Catriona Agg (wcześniej Shearer) to brytyjska nauczycielka matematyki, pasjonatka rysunkowych zagadek geometrycznych. Uczy w Saffron Walden County High School. W 2018 roku zaczęła publikować swoje zadania-zagadki z geometrii na Twitterze (obecnie X). Początkowo ukazywały się regularnie w co drugi poniedziałek. Zyskały ogromną popularność – rozwiązywali i komentowali je ludzie z całego świata, w tym bardzo znani matematycy, tacy jak np. Timothy Gowers, angielski specjalista od przestrzeni Banacha i laureat Medalu Fieldsa. Obecnie autorka korzysta z serwisu społecznościowego Bluesky, gdzie – obok wpisów dotyczących prowadzonych lekcji matematyki – zamieszcza swoje genialne rysunkowe wyzwania z geometrii. Choć publikuje je nieregularnie, pojawiają się tam często i wciąż zachwycają pomysłowością.
W Polsce twórczość Catrony Agg nie jest jeszcze szerzej znana. Sama usłyszałam o niej i o jej fenomenalnych geometrycznych zadaniach dopiero niedawno. Mimo, że geometria nie należy do moich ulubionych działów matematyki, przepadłam z kretesem. Zadania Catriony są zawsze w postaci odręcznych rysunków, na których podane są długości odcinka lub miary kątów. Czasem pojawia się też informacja o szczególnych własnościach użytych figur, np., że narysowane prostokąty są przystające, albo że trójkąt jest równoboczny. I oczywiście zawsze towarzyszy im jasno sformułowane pytanie.
Zadania Catriony są tak skonstruowane, że często wystarczy dobrze spojrzeć – dorysować dodatkową kreskę, zaznaczyć odpowiedni kąt – i rozwiązanie nasuwa się samo. Oczywiście znajomość własności figur geometrycznych i szkolnych twierdzeń z geometrii jest niezbędna, ale żeby znaleźć odpowiedź, nie musimy wykonywać żmudnych rachunków, skomplikowanych przekształceń algebraicznych ani stosować innych matematycznych wygibasów. Takie zadania doskonale ćwiczą wyobraźnię, a już po rozwiązaniu kilku z nich zauważamy, że pomysły na sposób rozwiązania kolejnych łamigłówek Catriony przychodzą nam o wiele łatwiej. To z kolei napędza nas do podejmowania kolejnych wyzwań – i jeszcze kolejnych.
Uwaga! Łatwo wpaść w uzależnienie od rozwiązywania łamigłówek geometrycznych Catriony. Zresztą, niech Czytelnicy przekonają się sami.
***
Oto pierwsze zadanie Catriony, które polecam do rozwiązania:
Jaką część całego pola zamalowano?
Myślę, że wielu czytelników tego artykułu odruchowo zacznie oznaczać długości poszczególnych boków figury odpowiednimi literami i algebraicznie wyznaczać odpowiedź. Wcale się nie dziwię – sama od tego zaczęłam. Rachunki, jak się okazało, nie są żmudne, choć wymagają kilku przekształceń, co zajmuje trochę czasu.
Tymczasem wystarczy spojrzeć na drugi (od lewej) kwadrat i właśnie tam poszukać podpowiedzi. Widać wyraźnie, że fioletowa część to dokładnie połowa drugiego kwadratu. Teraz wystarczy dorysować dwie poziome kreski (na poniższym rysunku oznaczone zielonym kolorem) oraz „wymazać” część boku środkowego kwadratu (wspólnego z następnym kwadratem).
Jeśli uświadomimy sobie, że wszystkie trójkąty o tej samej podstawie i jednakowej wysokości mają równe pola, to mamy rozwiązanie zadania.
Pomaga nam w tym poniższa wizualizacja.
Teraz wyraźnie widać, że każda kolorowa część jest połową kolejnej figury, ponieważ jest trójkątem o podstawie równej jednemu z boków danego prostokąta i wysokości równej drugiemu. I zagadka rozwiązana – kolorowe trójkąty stanowią połowę pola całej figury.
***
Oto inne ciekawe zadanie:
Jaką część tego regularnego sześciokąta pokrywają trójkąty równoboczne?
Na pierwszy rzut oka wydaje się, że około połowy. Przyjrzyjmy się jednak dokładniej. Duży sześciokąt jest foremny, a zatem składa się z sześciu jednakowych trójkątów równobocznych. Jego dłuższa przekątna ma długość równą dwóm bokom takiego trójkąta. Z rysunku widać, że na takiej przekątnej mieszczą się trzy kolorowe trójkąty równoboczne. Kolorowe trójkąty można również ułożyć w sześciokąt. Skala podobieństwa takiego kolorowego sześciokąta do dużego sześciokąta wynosi 2/3, a więc stosunek ich pól to (2/3)2 = 4/9. Zatem kolorowe trójkąty równoboczne pokrywają 4/9 pola całego sześciokąta.
Można to też zauważyć, pokrywając rysunek siatką małych trójkątów równobocznych. Wówczas stosunek kolorowych trójkątów do wszystkich trójkątów wynosi 24/54, co po skróceniu daje właśnie 4/9.
***
Poniżej inny rodzaj łamigłówki – tym razem dotyczy kątów.
Mamy trzy przystające prostokąty. Ile stopni ma zaznaczony na rysunku kąt?
Na pierwszy rzut oka niewiele widać, ale gdy dodamy kilka kresek, wszystko staje się jasne.
Wystarczy od góry dorysować czwarty prostokąt przystający do pozostałych oraz przekątną prostokąta po lewej stronie. W ten sposób umieszczamy szukany kąt w trójkącie równoramiennym prostokątnym. I zagadka rozwiązana – szukany kąt ma 45º.
***
I jeszcze jedno zadanie w podobnym stylu.
Mamy pięć przystających prostokątów. Ile wynosi szukany kąt?
Opierając się na poprzednim zadaniu, możemy się domyślić, że i tym razem trzeba dorysować kilka kresek tak, aby umieścić zaznaczony kąt w jakimś wielokącie. Zobaczmy, jak to zrobić.
Myślę, że Czytelnicy nabrali już wprawy i łatwo było zauważyć, że szukany kąt ma 135°.
***
Geometryczne łamigłówki są rewelacyjne, a nawet rewolucyjne. Wprowadzają nas w świat geometrii opartej wyłącznie na rysunku i logicznym myśleniu. Do ich rozwiązania nie potrzebujemy znać twierdzeń spoza szkolnego kanonu. Rachunki i próby zalgebraizowania rozwiązania często tylko utrudniają znalezienie prostego sposobu dojścia do odpowiedzi.
Poszukując rozwiązań łamigłówek Catriony, często przekonujemy się, że nadmiar wiedzy potrafi przeszkadzać. Przyzwyczajeni do formalizowania wszystkiego, z czym spotykamy się w matematyce, musimy sporo wysiłku włożyć w zmianę sposobu myślenia.
Zadania te wymagają pomysłowości i kreatywności. Jedne są stosunkowo łatwe, inne potrafią pochłonąć długie godziny myślenia. Zresztą, trudność to bardzo subiektywna skala, szczególnie w przypadku tych zagadek. W wielu z nich istnieje szybki trik, który sprawia, że całość staje się bardzo prosta, czasem wręcz banalna. Inaczej można „utknąć w algebrze” na wieki.
Zaprezentowane przeze mnie zadania to jedynie niewielka próbka tego, co Catriona udostępnia na swoich profilach internetowych. Myślę, że warto tam zajrzeć i poćwiczyć swoje szare komórki. Te geometryczne łamigłówki doskonale nadają się również do wykorzystania na lekcjach matematyki, bądź podczas zajęć kół zainteresowań. Świetnie wpisują się w heurystyczne podejście do nauczania matematyki, którego istotą jest kierowanie myśleniem i działaniami uczniów za pomocą kolejnych, odpowiednio dobranych zadań. Rozwiązując je małymi krokami, rozwijamy myślenie geometryczne.
Ramona Wiora
Nauczycielka matematyki w Zespole Szkolno-Przedszkolnym im. K. Makuszyńskiego w Kalei,
doradca metodyczny w WOM RODN Częstochowa, członek Zarządu Głównego Stowarzyszenia Nauczycieli Matematyki
Wiele innych łamigłówek znajduje się na oficjalnych profilach Catriony. Na Twitterze (obecnie X): x.com/Cshearer41 oraz na Bluesky: bsky.app/profile/catrionaagg.bsky.social
Wszystkie opublikowane zadania Catriony Agg , a także ich rozwiązania i wskazówki można znaleźć na stronie: notes.mathforge.org/notes/published/HomePage
Film, w którym Catriona opowiada, jak powstają jej zadania jest dostępny pod adresem: youtube.com/watch?v=IsnBXzCZbT8
