go opóź­nie­nia cza­so­we­go. Zba­da­nie sta­bil­no­ści rów­no­wag i powsta­wa­nie cykli w mate­ma­tycz­nych mode­lach dyle­ma­tów spo­łecz­nych jest nie­zwy­kle waż­nym kie­run­kiem badań.

Trze­cim nie­od­łącz­nym skład­ni­kiem teo­rii ewo­lu­cji (oprócz wspo­mnia­nej już selek­cji i dzie­dzi­cze­nia) są przy­pad­ko­we muta­cje. Aby je uwzględ­nić, wpro­wa­dza­my do rów­nań ele­ment loso­wy (sto­cha­stycz­ny). Obiek­tem naszych badań sta­ją się wte­dy pro­ce­sy sto­cha­stycz­ne, w naj­prost­szym przy­pad­ku tzw. łań­cu­chy Mar­ko­wa, w któ­rych praw­do­po­do­bień­stwo, że bada­ny układ przyj­mie okre­ślo­ny stan, zale­ży od jego sta­nu w chwi­li bez­po­śred­nio poprze­dza­ją­cej dany moment, a nie od całej histo­rii ukła­du. Pyta­my wte­dy, jak zmie­nia­ją się i do cze­go dążą praw­do­po­do­bień­stwa zna­le­zie­nia się ukła­du w poszcze­gól­nych sta­nach oraz jakie jest praw­do­po­do­bień­stwo wystę­po­wa­nia koope­ra­cji w dłu­go­okre­so­wym hory­zon­cie cza­so­wym. Oka­zu­je się, że bar­dzo czę­sto to wła­śnie zdra­da jest sto­cha­stycz­nie sta­bil­na. I zno­wu szu­ka­my dodat­ko­wych mecha­ni­zmów pod­trzy­mu­ją­cych współ­pra­cę, tym razem w świe­cie nie­pew­nym, pod­le­ga­ją­cym sto­cha­stycz­nym fluktuacjom.

Jak już wspo­mnie­li­śmy, koope­ra­cji może sprzy­jać okre­ślo­ne roz­miesz­cze­nie gra­czy w prze­strze­ni. W grach prze­strzen­nych to uło­że­nie defi­niu­je­my poprzez umiesz­cze­nie gra­czy na wierz­choł­kach gra­fów two­rzą­cych tzw. sie­ci spo­łecz­ne. W tym przy­pad­ku gra­cze gra­ją w gry dwu­oso­bo­we z naj­bliż­szy­mi sąsia­da­mi, a ich wypła­ty są sumą wypłat z poszcze­gól­nych gier.

Naj­now­sze bada­nia wyka­za­ły, że gra­fem szcze­gól­nie sprzy­ja­ją­cym koope­ra­cji jest graf Barabási-Alberty.

Powsta­je on w nastę­pu­ją­cy spo­sób. Do wierz­choł­ków już ist­nie­ją­cych w każ­dym kolej­nym kro­ku doda­je­my jeden wierz­cho­łek, któ­ry łączy­my kra­wę­dzią z jed­nym z już ist­nie­ją­cych. To, do któ­re­go wierz­choł­ka zosta­nie dołą­czo­ny, zale­ży od licz­by wycho­dzą­cych z nie­go kra­wę­dzi. Taka meto­da pre­fe­ren­cyj­ne­go doda­wa­nia nowych połą­czeń powo­du­je, że wierz­choł­ki popu­lar­ne sta­ję się jesz­cze bar­dziej popu­lar­ne. Gra­cze umiesz­cze­ni w wierz­choł­kach gra­fu po uzy­ska­niu wypłat przy­glą­da­ją się swo­im sąsia­dom i naśla­du­ją osob­ni­ka, któ­ry uzy­skał naj­lep­szą stra­te­gię w poprzed­niej run­dzie, nato­miast z małym praw­do­po­do­bień­stwem wybie­ra­ją gor­szą strategię.

W „Dyle­ma­cie więź­nia” roz­gry­wa­nym w powyż­szy spo­sób po odpo­wied­nio dużej licz­bie rund pra­wie wszy­scy osob­ni­cy koope­ru­ją. Bar­dzo dużą funk­cję w umac­nia­niu koope­ra­cji peł­nią wierz­choł­ki o bar­dzo dużej licz­bie połą­czeń, tzw. huby. Wpro­wa­dza­jąc do powyż­szej dyna­mi­ki sta­ły koszt utrzy­my­wa­nia połą­cze­nia mię­dzy sąsia­da­mi za pomo­cą symu­la­cji kom­pu­te­ro­wych moż­na poka­zać, że dla odpo­wied­nio małych kosz­tów pra­wie wszy­scy koope­ru­ją oraz że ist­nie­je koszt kry­tycz­ny, dla któ­re­go popu­la­cja dra­ma­tycz­nie obni­ża poziom koope­ra­cji do 20%. Dal­szy wzrost kosz­tów nie powo­du­je dodat­ko­we­go obni­że­nia koope­ra­cji. Co wię­cej, dla kosz­tu kry­tycz­ne­go popu­la­cja oscy­lu­je pomię­dzy 20 a 100% współ­pra­cu­ją­cych osob­ni­ków. Jest to zja­wi­sko zna­ne z fizy­ki sta­ty­stycz­nej, bada­ją­cej wie­le oddzia­łu­ją­cych czą­stek – w tem­pe­ra­tu­rze kry­tycz­nej układ może znaj­dy­wać się w dwóch fazach, cze­go typo­wym przy­kła­dem jest współ­ist­nie­nie wody i lodu w temp. 0 °C.

Ana­li­za mate­ma­tycz­na przejść fazo­wych ukła­dów spo­łecz­nych jest bar­dzo inten­syw­nie roz­wi­ja­nym kie­run­kiem badań, pro­wa­dzo­nych rów­nież przez auto­ra niniej­sze­go opra­co­wa­nia. Wycią­ga­jąc wnio­ski ze skon­stru­owa­nych przez sie­bie mode­li, mate­ma­ty­cy poka­zu­ją, jakie świa­ty są moż­li­we. W przy­bli­ża­niu się do odpo­wie­dzi na pyta­nia, jaka jest nasza rze­czy­wi­stość, dla­cze­go wystę­pu­ją w niej zacho­wa­nia altru­istycz­ne i jak je wzmoc­nić dla dobra ogó­łu, nie­zbęd­na jest inter­dy­scy­pli­nar­na współ­pra­ca mate­ma­ty­ków z bio­lo­ga­mi i bada­cza­mi zja­wisk społecznych.

Jacek Mię­kisz, pro­fe­sor nauk matematycznych

Arty­kuł pier­wot­nie był opu­bli­ko­wa­ny w cza­so­pi­śmie Aca­de­mia. Maga­zyn Pol­skiej Aka­de­mii Nauki (1/2016).
Pole­ca­my arty­ku­ły „Polo­wa­nie na jele­nia i rów­no­wa­gi Nasha” oraz „Być albo nie być altru­istą – dyle­mat więź­nia” autor­stwa prof. Mię­ki­sza dostęp­ne na stro­nie inter­ne­to­wej mie­sięcz­ni­ka Del­ta oraz arty­kuł „Dyle­mat więź­nia a ewo­lu­cja” (Wie­dza i Życie, 2/2009), któ­re­go kopia jest udo­stęp­nio­na na stro­nie Auto­ra.