Logi­ka, ta pozor­nie sztyw­na i poważ­na dama, ma w swo­jej histo­rii wię­cej zwro­tów akcji niż nie­je­den serial sen­sa­cyj­ny. W zamy­śle grec­kich filo­zo­fów mia­ła być spo­koj­ną nauką o popraw­nym myśle­niu i sztu­ce argu­men­ta­cji. A wyszło jak zawsze.

Sta­ro­żyt­ność, czy­li Ary­sto­te­les usta­la regu­ły gry
Na począt­ku był cha­os. Ludzie myśle­li, jak chcie­li, co nie zawsze pro­wa­dzi­ło do wycią­ga­nia sen­sow­nych wnio­sków. Filo­zo­fo­wie spie­ra­li się, czy coś jest, czy nie jest, i dla­cze­go nie moż­na dwa razy wejść do tej samej rze­ki, jak twier­dził Hera­klit z Efe­zu. I wte­dy uczeń Pla­to­na, Ary­sto­te­les (384 – 322 p.n.e), uznał, że sko­ro ludzie i tak się kłó­cą, war­to usta­lić zasa­dy pro­wa­dze­nia takich spo­rów reto­rycz­nych. I zro­bił porządek.

Wpro­wa­dził sylo­gi­zmy, czy­li inte­lek­tu­al­ne domi­no umoż­li­wia­ją­ce wycią­ga­nie logicz­nych wnio­sków. Jeśli wszyst­kie psy są ssa­ka­mi, a Rek­sio jest psem, to… Rek­sio jest ssa­kiem. Sfor­mu­ło­wał też zasa­dę nie­sprzecz­no­ści, zgod­nie z któ­rą dwa zda­nia sprzecz­ne nie mogą być jed­no­cze­śnie praw­dzi­we, oraz zasa­dę wyłą­czo­ne­go środ­ka: albo zda­nie jest praw­dzi­we, albo praw­dzi­we jest jego zaprze­cze­nie. Trze­ciej moż­li­wo­ści nie ma.

To tro­chę jak usta­le­nie, że w grze nie moż­na jed­no­cze­śnie wygrać i prze­grać – niby oczy­wi­ste, ale ktoś musiał to zapi­sać. Przez następ­ne, mniej wię­cej, dwa tysią­ce lat wie­lu myśli­cie­li uzna­wa­ło, że to już koniec histo­rii logiki.

Śre­dnio­wie­cze: logi­ka jako sport
W śre­dnio­wie­czu logi­ka tra­fi­ła na uni­wer­sy­te­ty i zaczę­ła przy­po­mi­nać dys­cy­pli­nę olim­pij­ską. Roz­wa­ża­no, czy Bóg może stwo­rzyć kamień, któ­re­go sam nie pod­nie­sie, czy „nic” jest czymś, czy anio­ły zaj­mu­ją miej­sce w prze­strze­ni. Logi­ka sta­ła się siłow­nią dla mózgu, więc nikt nie był pewien, czy robi to dobrze. Logi­cy zaj­mo­wa­li się głów­nie tym, co ozna­cza­ją sło­wa, bo w świe­cie logi­ki śre­dnio­wiecz­nej naj­groź­niej­szym prze­ciw­ni­kiem był źle uży­ty ter­min. Jed­nym z głów­nych boha­te­rów tej epo­ki był angiel­ski logik, filo­zof i teo­log Wil­liam Ockham (ok. 1285 – 1349), któ­ry miał jed­ną pro­stą zasa­dę: nie mno­żyć bytów ponad potrze­bę. Ta zasa­da eko­no­mii myśle­nia, zna­na dziś jako „brzy­twa Ockha­ma”, dzia­ła­ła jak logicz­ny try­mer: wszyst­ko, co zbęd­ne, lądo­wa­ło na podłodze.

XIX wiek: prze­rób­ka logi­ki na matematykę
W XIX wie­ku Angiel­ski mate­ma­tyk samo­uk Geo­r­ge Boole (1815 – 1864) wpadł na pomysł, żeby spoj­rzeć na logi­kę jak na… alge­brę. Wpro­wa­dził rachu­nek logicz­ny, w któ­rym „praw­da” i „fałsz” zaczę­ły zacho­wy­wać się tro­chę jak licz­by. Dzię­ki temu moż­na było zapi­sy­wać rozu­mo­wa­nia za pomo­cą dzia­łań i sym­bo­li, a logi­ka zaczę­ła przy­po­mi­nać nie tyl­ko sztu­kę argu­men­ta­cji, lecz tak­że pre­cy­zyj­ny mechanizm.

Z tego spo­so­bu myśle­nia wyro­sła póź­niej­sza alge­bra Boole’a, waż­na dla infor­ma­ty­ki, elek­tro­ni­ki cyfro­wej i kryp­to­gra­fii. To na niej opie­ra­ją się mię­dzy inny­mi ope­ra­cje logicz­ne zna­ne dziś jako koniunk­cja (AND), alter­na­ty­wa (OR) i nega­cja (NOT), a tak­że nega­cja koniunk­cji (NAND), nega­cja alter­na­ty­wy (NOR) oraz alter­na­ty­wa wyklu­cza­ją­ca (XOR). Był to moment, w któ­rym logi­ka prze­sta­ła być wyłącz­nie dome­ną filo­zo­fów, a sta­ła się narzę­dziem. Jak mło­tek. Tyle że do idei. Tym samym Boole poło­żył jeden z fun­da­men­tów pod kom­pu­te­ry, czy­li urzą­dze­nia, któ­re dziś liczą szyb­ciej niż my, nawet jeśli nie mają poję­cia, co wła­ści­wie liczą i po co.

Nie­miec­ki mate­ma­tyk i logik Got­tlob Fre­ge (1848 – 1925) uznał, że osią­gnię­cia Boole’a to dopie­ro roz­grzew­ka. Chciał zbu­do­wać sys­tem, w któ­rym cała mate­ma­ty­ka da się wypro­wa­dzić z zasad logi­ki, sta­jąc się tym samym jed­nym z lide­rów logicyzmu.

Do gry, obok słów, weszły sym­bo­le, zmien­ne i kwan­ty­fi­ka­to­ry. A efekt był napraw­dę rewo­lu­cyj­ny – powsta­ła logi­ka pre­dy­ka­tów, czy­li wyra­żeń opi­su­ją­cych cechę przed­mio­tu lub rela­cję mię­dzy przed­mio­ta­mi, któ­re wraz z argu­men­ta­mi two­rzą zda­nie oznaj­mia­ją­ce, praw­dę lub fałsz.

XX wiek i dalej: Logicz­ne rewolty

Fre­ge już pra­wie witał się z gąską, czy­li świę­to­wał zwy­cię­stwo, kie­dy hra­bia Ber­trand Arthur Rus­sell (1872 – 1970), nota bebe rów­nież jeden z czo­ło­wych przed­sta­wi­cie­li logi­cy­zmu, napi­sał do nie­go list. Poin­for­mo­wał w nim, że zna­lazł sprzecz­ność w jego sys­te­mie. Tą sprzecz­no­ścią był słyn­ny para­doks Rus­sel­la, doty­czą­cy „zbio­ru wszyst­kich zbio­rów, któ­re nie zawie­ra­ją samych sie­bie”. Rus­sell ogło­sił ten para­doks w 1901 roku. Zauwa­żył, że jeśli roz­wa­ży­my zbiór S = {X : X ∉ X}, czy­li zbiór wszyst­kich takich zbio­rów, któ­re nie nale­żą do samych sie­bie, natych­miast wpa­da­my w pułap­kę. Czy S nale­ży do same­go sie­bie? Jeśli nale­ży, to zgod­nie z defi­ni­cją nie powi­nien nale­żeć. Jeśli nie nale­ży, to zgod­nie z defi­ni­cją powi­nien nale­żeć. Spo­strze­że­nie Rus­se­la ozna­cza, że z mate­ma­tycz­ne­go punk­tu widze­nia nie każ­da wła­sność może okre­ślać zbiór.

Aby zobra­zo­wać ten pro­blem, uży­wa się czę­sto przy­kła­du goli­bro­dy, dla­te­go para­doks Rus­sel­la bywa popu­lar­nie nazy­wa­ny anty­no­mią lub para­dok­sem goli­bro­dy . Wyobraź­my sobie mia­stecz­ko, w któ­rym goli­bro­da goli jedy­nie tych męż­czyzn, któ­rzy nie golą się sami, to czy może golić sam sie­bie? Odpo­wiedź na to pyta­nie jest pro­sta: taki goli­bro­da nie może ist­nieć. Jeśli goli­bro­da ogo­li się sam, łamie zasa­dę (bo goli kogoś, kto się goli). Jeśli się nie ogo­li, też łamie zasa­dę (nie goli wszyst­kich, któ­rzy się sami nie golą). A kró­cej, gdy­by golił same­go sie­bie, nale­żał­by do zbio­ru osób, któ­re golą się same, nie mógł­by więc sie­bie ogo­lić (tak czy ina­czej, sprzecz­ność logiczna).

Para­doks Rus­sel­la poka­zał, że teo­ria zbio­rów – dum­na pod­sta­wa nowo­cze­snej mate­ma­ty­ki – potra­fi zaplą­tać się sama w sobie. Zbiór wszyst­kich zbio­rów, któ­re nie zawie­ra­ją samych sie­bie, oka­zał się logicz­ną pułap­ką bez wyj­ścia. Mate­ma­ty­cy zare­ago­wa­li, jak zawsze: stwo­rzy­li wię­cej aksjo­ma­tów. To chy­ba jedy­na nauka, w któ­rej odpo­wie­dzią na pro­blem bywa… wię­cej zasad.

*

Po tej logicz­nej kata­stro­fie logi­cy zaczę­li być ostroż­niej­si, ale też sta­li się bar­dziej kre­atyw­ni. Kurt Gödel (1906 – 1978) udo­wod­nił twier­dze­nie o nie­zu­peł­no­ści, zgod­nie z któ­rym w każ­dym sys­te­mie zawie­ra­ją­cym licz­by natu­ral­ne są twier­dze­nia, któ­rych nie da się w nim udo­wod­nić. Czy­li: zawsze będzie coś, cze­go się nie ogar­nie – nawet mate­ma­tycz­nie. To był moment, w któ­rym logi­ka spoj­rza­ła w lustro i stwier­dzi­ła z bólem, że nie jest taka dosko­na­ła, jak sądziła.

Alfred Tar­ski (1901 – 1983) – zwa­ny księ­ciem logi­ków – upo­rząd­ko­wał poję­cie praw­dy Wpro­wa­dził poję­cie praw­dy jako cechę zdań logicz­nych nale­żą­cą do języ­ka będą­ce­go języ­kiem wyż­sze­go rzę­du (meta­ję­zy­ka), wobec języ­ka, w jakim zda­nia te są wypo­wia­da­ne. Krót­ko mówiąc: jeśli język zaczy­na mówić sam o sobie, robi się nie­bez­piecz­nie śli­sko, więc war­to mieć dru­gi język, któ­ry będzie patrzył na nie­go z góry.

Alan Turing (1912 – 1954) poka­zał z kolei gra­ni­ce obli­czal­no­ści. Udo­wod­nił, że ist­nie­ją pro­ble­my, któ­rych nie da się roz­wią­zać za pomo­cą żad­ne­go algo­ryt­mu. Przy oka­zji zapo­cząt­ko­wał informatykę.

Wyobraź­my sobie świat, w któ­rym wszyst­ko jest czarno-białe: kawa jest albo dobra, albo kiep­ska; pogo­da albo ład­na, albo brzyd­ka. To wła­śnie świat kla­sycz­nej logi­ki, tej wywo­dzą­cej się jesz­cze od Ary­sto­te­le­sa, w któ­rej każ­de zda­nie musi być praw­dzi­we albo fał­szy­we. Zero odcie­ni szarości.

Pro­blem w tym, że rze­czy­wi­stość ma na ten temat inne zda­nie. Logi­ka prze­sta­ła zatem pytać „czy zda­nie jest praw­dzi­we”, ale tak­że o to, co zro­bić z sytu­acja­mi nie­pew­ny­mi, nie­ostry­mi albo taki­mi, któ­rych jesz­cze nie da się roz­strzy­gnąć. Zaczę­ła docie­kać: „czy w ogó­le da się to sprawdzić?”

Na prze­ło­mie XIX i XX wie­ku coraz wyraź­niej było widać, że coś tu nie gra. Bo co począć ze zda­niem „On jest wyso­ki”. Czy to napraw­dę tyl­ko praw­da albo fałsz? Czy ist­nie­je komi­sja, któ­ra przy­zna­je ludziom sta­tus wyso­ki: TAK/NIE? A prze­cież nawet duży jest mały dla wyż­sze­go od sie­bie. I odwrot­nie, tak­że mały jest duży dla niż­sze­go od sie­bie. Swiat upar­cie wymy­ka się sys­te­mo­wi „albo – albo”.

Na szczę­ście dla logi­ki poja­wił się Jan Łuka­sie­wicz (1878 – 1956), któ­ry zapro­po­no­wał coś rewo­lu­cyj­ne­go: logi­kę trój­war­to­ścio­wą. Oprócz „praw­dy” (1) i „fał­szu” (0) wpro­wa­dził trze­cią war­tość, ozna­cza­ją­cą moż­li­wość, nie­okre­ślo­ność, tro­chę tak, tro­chę nie. To był moment, w któ­rym logi­ka przy­zna­ła, że życie jest skom­pli­ko­wa­ne. Zda­nia o przy­szło­ści („jutro będzie padać”) nie muszą być ani praw­dzi­we, ani fał­szy­we. Mogą być… w zawie­sze­niu. Czy­li coś pomię­dzy „tak” i „nie” – stan, w któ­rym więk­szość ludzi funk­cjo­nu­je na co dzień.

Jed­nym z naj­bar­dziej zna­nych doko­nań Łuka­sie­wi­cza było stwo­rze­nie tzw. nota­cji pol­skiej, czy­li spo­so­bu zapi­sy­wa­nia wyra­żeń logicz­nych i aryt­me­tycz­nych bez uży­cia nawia­sów: . – znak wyko­ny­wa­nej ope­ra­cji poprze­dza ope­ran­dy, tj. zmien­ne lub licz­by). Dzię­ki temu kom­pu­te­ry (któ­re wte­dy jesz­cze nawet nie śni­ły o swo­im ist­nie­niu) dosta­ły w przy­szło­ści narzę­dzie ide­al­ne do prze­twa­rza­nia danych – tzw. odwró­co­ną nota­cję pol­ską (znak wyko­ny­wa­nej ope­ra­cji nastę­pu­je po operandach).

Jego idee prze­trwa­ły pró­bę cza­su i mia­ły ogrom­ny wpływ na roz­wój infor­ma­ty­ki. Dzi­siej­sze języ­ki pro­gra­mo­wa­nia i algo­ryt­my korzy­sta­ją z kon­cep­cji, któ­re Łuka­sie­wicz roz­wi­jał deka­dy wcześniej.

Sko­ro mogą być trzy war­to­ści, to cze­mu nie wię­cej? Logi­cy poszli dalej i zaczę­li two­rzyć sys­te­my z czte­re­ma war­to­ścia­mi, pię­cio­ma, a nawet nie­skoń­czo­ną licz­bą wartości.

Logi­ka roz­my­ta: praw­da ma procenty
Naj­więk­szą karie­rę zro­bi­ła kon­cep­cja roz­wi­nię­ta przez Lot­fie­go Zade­ha (1921 – 2017), czy­li logi­ka roz­my­ta (ang. fuz­zy logic). Tutaj praw­da nie musi być binar­na. Może mieć róż­ne stop­nie: 0,0, a więc total­ny fałsz; 0,5 to ina­czej na dwo­je bab­ka wró­ży­ła, czy­li pół na pół; 0,9 – pra­wie praw­da (wiem, ale nie jestem pewien) I co naj­lep­sze – to dzia­ła w prak­ty­ce! Logi­ka roz­my­ta tkwi w pral­kach (ile wody ma pobrać?), w kli­ma­ty­za­to­rach (tro­chę chłod­niej, ale nie zim­no), w samo­cho­dach (sys­te­my kon­tro­li trak­cji), sys­te­mach sterowania.

Wszyst­ko to uży­wa logi­ki roz­my­tej, żeby podej­mo­wać decy­zje bar­dziej ludz­kie, czy­li takie, któ­re cza­sem dzia­ła­ją, a cza­sem… no cóż, pró­bo­wa­ły. Logi­ka roz­my­ta nie mówi, że wszyst­ko jest względ­ne i hulaj dusza. Ona po pro­stu przy­zna­je: świat jest nie­pre­cy­zyj­ny, język jest nie­ostry, ludzie nie dzia­ła­ją jak kal­ku­la­to­ry i zamiast uda­wać, że jest ina­czej, budu­je sys­tem, któ­ry to uwzględnia.

Logi­ka roz­my­ta opie­ra się na kon­cep­cji tzw. zbio­rów roz­my­tych. Brzmi groź­nie, ale idea jest pro­sta: Zamiast pytać: „Czy ktoś jest wyso­ki?”, pyta­my: „W jakim stop­niu jest wyso­ki?”. Jed­na oso­ba może nale­żeć do zbio­ru osób wyso­kich w stop­niu 0,3, inna w stop­niu 0,8, a jesz­cze inna w stop­niu 1. Czy­li coś może być tro­chę praw­dzi­we, w mia­rę praw­dzi­we, albo pra­wie na pew­no praw­dzi­we – jak dekla­ra­cje noworoczne.

Logi­ka roz­my­ta to moment, w któ­rym mate­ma­ty­ka prze­sta­je mówić, , że mamy rację albo jej nie mamy. Ona twier­dzi, że mamy rację… tak na jakieś 0,666, czy­li robi coś, co dla wie­lu brzmi nie­po­ko­ją­co, bo roz­my­wa poję­cie praw­dy. W kla­sycz­nej logi­ce: „Zda­nie jest praw­dzi­we albo fał­szy­we.” W logi­ce roz­my­tej: „Zda­nie może być praw­dzi­we w 67%”.

*

Współ­cze­sna logi­ka „sie­dzi’’ więc w kom­pu­te­rach (algo­ryt­my), języ­kach pro­gra­mo­wa­nia, sztucz­nej inte­li­gen­cji. Powsta­ły alter­na­tyw­ne logi­ki: roz­my­te (w któ­rych coś może być „tro­chę praw­dzi­we”), modal­ne (bada­ją­ce to, co jest moż­li­we, koniecz­ne albo nie­moż­li­we itd.), czy para­nie­sprzecz­ne (para­kon­sy­stent­ne), gdzie sprzecz­no­ści nie roz­wa­la­ją sys­te­mu – czy­li speł­nia­ją marze­nie każ­de­go, kto kie­dy­kol­wiek miał rację i jej nie miał jednocześnie.

Zatem dziś logi­ka to nie jed­na dzie­dzi­na, lecz cała rodzi­na: logi­ka kla­sycz­na, nie­kla­sycz­na, roz­my­ta, modal­na…. Krót­ko mówiąc, logi­ka prze­sta­ła być jed­ną świę­tą księ­gą, a sta­ła się skrzy­nią narzędzi.

Powsta­je pyta­nie: czy logi­ka ma jesz­cze sens? Odpo­wiedź jest pro­sta: oczy­wi­ście, że tak. Choć prze­szła przez rewo­lu­cje, kry­zy­sy i egzy­sten­cjal­ne zała­ma­nia, nadal jest jed­nym z naj­waż­niej­szych narzę­dzi myśle­nia. Po pro­stu nie jest już tak pew­na sie­bie jak kie­dyś. I może to dobrze.

Bo histo­ria logi­ki to nie marsz ku dosko­na­ło­ści, tyl­ko seria prze­wro­tów: ktoś coś porząd­ku­je, ktoś inny poka­zu­je, że to nie dzia­ła, a trze­ci pro­po­nu­je coś jesz­cze dziw­niej­sze­go. I może wła­śnie o to cho­dzi. Logi­ka nie jest po to, żeby mieć ostat­nie sło­wo. Jest po to, żeby­śmy wie­dzie­li, kie­dy nasze pierw­sze było bez sen­su. Myśle­nie, czy­li logi­ka sto­so­wa­na, nie jest czymś oczy­wi­stym. Trze­ba je cią­gle popra­wiać, testo­wać i cza­sem… cał­ko­wi­cie przebudować.

Tak więc każ­dy z wymie­nio­nych tu wiel­kich logi­ków zro­bił coś podob­ne­go: zoba­czył, że coś dzia­ła tak sobie, zapro­po­no­wał lep­szy spo­sób, a potem ktoś inny udo­wod­nił, że to też dzia­ła tak sobie. I dzię­ki temu jeste­śmy dziś tro­chę mądrzej­si. Albo przy­naj­mniej bar­dziej świa­do­mi, jak bar­dzo może­my się mylić – co, para­dok­sal­nie, brzmi cał­kiem logiczne.

War­to też wspo­mnieć, że 14 stycz­nia obcho­dzo­ny jest co roku World Logic Day, czy­li Świa­to­wy Dzień Logi­ki. Data zosta­ła wybra­na przez UNESCO w 2019 roku nie­przy­pad­ko­wo – upa­mięt­nia dwóch wybit­nych logi­ków XX wie­ku, któ­rzy zre­wo­lu­cjo­ni­zo­wa­li tę dzie­dzi­nę. Tego dnia w 1901 roku uro­dził się Alfred Tar­ski, a tego dnia w 1978 roku zmarł Kurt Gödel. Świa­to­wy Dzień Logi­ki ma przy­po­mi­nać ludziom, jak waż­ne jest logicz­ne myślenie.

Wszak logi­ka towa­rzy­szy nam codzien­nie, choć czę­sto nawet tego nie zauwa­ża­my. Dzię­ki niej wie­my, że jeśli pada deszcz, to war­to wziąć para­sol. Poma­ga też roz­wią­zy­wać pro­ble­my, pro­wa­dzić dys­ku­sje i uni­kać błędów.

Logi­ka poma­ga odróż­niać fak­ty od bzdur i podej­mo­wać roz­sąd­ne decy­zje. Dzię­ki niej roz­wi­ja się nauka, tech­no­lo­gia i codzien­ne życie. A kie­dy świat wyda­je się cha­otycz­ny, logicz­ne myśle­nie dzia­ła tro­chę jak GPS dla mózgu – poma­ga nie zgu­bić się wśród infor­ma­cji, reklam i inter­ne­to­wych „eks­per­tów”.

Logi­ka miesz­ka z nami na co dzień. Sie­dzi przy śnia­da­niu, jedzie auto­bu­sem, stoi w kolej­ce i obser­wu­je, jak pró­bu­je­my żyć roz­sąd­nie. Nawet jeśli nie każ­dy zosta­nie logi­kiem, to dobrze cza­sem przy­po­mnieć sobie pro­stą zasa­dę: jeśli pilot do tele­wi­zo­ra nie dzia­ła, to naj­pierw spraw­dza się bate­rie, a dopie­ro potem zło­rze­czy telewizorowi.

Tade­usz Ostrowski
dr nauk matematycznych

Załą­czo­ne ilu­stra­cje logi­ków są pro­jek­ta­mi auto­ra wyko­na­ny­mi przy pomo­cy AI (arti­fi­cial intelligence).