Pod­czas XXXIV Kra­jo­wej Kon­fe­ren­cji Sto­wa­rzy­sze­nia Nauczy­cie­li Mate­ma­ty­ki, któ­ra w lutym tego roku odby­wa­ła się w Bia­łym­sto­ku, pro­jekt MuMa zor­ga­ni­zo­wał zaję­cia pt. „Geo­me­tria dachów”.

Warsz­ta­ty przy­go­to­wa­li i pro­wa­dzi­li pra­cow­ni­cy Poli­tech­ni­ki Bia­ło­stoc­kiej, auto­rzy książ­ki Mate­ma­ty­ka w przy­kła­dach z budow­nic­twa i archi­tek­tu­ry1 oraz Geo­me­tria odwzo­ro­wań inży­nier­skich2.

***

Pro­fe­sor Koź­niew­ski przed­sta­wił algo­rytm kon­stru­owa­nia szkie­le­tu dachu, któ­ry obej­mu­je nastę­pu­ją­ce kroki:

  1. Nume­ru­je­my boki wie­lo­ką­ta (oka­py pod­sta­wy dachu).
  2. Kon­stru­uje­my kolej­no dwu­siecz­ne kątów wie­lo­ką­ta (kra­wę­dzie poła­ci dachu).
  3. Uzu­peł­niaj­my rysu­nek o odcin­ki odpo­wied­nich syme­tral­nych w wie­lo­ką­cie (by „zamknąć” poła­cie dachu).
Rys. 1. Obra­zo­we wpro­wa­dze­nie do teo­rii dia­gra­mów (obsza­rów) Woronoja

W zro­zu­mie­niu algo­ryt­mu pomo­gła nam opo­wieść o małych kot­kach, któ­re poru­sza­jąc się pod prze­wod­nic­twem kotki-matki po kra­wę­dziach poła­ci dachu, una­ocz­nia­ją poło­że­nie odcin­ków two­rzą­cych szkie­let dachu.

Rys. 2. Syme­tral­ne kątów wie­lo­ką­ta pod­sta­wy dachu

Następ­nie uczest­ni­cy samo­dziel­nie wyko­ny­wa­li zada­nie kon­struk­cyj­ne na rysun­kach przed­sta­wia­ją­cych pod­sta­wę dachu (rys. 3), któ­ra z geo­me­trycz­ne­go punk­tu widze­nia jest wie­lo­ką­tem. Efek­tem koń­co­wym był szkie­let dachu, czy­li rysu­nek przed­sta­wia­ją­cy poła­cie dachu w rzu­cie pro­sto­kąt­nym z góry (rys. 4). Warsz­ta­ty pro­wa­dzi­li dr Agniesz­ka Teresz­kie­wicz i dr inż. Mar­cin Orłowski.

Rys. 3. Roz­wią­zy­wa­nie dachu przez uczest­ni­ków warsztatów
Rys. 4. Roz­wią­za­ny dach nad czwo­ro­ką­tem podstawy

Poglą­do­wym eta­pem zajęć był eks­pe­ry­ment. Makie­tę dachu two­rzy­li­śmy, sypiąc mate­riał syp­ki (mąkę krup­czat­kę) nad wycię­ty z tek­tu­ry wie­lo­kąt o kształ­cie pod­sta­wy dachu (rys. 5), a uzy­ska­ny efekt trój­wy­mia­ro­wy porów­ny­wa­li­śmy z zapro­jek­to­wa­nym wcze­śniej szkie­le­tem dachu w dwóch wymiarach.

Siła gra­wi­ta­cji sta­ła się współ­au­tor­ką pro­jek­tu dachu. Oka­zu­je się bowiem, że kra­wę­dzie poła­ci dachu są gra­ni­ca­mi obsza­rów Woro­no­ja3 dla powierzch­ni dachu, podob­nie jak odcin­ki dwu­siecz­nych (syme­tral­nych) były gra­ni­ca­mi takich obsza­rów w wie­lo­ką­cie na rysun­ku szkie­le­tu dachu.

Rys. 5. Sypa­nie „dachu” – koń­co­wy efekt warsztatów

W dal­szej czę­ści zajęć dowie­dzie­li­śmy się, jak two­rzy się takie kon­struk­cje w prze­strze­ni trój­wy­mia­ro­wej w opro­gra­mo­wa­niu do mode­lo­wa­nia 3D.

W to sobot­nie przed­po­łu­dnie nauczy­cie­le mate­ma­ty­ki obec­ni na warsz­ta­tach pozna­li cie­ka­we przy­kład mate­ma­ty­ki sto­so­wa­nej i mogli poczuć atmos­fe­rę zajęć pro­jek­to­wych z geo­me­trii na kie­run­ku budow­nic­two, pro­wa­dzo­nych na Poli­tech­ni­ce Białostockiej.

***

Pano­wie Edwin Koź­niew­ski i Mar­cin Orłow­ski są auto­ra­mi serii prac naukowo-badawczych z zakre­su zasto­so­wań geo­me­trii dachów (pro­stych szkie­le­tów – ang. stra­ight ske­le­tons) i dia­gra­mów Woro­no­ja (ang. Voro­noi dia­grams) w róż­nych obsza­rach budownictwa

1 Książ­ka Mate­ma­ty­ka w przy­kła­dach z budow­nic­twa i archi­tek­tu­ry jest dostęp­na (bez­płat­nie do pobra­nia) na stro­nie Ofi­cy­ny Wydaw­ni­czej Poli­tech­ni­ki Bia­ło­stoc­kiej. Auto­ra­mi książ­ki są prof. Edwin Koź­niew­ski oraz dr Agniesz­ka Tereszkiewicz.
2 Książ­ka Geo­me­tria odwzo­ro­wań inży­nier­skich jest dostęp­na (bez­płat­nie do pobra­nia) na stro­nie Ofi­cy­ny Wydaw­ni­czej Poli­tech­ni­ki Bia­ło­stoc­kiej.
Auto­rem książ­ki jest prof. Edwin Koźniewski.
3 Poję­cie obsza­ru Woro­no­ja jest poję­ciem geo­me­trycz­nym, któ­re łatwo zro­zu­mie każ­da oso­ba dobrze zna­ją­ca wła­sność dwu­siecz­nej kąta: każ­dy punkt poło­żo­ny na dwu­siecz­nej kąta jest rów­no odda­lo­ny od ramion kąta.