Jakub Szczepaniak
Matematyczne opowieści. W zrozumiały sposób o niebanalnej matematyce!
Wydawnictwo Naukowe PWN
Warszawa 2023
„Matematyczne opowieści” to najnowsza książka Jakuba Szczepaniaka, wykładowcy matematyki na Politechnice Łódzkiej. Muszę przyznać, że jest to pierwsza książka tego autora, którą przeczytałem. Liczy ona 220 stron i składa się z 27 rozdziałów, co sprawia, że są one dość krótkie.
W książce znajdziemy zapis różnego rodzaju obliczeń, które pokazują, że „da się” coś obliczyć oraz jak to zrobić. Ich dogłębną analizę Czytelnicy mogą jednak pomijać wedle własnego uznania. W pewnym miejscu (s. 172) sam autor zwraca uwagę, że: „Dowód jest bardzo techniczny, więc Czytelnika zainteresowanego czysto praktycznym wykorzystaniem ułamków egipskich zachęcamy do opuszczenia tego fragmentu rozdziału.”
Będę przywoływał wybrane zagadnienia w kolejności ich pojawienia się w książce.
***
Autor we wstępie (s. 7) zapowiada:
Książka ta powstała z potrzeby podzielenia się z Czytelnikami pewnymi nieoczywistymi, ciekawymi a może nawet – w opinii autora – zabawnymi zastosowaniami matematyki. Matematyki podstawowej, takiej, z którą każdy z nas miał do czynienia w liceum.
Z lektury wynika, że autor typowego czytelnika wyobraża sobie jako absolwenta klasy matematyczno-fizycznej.
W opinii autora (s. 10): „W świecie matematyki jest miejsce dla każdego i każdy z nas może, w oparciu o własne założenia i aksjomaty, wprowadzać nowe pojęcia i dowodzić wniosków. Dla przyjemności, dla zabawy, dla radości wymyślania”.
Nie jestem fanem wymyślania ciekawostek (liczbowych czy obliczeniowych) „na siłę”, dlatego opowieść przedstawiona w rozdziale 1 niezbyt przypadła mi do gustu – znajdziemy w niej definicję „pomyślności” liczb (s. 10), która odwołuje się wprost do własności zapisu dziesiętnego liczb.
Rozdział 2 – „Logika Paragrafu 22 i rosyjska ruletka Łowcy jeleni”– składa się z dwóch części bez wzajemnego związku. Pierwsza z nich dotyczy pewnego paradoksu logicznego, a druga obliczeń dotyczących teorii prawdopodobieństwa.
Należy tutaj wspomnieć, że w tej drugiej części autor przeprowadza obliczenia przy użyciu wzoru na sumę szeregu geometrycznego (i robi to aż sześć razy), ale bez żadnego wyjaśnienia „co się właściwie dzieje”. W mojej opinii jest to sprzeczność z podtytułem książki: „W zrozumiały sposób o niebanalnej matematyce!”. Autor komentuje obliczenia za pomocą pojedynczych słów: ostatecznie, wynosi, zatem. I tak w rozdziale 3 spotykamy się z obliczeniami, w których autor książki zastosował kolejno prawdopodobieństwo warunkowe (s. 22), schemat Bernoullego i symbol Newtona (s. 22), pomijając ich bezpośrednie omówienie.
Domyślam się, że kolejne rozdziały książki nie były przygotowywane w kolejności w jakiej ostatecznie występują. W dalszych rozdziałach pojawiają się bowiem wyjaśnienia pojęć i metod obliczeniowych, które były stosowane już na początku książki, co może świadczyć o niedopracowaniu redakcji. Na przykład, schemat Bernoullego zostaje objaśniony dopiero na s. 97, a wzór dwumianowy Newtona oraz symbol Newtona – na s. 110, mimo że były one już wcześniej wykorzystywane.
Ciekawostką jest fakt, że w rozdziale 16, zatytułowanym „Zasada włączeń i wyłączeń”, przy opisie zbiorów (rysunek na s. 108) autor odwołuje się nagle do kolorów (czerwony, niebieski, żółty, zielony), chociaż ten rysunek (tak jak i cała książka) jest czarno-biały. Może pierwotnie książka ta miała być wydana w kolorze?
W licznych fragmentach (oraz w związanych z nimi obliczeniach) autor snuje opowieści na temat spożywania alkoholu, np. w rozdziale 17, zatytułowanym „Świąteczna opowieść o wzajemnych relacjach matematyki i alkoholu z adwentem w tle”. Z tego powodu trudno polecić książkę Jakuba Szczepaniaka młodzieży szkolnej zainteresowanej matematyką…
We wspomnianym rozdziale 17 znajdziemy następującą „ciekawostkę”: „Liczba 5 to jedyna znana liczba, która jest elementem dwóch par liczb bliźniaczych (3,5) oraz (5,7)”. Trudno mi uwierzyć, że to autor książki (wykładowca matematyki) napisał słowa: „jedyna znana”. To dość oczywiste, że jedyne „trojaczki” liczb bliźniaczych to (3,5,7), gdyż wśród trzech kolejnych liczb nieparzystych jedna jest zawsze wielokrotnością liczby 3 – dowód tego prostego faktu to pół linijki.
W rozdziale 19, zatytułowanym „Ile jeszcze do świąt?”, doczekałem się czegoś naprawdę ciekawego (choć czytałem już o tym wcześniej, ale bez szczegółowych obliczeń i wzorów). Szkoda, że ten rozdział ma tylko 3 strony. Autor opisuje w nim pewne interesujące zjawisko, które przedstawia w następujących słowach:
Gdy jesteśmy młodzi, czas oczekiwania na ważne wydarzenia bardzo się dłuży. W miarę dorastania wydaje się, że on przyspiesza. (…) Zastanowimy się nad zagadnieniem zbyt szybko albo zbyt wolno upływającego czasu pomiędzy kolejnymi świętami.
Ta ciekawa obserwacja polega na zauważeniu, że „rok, w którym mamy n lat, stanowi oczywiście 1/n naszego życia”. Oznacza to, że subiektywny upływ czasu zmienia się wraz z wiekiem – czas naprawdę upływa nam coraz szybciej! Dla „odważnych” istnieje także możliwość obliczenia tego, ile procent subiektywnego czasu życia nam jeszcze pozostało.
***
Rozdział 20 ma najdłuższy tytuł ze wszystkich – „Gorąca 13+1, czyli matematyczna lista przebojów albo… ciekawe, banalnie brzmiące, nierozwiązane problemy matematyczne”. A co możemy znaleźć pośród tych 14 „przebojów”? Przywołam tutaj dwa z nich: problem doskonałej cegły Eulera i hipotezę Toeplitza.
W Problemie doskonałej cegły Eulera, szuka się odpowiedzi na pytanie o istnienie wśród prostopadłościanów zwanych cegłami Eulera (długości wszystkich krawędzi i przekątnych ścian są liczbami całkowitymi) takiego, w którym główna przekątna byłaby liczbą całkowitą.
Można wykazać, że gdyby taki doskonały prostopadłościan istniał, to jego główna przekątna byłaby liczbą nieparzystą. Autor książki przywołuje różne prace matematyczne, by zestawić rezultaty badań nad problemem.
Hipoteza (problem) Toeplitza to przypuszczenie, że każda zamknięta krzywa Jordana zawiera punkty tworzące kwadrat, tj. te punkty są wierzchołkami tego samego kwadratu. Dodam, że autor książki nie posługuje się pojęciem krzywej Jordana (w matematyce wyższej krzywą definiuje się jako homeomorficzny obraz okręgu) – pisze poglądowo o „zamkniętej krzywej na płaszczyźnie, która nie przecina się sama ze sobą”.
***
W rozdziale 22, zatytułowanym „Testujemy piwa, czyli paradoks Simpsona”, pojawia się tytułowy (i często opisywany w literaturze popularnonaukowej) paradoks Simpsona. Tylko dlaczego musi on być przedstawiony na przykładzie testowania piwa?! Najbardziej znaną pracą tłumaczącą ten statystyczny fenomen jest ta autorstwa E. H. Simpsona z 1951r. – stąd zresztą nazwa paradoksu.
Niektóre ciekawostki i rozumowania (a co za tym idzie – obliczenia) są dość mocno „naciągane”. Przykładem jest rozdział 23, w którym autor próbuje odpowiedzieć na pytanie: „Czy można przewidzieć we śnie śmierć bliskiej osoby?”. Autor formułuje liczne tezy, ale pewność co do ich prawdziwości, podkreślana w każdym zdaniu, sugeruje raczej, że wcale nie jest on aż taki przekonany co do poprawności swojego rozumowania.
W rozdziale 25 pojawia się bardzo interesujący temat tzw. nieprzechodnich kości do gry.
Pozwolę sobie nieco rozwinąć ten wątek. Otóż (w podstawowej wersji) mamy 3 sześcienne symetryczne kości do gry, ale na ich ściankach mamy liczby ze zbioru {1, …, 18} – rozmieszczone w pewien szczególny sposób. Jeśli porównamy te kostki parami, czyli zbadamy to, na której z nich z większym prawdopodobieństwem wypadnie większa liczba oczek, to otrzymamy relację nieprzechodnią. Dojdziemy do wniosku, że pierwsza kostka jest lepsza od drugiej, a druga od trzeciej, ale to wcale nie oznacza (tak jak w relacji, która jest przechodnia), że „automatycznie” pierwsza kostka jest lepsza od trzeciej – jest bowiem na odwrót.
To jednak nie koniec niespodzianek dotyczących relacji nieprzechodnich! Po chwili refleksji dojdziemy do wniosku, że w przypadku pojedynku w tej grze – przewagę ma gracz, który wybiera kostkę jako drugi. Może on bowiem zawsze wybrać sobie „lepszą” kostkę od swojego przeciwnika.
Znajdziemy tu również (rzadko spotykany w literaturze) zestaw 7 kości do gry w 3 osoby, którego autorem jest Oskar von Daventer. Zatem w tym przypadku (pojedynku trzech graczy) trzeci gracz może zawsze wybrać taką kostkę, która będzie o tę odrobinę „lepsza” od dwóch pozostałych, które zostały wybrane przez jego przeciwników. Co ciekawe – „problem pojedynku czterech graczy wciąż nie jest rozwiązany”. Na zakończenie warto przypomnieć że mówimy tutaj o sytuacji, w której gracz wybierający kostkę jako ostatni ma największe szanse na zwycięstwo – jednak rzeczywisty wynik pojedynku cały czas zależy od przypadku.
W rozdziale 26 znajduje się „dwanaście zadań na zakończenie”. Jak zapowiada sam autor:
„Niektóre z nich wymagają długotrwałego ślęczenia nad kartką papieru w celu obliczenia, wypisania różnych przypadków czy kombinacji zagadnienia. Inne z kolei, pomimo tego, że wyglądają na skomplikowane, można szybko rozwiązać, używając szczypty zdrowego rozsądku i logicznego myślenia.”
Autor przedstawia też od razu rozwiązania tych zadań. Znajdziemy tu takie ciekawostki, jak „trick z kalendarzem” czy „magiczną liczbę 15 873”. Niektóre zadania polegają na tym, aby coś wykazać – co zajmuje czasami dwie linijki, więc nie wiem do końca co w tym takiego ciekawego.
***
Książka ta, patrząc całościowo, nie przypadła mi do gustu. Znalazłem interesujące rozdziały (19, 22 i 25), ale to zaledwie 3 z 27 rozdziałów.
Zastanawiam się, jakiego czytelnika miał na myśli autor, tworząc tę książkę? Czy w ogóle rozważał to pytanie? Doświadczony miłośnik matematyki prawdopodobnie będzie się nudził podczas lektury większości rozdziałów. Z kolei czytelnik, który sięgnie po książkę zachęcony jej podtytułem, zostanie przytłoczony zapisem obliczeń, a w konsekwencji niewiele z tej „niebanalnej matematyki” zrozumie.
Autorem recenzji jest Mateusz Litka, doktorant Szkoły Doktorskiej Nauk Ścisłych Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w ramach dyscypliny matematyka.