Liczby doskonałe, zaprzyjaźnione, bliźniacze, pierwsze

Przez

29 maja 2025

Liczby doskonałe
Definicja na start: liczba doskonała (ang. perfect number) to taka liczba naturalna, której suma dzielników właściwych, czyli mniejszych od niej samej, jest równa tej liczbie. Wszystkie znane liczby doskonałe mają postać 2^{p – 1}· (2^p – 1), gdzie p oraz 2^p – 1 to liczby pierwsze.

Najmniejszą doskonałością jest 6 = 1 + 2 + 3, [6 = 2^2–1· (2²–1) = 2·3].

Św. Augustyn (354 – 430), doktor Kościoła, pisał nawet: Doskonałość zawiera się w liczbie sześć. Dlatego w ciągu sześciu dni Bóg ukończył świat (Traktat XXV Homilii na Ewangelię Jana), a dalej w De Civitate Dei (Państwo Boże): Nie można powiedzieć, że liczba sześć jest doskonała, bo w ciągu sześciu dni Bóg dokonał wszystkich dzieł swoich, lecz dlatego Bóg dokonał w ciągu sześciu dni wszystkiego, ponieważ liczba sześć jest doskonałą.

Jedynie malkontenci uparcie twierdzą, że nasz świat jest oczywistym dowodem na to, że nawet z boską mocą nie da się w takim tempie zrobić nic doskonałego.

Zatem 6 wyznacza start liczb doskonałych. Następna doskonałość, znana już pitagorejczykom, to 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Numerologicznie można by stąd wnosić, że 28 jest doskonałym dniem miesiąca, zaś 28.06 to najdoskonalszy dzień roku.

Kolejnymi liczbami doskonałymi są 496 oraz 8128. Zostały podane przez Euklidesa, ojczulka geometrii. Piątą doskonałość, 33 550 336, wyszperano dopiero w XV wieku. A że liczby doskonałe rosną w zawrotnym tempie, szósta jest już supergigantem.

W XVII wieku jezuita francuski Marin Mersenne, kolega Kartezjusza ze studiów w szkole jezuitów, rozpatrywał liczby postaci 2^p – 1 (gdzie p jest liczbą pierwszą), dziś zwane liczbami Mersenne’a. Dla potęg p = 2, 3, 5, 7 są one pierwszymi, ale dla p = 11 liczba jest złożona.

Leonard Euler udowodnił, że każda parzysta liczba doskonała, nolens volens, musi mieć postać 2^p ^{– 1} · (2^p – 1). Tym samym „mersennówki” to wizytówki parzystych doskonałości. Tenże Euler sprawdził też (ręcznie, czyli na piechotę!), że dla potęgi p = 31 liczba Mersenne’a jest pierwsza. Dało to ósmą liczbę doskonałą.

Obecnie, dzięki zagonieniu komputerów do tej żmudnej harówki, znamy około pięćdziesięciu liczb doskonałych. Polowanie na nie trwa bez sezonu ochronnego. Podkreślmy, że nie ma bezpośredniego pożytku z tych liczbowych monstrów. Ale program do ich wyszukiwania, dzięki niemiłosiernemu torturowaniu komputera, jest świetnym testem jego procesora i pamięci.

A co z doskonałością nieparzystą? Niestety, mimo zawziętego szperania w liczbowym cieście, nie udało się dotąd wytropić żadnego „rodzynka”. Wiadomo jednak, gdzie go nie szukać. Otóż na pewno nie ma żadnego w zakresie do 10¹⁵⁰⁰ (wynik: Pascal Ochem i Michaël Rao – 2012). Jeśli więc jakiś doskonały nieparzysty „rodzynek” istnieje, jest on prawdziwym białym krukiem.

Liczby zaprzyjaźnione
Z liczbami doskonałymi kolegują się pary liczb zaprzyjaźnionych (ang. amicable numbers), czyli takich liczb naturalnych, gdzie suma wszystkich dzielników właściwych pierwszej liczby jest równa drugiej liczbie – i odwrotnie (suma wszystkich dzielników właściwych drugiej liczby jest równa pierwszej liczbie).

Pierwsza para liczb zaprzyjaźnionych 220 oraz 284 znana była już Pitagorasowi (Grek mawiał nawet: „Przyjaciel to drugi ja; przyjaźń, to stosunek liczb 220 i 284”). Mamy bowiem

220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (dzielniki właściwe liczby 284),
284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 (dzielniki 220).

Tak więc jedna liczba stwierdza – i to z wzajemnością – „doskonałość” drugiej liczby względem swoich własnych dzielników właściwych. Kolejne kilka par przyjaciół: (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), …. Oczywiście, jeśli (a, b) są przyjaciółmi, to (ka, kb) też nimi są.

W teorii liczb wykorzystuje się równoważne funkcje γ(n) = suma dzielników właściwych liczby n oraz σ(n) = suma wszystkich dodatnich dzielników n. Oczywiście, zachodzi równość σ(n) = γ(n) + n. Z użyciem tych funkcji możemy zapisać definicje:

(1) n jest liczbą pierwszą, gdy γ(n) = 1,

(2) n jest liczbą doskonałą, gdy γ(n) = n,

(3) a, b są liczbami zaprzyjaźnionymi, gdy γ(a) = b, γ(b) = a, co przy pomocy funkcji σ(n) można zapisać jako równość σ(a) = σ(b) = a + b. (Odnotujmy w tym miejscu, że liczba doskonała jest samotniczką, która jest zaprzyjaźniona tylko ze sobą samą).

(4) n jest liczbą nadmiarową (ang. excess number) lub obfitą (abundant numer}, gdy jest mniejsza od sumy swoich dzielników właściwych, tzn. γ(n) > n.

Na przykład liczby 12 oraz 18 są nadmiarowe, bowiem
γ(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12,
γ(18) = 1 + 2 + 3 + 6 + 9 = 21 > 18.

(5) n jest liczbą deficytową (ang. deficient numer), gdy suma jej dzielników właściwych jest mniejsza od niej samej, czyli γ(n) < n.

Dla przykładu liczby 8 oraz 10 są deficytowe, ponieważ:
γ(8) = 1 + 2 + 4 = 7 < 8,
γ(10) = 1 + 2 + 5 = 8 < 10.

Liczbami deficytowymi są, oczywiście, liczby pierwsze. Wiadomo też, że istnieje nieskończenie wiele liczb deficytowych (i nadmiarowych), zarówno parzystych, jak i nieparzystych. W parze liczb zaprzyjaźnionych mniejsza z nich jest nadmiarowa, a większa deficytowa.

Zauważmy, że definicja γ(1) sankcjonuje fakt, że liczba 1 nie jest uznawana obecnie w teorii liczb za „atom arytmetyki”, czyli liczbę pierwszą. Decyduje o tym równość γ(1) = 0, która nadaje jedynce nieco pokrętny status, bo ta liczba ani nie jest pierwsza, ani też złożona. Krótko mówiąc, jedynka jest jedyna w swoim rodzaju i sprawia to, że liczb naturalnych są aż trzy rodzaje – pierwsze, złożone i jedna typu „ani taka, ani siaka”, czyli jedynka.

Na „pocieszenie” dla liczby 1 dodajmy, że jest ona zwaną liczbą prawie doskonałą (ang. near-perfect number), czyli liczbą, dla której zachodzi γ(n) = n – 1. Pod tę definicję załapują się zresztą wszystkie potęgi liczby 2, nie tylko 2^o = 1.

Hipoteza Goldbacha
W 1742 roku Christian Goldbach postawił pytanie, które do dziś bezskutecznie czeka na pogromcę – i przeszło do historii jako hipoteza Goldbacha: „każda parzystość większa od dwóch jest sumą dwóch liczb pierwszych”. Nadmieńmy, że Goldbach uznawał 1 za liczbę pierwszą, ale konwencja ta nie jest już obecnie stosowana (z powodów podanych powyżej). Powyższą hipotezę, nazywaną „hipotezą Goldbacha”, sformułował w rezultacie Euler, jednak nazwa nie została zmieniona. Goldbach w liście do Eulera zasugerował, że „każda nieparzysta liczba naturalna większa niż 5 może być przedstawiona w postaci sumy trzech liczb pierwszych”, a tenże po otrzymaniu listu stwierdził, że można to uprościć: „każda liczba parzysta większa od dwóch jest sumą dwóch liczb pierwszych.”

Do tej pory wykazano, że zbiór liczb parzystych nie spełniających hipotezy Goldbacha ma gęstość 0. Co to oznacza? Ano dokładnie tyle, że wraz ze wzrostem n odsetek liczb parzystych mniejszych od n, które nie spełniają tej hipotezy, dąży do 0.

Jednak mimo zdwojonych wysiłków, hipoteza nadal nie daje się rozłożyć na łopatki. Co prawda w 2012 roku dzięki niesłychanej sprawności „niesłychanie sprawnych idiotów” (czytaj: komputerów) Tomás Oliveira e Silva, portugalski matematyk z Lizbony, przetestował oporną hipotezę aż do czterech trylionów (4·10¹⁸ = 4 000 000 000 000 000 000). I co? Prawdziwa; cztery tryliony też są sumą dwóch liczb pierwszych. Ale ów pozornie wielki kawałek nieskończoności ma się do niej jeszcze mniej niż kropla wody do oceanu – to po pierwsze. A po drugie: nadal nie dowodzi ogólnej prawdziwości hipotezy. Jak mawiają matematycy, problem jest otwarty, bo dla dowodu zamknięty póki co (stan na 03.2025).

Powiedzmy jeszcze parę słów o liczbach bliźniaczych (ang. twin primes) – czyli parach liczb pierwszych, których różnica wynosi 2. Hipoteza o liczbach bliźniaczych – przypisywana Euklidesowi – jest do tej pory (stan na 03.2025) problemem otwartym w teorii liczb, związanym z rozmieszczeniem liczb pierwszych; jako pierwszy (około 300 p.n.e.) wysunął on hipotezę, że jest nieskończenie wiele par liczb takich, że p oraz p+2 są liczbami pierwszymi.

Największe znane dzisiaj liczby bliźniacze póki co (stan na 03. 2025), a każda składająca się z 388 342 cyfr, to 2 996 863 034 895 · 2^{1 290 000} ± 1, znalezione dziewięć lat temu przez Toma Greera w ramach projektu PrimeGrid.

Dlaczego w ogóle o nich mówimy? Otóż liczby bliźniacze są badane przez matematyków, bo ich rozkład i właściwości ma zastosowanie w różnych działach królowej nauk, takich jak kryptografia na przykład. Ponadto hipoteza o liczbach pierwszych bliźniaczych, która zakłada istnienie nieskończenie wielu par liczb pierwszych różniących się o dwa, jest jednym z problemów gryzących matematyków od ponad dwudziestu trzech wieków i od tyluż wieków czeka na swego pogromcę.

Twierdzenie norweskiego matematyka Vigo Bruna (1919 r.) głosi, że szereg otrzymany przez sumowanie odwrotności liczb pierwszych bliźniaczych, tzn.

\((\frac{1}{3}) + (\frac{1}{5}) + (\frac{1}{5}) + (\frac{1}{7}) + (\frac{1}{11}) + (\frac{1}{13}) + (\frac{1}{17}) + (\frac{1}{19}) + \ldots{} \)

jest zbieżny i że ta granica to B ≈ 1,90 (zwana stałą Bruna), co jest świadectwem rzadkości liczb pierwszych bliźniaczych, nawet jeśli jest ich nieskończenie wiele. Rozbieżność szeregu (B = ∾) byłaby dowodem istnienia nieskończenie wielu par liczb bliźniaczych. Co ciekawe, szereg odwrotności samych liczb pierwszych rozbiega się do nieskończoności, a to już udowodnił Euler.

W 1994 r. wada pewnego modelu procesorów Pentium firmy Intel ujawniła się przy szacowaniu stałej Bruna – okazało się, że operacja wyznaczania odwrotności liczby 824 633 702 441 była wykonywana z mniejszą dokładnością, niż zakładano: 9 poprawnych cyfr zamiast 19 miejsc po przecinku.

W 1849 roku matematyk francuski Alphonse de Polignac sformułował ogólniejszą hipotezę. Mówi ona, że dla każdej liczby naturalnej k istnieje nieskończenie wiele takich par liczb pierwszych p i q, gdzie q = p + 2k.

To tzw. hipoteza Polignaca. Zaś ipoteza o liczbach bliźniaczych to jej przypadek szczególny dla k = 1.

Z kolei dla k = 2 pary liczb pierwszych, czyli pary (p, p + 4), nazywa się kuzynowskimi (ang. cousin prime).

Seksowne liczby pierwsze (ang. sexy prime, co jest grą słów od łacińskiego sex = sześć) to liczby pierwsze, które różnią się od siebie o 6 (k = 3).

Pierwsze pięć par liczb sexy prime to: (5, 11), (7, 13), (11, 17), (13, 19), (17, 23), (23, 29).

Matematycy wciąż próbują znaleźć więcej par seksownych liczb pierwszych. Największa znana para została jak dotąd znaleziona przez Serge’a Batalova w listopadzie 2024 roku:

[16472224158 · (2¹⁶⁶⁶⁷⁸ – 1) – 1] · 2⁸³³⁴¹ + 1 oraz
[16472224158 · (2¹⁶⁶⁶⁷⁸ – 1) – 1] · 2⁸³³⁴¹ – 5

Trójki liczb pierwszych (p, p + 6, p + 12) zwane są seksownymi trójkami. Pierwszych 5 seksownych trójek: (7, 13, 19), (17, 23, 29), (31, 37, 43), (47, 53, 59), (67, 73,79). Stosując analogiczną ideę, można kreować seksowne czworaczki liczb pierwszych lub seksowne pięcioraczki liczb pierwszych.

Teoria liczb w ten sposób jest i spadkobierczynią, i kontynuatorką myśli Proclusa Diadochusa, jednego z ostatnich szefów słynnej Akademii Platońskiej (założonej przez Platona w Atenach w 387 p.n.e., a zamkniętej w 529 roku z rozkazu cesarza Justyniana).

Dodajmy na zakończenie, że piękna i bogata teoria liczb wyróżnia w swoim ogródku jeszcze wiele innych grządek, czyli klas liczb, ale ich przedstawianie tutaj to już temat nie na jeden mały artykuł. A powiedzieć, że na cały jeden tom, to nic nie powiedzieć.

PS. Batalov (maj 2025) zakomunikował o znalezieniu jeszcze większej pary seksownych liczb pierwszych. A można być pewnym, że koniec wyścigu z liczbami pierwszymi nie ma końca.

Tadeusz Ostrowski
dr nauk matematycznych