Jakub Szcze­pa­niak
Mate­ma­tycz­ne opo­wie­ści. W zro­zu­mia­ły spo­sób o nie­ba­nal­nej matematyce!
Wydaw­nic­two Nauko­we PWN
War­sza­wa 2023

„Mate­ma­tycz­ne opo­wie­ści” to naj­now­sza książ­ka Jaku­ba Szcze­pa­nia­ka, wykła­dow­cy mate­ma­ty­ki na Poli­tech­ni­ce Łódz­kiej. Muszę przy­znać, że jest to pierw­sza książ­ka tego auto­ra, któ­rą prze­czy­ta­łem. Liczy ona 220 stron i skła­da się z 27 roz­dzia­łów, co spra­wia, że są one dość krótkie.

W książ­ce znaj­dzie­my zapis róż­ne­go rodza­ju obli­czeń, któ­re poka­zu­ją, że „da się” coś obli­czyć oraz jak to zro­bić. Ich dogłęb­ną ana­li­zę Czy­tel­ni­cy mogą jed­nak pomi­jać wedle wła­sne­go uzna­nia. W pew­nym miej­scu (s. 172) sam autor zwra­ca uwa­gę, że: „Dowód jest bar­dzo tech­nicz­ny, więc Czy­tel­ni­ka zain­te­re­so­wa­ne­go czy­sto prak­tycz­nym wyko­rzy­sta­niem ułam­ków egip­skich zachę­ca­my do opusz­cze­nia tego frag­men­tu rozdziału.”
Będę przy­wo­ły­wał wybra­ne zagad­nie­nia w kolej­no­ści ich poja­wie­nia się w książce.

***

Autor we wstę­pie (s. 7) zapowiada:

Książ­ka ta powsta­ła z potrze­by podzie­le­nia się z Czy­tel­ni­ka­mi pew­ny­mi nie­oczy­wi­sty­mi, cie­ka­wy­mi a może nawet – w opi­nii auto­ra – zabaw­ny­mi zasto­so­wa­nia­mi mate­ma­ty­ki. Mate­ma­ty­ki pod­sta­wo­wej, takiej, z któ­rą każ­dy z nas miał do czy­nie­nia w liceum.

Z lek­tu­ry wyni­ka, że autor typo­we­go czy­tel­ni­ka wyobra­ża sobie jako absol­wen­ta kla­sy matematyczno-fizycznej.

W opi­nii auto­ra (s. 10): „W świe­cie mate­ma­ty­ki jest miej­sce dla każ­de­go i każ­dy z nas może, w opar­ciu o wła­sne zało­że­nia i aksjo­ma­ty, wpro­wa­dzać nowe poję­cia i dowo­dzić wnio­sków. Dla przy­jem­no­ści, dla zaba­wy, dla rado­ści wymy­śla­nia”.
Nie jestem fanem wymy­śla­nia cie­ka­wo­stek (licz­bo­wych czy obli­cze­nio­wych) „na siłę”, dla­te­go opo­wieść przed­sta­wio­na w roz­dzia­le 1 nie­zbyt przy­pa­dła mi do gustu – znaj­dzie­my w niej defi­ni­cję „pomyśl­no­ści” liczb (s. 10), któ­ra odwo­łu­je się wprost do wła­sno­ści zapi­su dzie­sięt­ne­go liczb.

Roz­dział 2 – „Logi­ka Para­gra­fu 22 i rosyj­ska rulet­ka Łow­cy jele­ni”– skła­da się z dwóch czę­ści bez wza­jem­ne­go związ­ku. Pierw­sza z nich doty­czy pew­ne­go para­dok­su logicz­ne­go, a dru­ga obli­czeń doty­czą­cych teo­rii prawdopodobieństwa.
Nale­ży tutaj wspo­mnieć, że w tej dru­giej czę­ści autor prze­pro­wa­dza obli­cze­nia przy uży­ciu wzo­ru na sumę sze­re­gu geo­me­trycz­ne­go (i robi to aż sześć razy), ale bez żad­ne­go wyja­śnie­nia „co się wła­ści­wie dzie­je”. W mojej opi­nii jest to sprzecz­ność z pod­ty­tu­łem książ­ki: „W zro­zu­mia­ły spo­sób o nie­ba­nal­nej mate­ma­ty­ce!”. Autor komen­tu­je obli­cze­nia za pomo­cą poje­dyn­czych słów: osta­tecz­nie, wyno­si, zatem. I tak w roz­dzia­le 3 spo­ty­ka­my się z obli­cze­nia­mi, w któ­rych autor książ­ki zasto­so­wał kolej­no praw­do­po­do­bień­stwo warun­ko­we (s. 22), sche­mat Ber­no­ul­le­go i sym­bol New­to­na (s. 22), pomi­ja­jąc ich bez­po­śred­nie omówienie.

Domy­ślam się, że kolej­ne roz­dzia­ły książ­ki nie były przy­go­to­wy­wa­ne w kolej­no­ści w jakiej osta­tecz­nie wystę­pu­ją. W dal­szych roz­dzia­łach poja­wia­ją się bowiem wyja­śnie­nia pojęć i metod obli­cze­nio­wych, któ­re były sto­so­wa­ne już na począt­ku książ­ki, co może świad­czyć o nie­do­pra­co­wa­niu redak­cji. Na przy­kład, sche­mat Ber­no­ul­le­go zosta­je obja­śnio­ny dopie­ro na s. 97, a wzór dwu­mia­no­wy New­to­na oraz sym­bol New­to­na – na s. 110, mimo że były one już wcze­śniej wykorzystywane.
Cie­ka­wost­ką jest fakt, że w roz­dzia­le 16, zaty­tu­ło­wa­nym „Zasa­da włą­czeń i wyłą­czeń”, przy opi­sie zbio­rów (rysu­nek na s. 108) autor odwo­łu­je się nagle do kolo­rów (czer­wo­ny, nie­bie­ski, żół­ty, zie­lo­ny), cho­ciaż ten rysu­nek (tak jak i cała książ­ka) jest czarno-biały. Może pier­wot­nie książ­ka ta mia­ła być wyda­na w kolorze?

W licz­nych frag­men­tach (oraz w zwią­za­nych z nimi obli­cze­niach) autor snu­je opo­wie­ści na temat spo­ży­wa­nia alko­ho­lu, np. w roz­dzia­le 17, zaty­tu­ło­wa­nym „Świą­tecz­na opo­wieść o wza­jem­nych rela­cjach mate­ma­ty­ki i alko­ho­lu z adwen­tem w tle”. Z tego powo­du trud­no pole­cić książ­kę Jaku­ba Szcze­pa­nia­ka mło­dzie­ży szkol­nej zain­te­re­so­wa­nej matematyką…
We wspo­mnia­nym roz­dzia­le 17 znaj­dzie­my nastę­pu­ją­cą „cie­ka­wost­kę”: „Licz­ba 5 to jedy­na zna­na licz­ba, któ­ra jest ele­men­tem dwóch par liczb bliź­nia­czych (3,5) oraz (5,7)”. Trud­no mi uwie­rzyć, że to autor książ­ki (wykła­dow­ca mate­ma­ty­ki) napi­sał sło­wa: „jedy­na zna­na”. To dość oczy­wi­ste, że jedy­ne „tro­jacz­ki” liczb bliź­nia­czych to (3,5,7), gdyż wśród trzech kolej­nych liczb nie­pa­rzy­stych jed­na jest zawsze wie­lo­krot­no­ścią licz­by 3 – dowód tego pro­ste­go fak­tu to pół linijki.

W roz­dzia­le 19, zaty­tu­ło­wa­nym „Ile jesz­cze do świąt?”, docze­ka­łem się cze­goś napraw­dę cie­ka­we­go (choć czy­ta­łem już o tym wcze­śniej, ale bez szcze­gó­ło­wych obli­czeń i wzo­rów). Szko­da, że ten roz­dział ma tyl­ko 3 stro­ny. Autor opi­su­je w nim pew­ne inte­re­su­ją­ce zja­wi­sko, któ­re przed­sta­wia w nastę­pu­ją­cych słowach:

Gdy jeste­śmy mło­dzi, czas ocze­ki­wa­nia na waż­ne wyda­rze­nia bar­dzo się dłu­ży. W mia­rę dora­sta­nia wyda­je się, że on przy­spie­sza. (…) Zasta­no­wi­my się nad zagad­nie­niem zbyt szyb­ko albo zbyt wol­no upły­wa­ją­ce­go cza­su pomię­dzy kolej­ny­mi świętami.

Ta cie­ka­wa obser­wa­cja pole­ga na zauwa­że­niu, że „rok, w któ­rym mamy n lat, sta­no­wi oczy­wi­ście 1/n nasze­go życia”. Ozna­cza to, że subiek­tyw­ny upływ cza­su zmie­nia się wraz z wie­kiem – czas napraw­dę upły­wa nam coraz szyb­ciej! Dla „odważ­nych” ist­nie­je tak­że moż­li­wość obli­cze­nia tego, ile pro­cent subiek­tyw­ne­go cza­su życia nam jesz­cze pozostało.

***

Roz­dział 20 ma naj­dłuż­szy tytuł ze wszyst­kich – „Gorą­ca 13+1, czy­li mate­ma­tycz­na lista prze­bo­jów albo… cie­ka­we, banal­nie brzmią­ce, nie­roz­wią­za­ne pro­ble­my mate­ma­tycz­ne”. A co może­my zna­leźć pośród tych 14 „prze­bo­jów”? Przy­wo­łam tutaj dwa z nich: pro­blem dosko­na­łej cegły Eule­ra i hipo­te­zę Toeplitza.

W Pro­ble­mie dosko­na­łej cegły Eule­ra, szu­ka się odpo­wie­dzi na pyta­nie o ist­nie­nie wśród pro­sto­pa­dło­ścia­nów zwa­nych cegła­mi Eule­ra (dłu­go­ści wszyst­kich kra­wę­dzi i prze­kąt­nych ścian są licz­ba­mi cał­ko­wi­ty­mi) takie­go, w któ­rym głów­na prze­kąt­na była­by licz­bą całkowitą.

Moż­na wyka­zać, że gdy­by taki dosko­na­ły pro­sto­pa­dło­ścian ist­niał, to jego głów­na prze­kąt­na była­by licz­bą nie­pa­rzy­stą. Autor książ­ki przy­wo­łu­je róż­ne pra­ce mate­ma­tycz­ne, by zesta­wić rezul­ta­ty badań nad problemem.

Hipo­te­za (pro­blem) Toeplit­za to przy­pusz­cze­nie, że każ­da zamknię­ta krzy­wa Jor­da­na zawie­ra punk­ty two­rzą­ce kwa­drat, tj. te punk­ty są wierz­choł­ka­mi tego same­go kwa­dra­tu. Dodam, że autor książ­ki nie posłu­gu­je się poję­ciem krzy­wej Jor­da­na (w mate­ma­ty­ce wyż­szej krzy­wą defi­niu­je się jako home­omor­ficz­ny obraz okrę­gu) – pisze poglą­do­wo o „zamknię­tej krzy­wej na płasz­czyź­nie, któ­ra nie prze­ci­na się sama ze sobą”.

***

W roz­dzia­le 22, zaty­tu­ło­wa­nym „Testu­je­my piwa, czy­li para­doks Simp­so­na”, poja­wia się tytu­ło­wy (i czę­sto opi­sy­wa­ny w lite­ra­tu­rze popu­lar­no­nau­ko­wej) para­doks Simp­so­na. Tyl­ko dla­cze­go musi on być przed­sta­wio­ny na przy­kła­dzie testo­wa­nia piwa?! Naj­bar­dziej zna­ną pra­cą tłu­ma­czą­cą ten sta­ty­stycz­ny feno­men jest ta autor­stwa E. H. Simp­so­na z 1951r. – stąd zresz­tą nazwa paradoksu.

Nie­któ­re cie­ka­wost­ki i rozu­mo­wa­nia (a co za tym idzie – obli­cze­nia) są dość moc­no „nacią­ga­ne”. Przy­kła­dem jest roz­dział 23, w któ­rym autor pró­bu­je odpo­wie­dzieć na pyta­nie: „Czy moż­na prze­wi­dzieć we śnie śmierć bli­skiej oso­by?”. Autor for­mu­łu­je licz­ne tezy, ale pew­ność co do ich praw­dzi­wo­ści, pod­kre­śla­na w każ­dym zda­niu, suge­ru­je raczej, że wca­le nie jest on aż taki prze­ko­na­ny co do popraw­no­ści swo­je­go rozumowania.

W roz­dzia­le 25 poja­wia się bar­dzo inte­re­su­ją­cy temat tzw. nie­prze­chod­nich kości do gry.
Pozwo­lę sobie nie­co roz­wi­nąć ten wątek. Otóż (w pod­sta­wo­wej wer­sji) mamy 3 sze­ścien­ne syme­trycz­ne kości do gry, ale na ich ścian­kach mamy licz­by ze zbio­ru {1, …, 18} – roz­miesz­czo­ne w pewien szcze­gól­ny spo­sób. Jeśli porów­na­my te kost­ki para­mi, czy­li zba­da­my to, na któ­rej z nich z więk­szym praw­do­po­do­bień­stwem wypad­nie więk­sza licz­ba oczek, to otrzy­ma­my rela­cję nie­prze­chod­nią. Doj­dzie­my do wnio­sku, że pierw­sza kost­ka jest lep­sza od dru­giej, a dru­ga od trze­ciej, ale to wca­le nie ozna­cza (tak jak w rela­cji, któ­ra jest prze­chod­nia), że „auto­ma­tycz­nie” pierw­sza kost­ka jest lep­sza od trze­ciej – jest bowiem na odwrót.

źró­dło: pngegg.com (dome­na publiczna)

To jed­nak nie koniec nie­spo­dzia­nek doty­czą­cych rela­cji nie­prze­chod­nich! Po chwi­li reflek­sji doj­dzie­my do wnio­sku, że w przy­pad­ku poje­dyn­ku w tej grze – prze­wa­gę ma gracz, któ­ry wybie­ra kost­kę jako dru­gi. Może on bowiem zawsze wybrać sobie „lep­szą” kost­kę od swo­je­go przeciwnika.

Znaj­dzie­my tu rów­nież (rzad­ko spo­ty­ka­ny w lite­ra­tu­rze) zestaw 7 kości do gry w 3 oso­by, któ­re­go auto­rem jest Oskar von Daven­ter. Zatem w tym przy­pad­ku (poje­dyn­ku trzech gra­czy) trze­ci gracz może zawsze wybrać taką kost­kę, któ­ra będzie o tę odro­bi­nę „lep­sza” od dwóch pozo­sta­łych, któ­re zosta­ły wybra­ne przez jego prze­ciw­ni­ków. Co cie­ka­we – „pro­blem poje­dyn­ku czte­rech gra­czy wciąż nie jest roz­wią­za­ny”. Na zakoń­cze­nie war­to przy­po­mnieć że mówi­my tutaj o sytu­acji, w któ­rej gracz wybie­ra­ją­cy kost­kę jako ostat­ni ma naj­więk­sze szan­se na zwy­cię­stwo – jed­nak rze­czy­wi­sty wynik poje­dyn­ku cały czas zale­ży od przypadku.

W roz­dzia­le 26 znaj­du­je się „dwa­na­ście zadań na zakoń­cze­nie”. Jak zapo­wia­da sam autor:
„Nie­któ­re z nich wyma­ga­ją dłu­go­trwa­łe­go ślę­cze­nia nad kart­ką papie­ru w celu obli­cze­nia, wypi­sa­nia róż­nych przy­pad­ków czy kom­bi­na­cji zagad­nie­nia. Inne z kolei, pomi­mo tego, że wyglą­da­ją na skom­pli­ko­wa­ne, moż­na szyb­ko roz­wią­zać, uży­wa­jąc szczyp­ty zdro­we­go roz­sąd­ku i logicz­ne­go myślenia.”
Autor przed­sta­wia też od razu roz­wią­za­nia tych zadań. Znaj­dzie­my tu takie cie­ka­wost­ki, jak „trick z kalen­da­rzem” czy „magicz­ną licz­bę 15 873”. Nie­któ­re zada­nia pole­ga­ją na tym, aby coś wyka­zać – co zaj­mu­je cza­sa­mi dwie linij­ki, więc nie wiem do koń­ca co w tym takie­go ciekawego.

***

Książ­ka ta, patrząc cało­ścio­wo, nie przy­pa­dła mi do gustu. Zna­la­złem inte­re­su­ją­ce roz­dzia­ły (19, 22 i 25), ale to zale­d­wie 3 z 27 rozdziałów.
Zasta­na­wiam się, jakie­go czy­tel­ni­ka miał na myśli autor, two­rząc tę książ­kę? Czy w ogó­le roz­wa­żał to pyta­nie? Doświad­czo­ny miło­śnik mate­ma­ty­ki praw­do­po­dob­nie będzie się nudził pod­czas lek­tu­ry więk­szo­ści roz­dzia­łów. Z kolei czy­tel­nik, któ­ry się­gnie po książ­kę zachę­co­ny jej pod­ty­tu­łem, zosta­nie przy­tło­czo­ny zapi­sem obli­czeń, a w kon­se­kwen­cji nie­wie­le z tej „nie­ba­nal­nej mate­ma­ty­ki” zrozumie.


Auto­rem recen­zji jest Mate­usz Lit­ka, dok­to­rant Szko­ły Dok­tor­skiej Nauk Ści­słych Uni­wer­sy­te­tu im. Ada­ma Mic­kie­wi­cza w ramach dys­cy­pli­ny matematyka.