Matematyka w terenie z MathCityMap

Czy mate­ma­tycz­ne gry miej­skie mają szan­sę stać się ele­men­tem naucza­nia mate­ma­ty­ki w szko­łach – jako for­ma lek­cji terenowej?

Gra miej­ska to for­ma rywa­li­za­cji, w któ­rej prze­strzeń miej­ska sta­je się istot­nym ele­men­tem roz­gryw­ki, peł­niąc rolę plan­szy do gry. Uczest­ni­cy gry roz­wią­zu­ją zada­nia zwią­za­ne z obiek­ta­mi znaj­du­ją­cy­mi się na tra­sie spa­ce­ru, korzy­sta­ją np. z mapy, z apli­ka­cji mobil­nej lub z kar­ty gry zawie­ra­ją­cej tre­ści zadań i wska­zów­ki. Na tra­sie mogą spo­tkać ani­ma­to­rów, któ­rzy udzie­la­ją wska­zó­wek i przy­zna­ją punkty.
Gra miej­ska może peł­nić funk­cję zaba­wy, kon­kur­su, pro­mo­cji regio­nu lub lek­cji terenowej.

„Ścież­ka mate­ma­tycz­na” jest spe­cy­ficz­nym rodza­jem gry miej­skiej, któ­rej uczest­ni­cy roz­wią­zu­ją zada­nia matematyczne.

Mate­ma­tycz­ne gry miej­skie coraz czę­ściej są orga­ni­zo­wa­ne w ramach kon­kur­sów i pro­jek­tów lub przy oka­zji wyda­rzeń popu­la­ry­zu­ją­cych mate­ma­ty­kę (np. szkol­ny Dzień Licz­by Pi, festi­wal mate­ma­ty­ki na wyż­szej uczel­ni). Mate­ma­tycz­na gra miej­ska nie jest jed­nak „nowin­ką” ostat­nich lat. Pierw­sza ścież­ka mate­ma­tycz­na zosta­ła opi­sa­na już w latach 80. XX wie­ku. Były to zaję­cia odby­wa­ją­ce się poza salą lek­cyj­ną, pod­czas któ­rych małe gru­py spa­ce­ro­wa­ły po oko­li­cy i roz­wią­zy­wa­ły zada­nia mate­ma­tycz­ne, któ­rych treść była zwią­za­na z napo­tka­ny­mi obiektami. 

***

Opro­gra­mo­wa­niem, któ­re umoż­li­wia reali­zo­wa­nie idei tere­no­wych ście­żek mate­ma­tycz­nych przy uży­ciu urzą­dzeń mobil­nych jest apli­ka­cja Math­Ci­ty­Map. Pro­jekt tego narzę­dzia został opra­co­wa­ny w 2012 roku przez zespół pod kie­row­nic­twem prof. dr. Mat­thia­sa Ludwi­ga, dydak­ty­ka mate­ma­ty­ki z Uni­wer­sy­te­tu Goethe­go we Frank­fur­cie nad Menem. W kolej­nych latach funk­cjo­nal­ność apli­ka­cji była roz­bu­do­wy­wa­na. Apli­ka­cja Math­Ci­ty­Map (MCM) jest bezpłatna.

Obec­nie Math­Ci­ty­Map jest pro­jek­tem dydak­tycz­nym, w któ­rym uczest­ni­czy kil­ka kra­jów euro­pej­skich, m.in. Sło­wa­cja, Fran­cja, Wło­chy, Hisz­pa­nia, Por­tu­ga­lia. Pro­jekt roz­wi­ja się m.in. dzię­ki wyjaz­dom mło­dzie­ży w ramach wymian mię­dzysz­kol­nych. W rezul­ta­cie szko­ły part­ner­skie, któ­re stwo­rzy­ły wła­sne ścież­ki mate­ma­tycz­ne i udo­stęp­ni­ły je w zaso­bach pro­jek­tu MCM, znaj­du­ją się w wie­lu kra­jach euro­pej­skich, ale tak­że np. w Ame­ry­ce Połu­dnio­wej. Nauczy­cie­le mają dostęp do por­ta­lu (zin­te­gro­wa­ne­go z apli­ka­cją), któ­ry umoż­li­wia im two­rzyć wła­sne zada­nia, a co za tym idzie – mate­ma­tycz­nych gier miejskich.

Apli­ka­cja Math­Ci­ty­Map jest dosko­na­łym przy­kła­dem wyko­rzy­sta­nia nowo­cze­snych tech­no­lo­gii w edu­ka­cji szkol­nej. Uczniom wystar­czy tele­fon, aby mogli wziąć udział w grze miej­skiej. Pod­czas gry uczest­nik odszu­ku­je na tra­sie spa­ce­ru miej­sce wska­za­ne w apli­ka­cji MCM (widocz­ne na mapie), zapo­zna­je się z tre­ścią zada­nia, a następ­nie wyko­nu­je odpo­wied­nie pomia­ry i obli­cze­nia, aby je rozwiązać.

Nauczy­ciel, chcąc prze­pro­wa­dzić lek­cję tere­no­wą, może sko­rzy­stać z goto­wych, ogól­no­do­stęp­nych ście­żek mate­ma­tycz­nych lub samo­dziel­nie stwo­rzyć mate­ma­tycz­ną grę miej­ską (np. w oko­li­cy swo­jej szko­ły) po zało­że­niu kon­ta na por­ta­lu Math­Ci­ty­Map.

Dzię­ki tej for­mie zajęć dydak­tycz­nych w tere­nie nauczy­cie­le mają moż­li­wość uka­za­nia uczniom prak­tycz­nych zasto­so­wań mate­ma­ty­ki w codzien­nym życiu. Apli­ka­cja Math­Ci­ty­Map opar­ta jest na mapach pocho­dzą­cych z zaso­bów Open­Stre­et­Map. Przy­kła­do­wo, nauczy­ciel z kra­ju angiel­sko­ję­zycz­ne­go, po zało­że­niu kon­ta w por­ta­lu MCM, otrzy­mu­je dostęp do tysię­cy zadań, któ­re mogą inspi­ro­wać go pod­czas przy­go­to­wy­wa­nia lek­cji terenowej.

Ście­żek mate­ma­tycz­nych pro­jek­tu MCM umiej­sco­wio­nych na tere­nie Pol­ski obec­nie jest nie­wie­le, jed­nak ich licz­ba z pew­no­ścią znacz­nie się powięk­szy w 2025 roku – przy­czy­ni się do tego udo­stęp­nie­nie wer­sji apli­ka­cji w języ­ku pol­skim, przy­go­to­wa­nej w ramach pro­jek­tu Muzeum Mate­ma­ty­ki. Odwie­dza­jąc miej­sco­wo­ści, w któ­rych zosta­ły udo­stęp­nio­ne ścież­ki mate­ma­tycz­ne, będzie­my mogli pozna­wać je z per­spek­ty­wy uczest­ni­ka mate­ma­tycz­nej gry miejskiej.

Jed­ną z cen­nych cech apli­ka­cji Math­Ci­ty­Map jest prze­ka­zy­wa­nie auto­ma­tycz­nej infor­ma­cji zwrot­nej po wysła­niu odpo­wie­dzi do zada­nia. Uczeń bio­rą­cy udział w mate­ma­tycz­nej grze miej­skiej z apli­ka­cją MCM natych­miast dowia­du­je się, czy dobrze roz­wią­zał zadanie.

W przy­pad­ku poda­nia błęd­nej odpo­wie­dzi uczeń może sko­rzy­stać ze wska­zó­wek i ponow­nie udzie­lić odpo­wie­dzi. Jeśli jed­nak ponow­na odpo­wiedź rów­nież będzie nie­po­praw­na, sys­tem odej­mu­je część wcze­śniej zdo­by­tych punk­tów. W trak­cie gry zada­nia na mapie ozna­czo­ne są pinez­ka­mi w odpo­wied­nich kolo­rach, któ­re infor­mu­ją o tym, czy zada­nie zosta­ło roz­wią­za­ne pra­wi­dło­wo (kolor zie­lo­ny) lub błęd­nie (czer­wo­ny), czy nie zosta­ło jesz­cze prze­czy­ta­ne (kolor nie­bie­ski) lub zosta­ło pomi­nię­te (sza­ry).

Aby uwzględ­nić moż­li­we nie­do­kład­no­ści pomia­rów, twór­ca zada­nia może okre­ślić zakre­sy popraw­no­ści odpo­wie­dzi do zadania.

Nauczy­ciel może na bie­żą­co moni­to­ro­wać postę­py uczniów za pośred­nic­twem swo­je­go kon­ta – bez koniecz­no­ści podą­ża­nia za nimi w każ­de miej­sce. W razie potrze­by uczest­nik gry może wysy­łać pyta­nia (tekst i zdję­cia) za pomo­cą cza­tu. Dzię­ki temu pod­czas lek­cji tere­no­wej z Math­Ci­ty­Map nauczy­ciel pozo­sta­je w sta­łym kon­tak­cie z uczniami.

***

Ideą prze­wod­nią pro­jek­tu Math­Ci­ty­Map jest uka­za­nie tre­ści mate­ma­tycz­nych w pro­ble­mach prak­tycz­nych życia codzien­ne­go zwią­za­nych z obiek­ta­mi, któ­re ucznio­wie mogą spo­tkać w swo­im oto­cze­niu, w ich naj­bliż­szej oko­li­cy. Tego typu zada­nia mogą sta­no­wić dla uczniów zada­nia pro­ble­mo­we, jeśli nie mają goto­wych sche­ma­tów roz­wią­za­nia. Dzię­ki temu zachę­ca­ją uczniów do samo­dziel­ne­go poszu­ki­wa­nia odpo­wie­dzi, roz­wi­ja­jąc ich umie­jęt­no­ści ana­li­tycz­ne oraz mode­lo­wa­nia matematycznego.

Mode­lo­wa­nie mate­ma­tycz­ne to pro­ces obej­mu­ją­cy wie­le aktyw­no­ści mate­ma­tycz­nych^*. Roz­wią­zy­wa­nie mate­ma­tycz­nych pro­ble­mów z życia codzien­ne­go roz­po­czy­na się od ana­li­zy rze­czy­wi­stej sytu­acji, następ­nie two­rzy się model rze­czy­wi­sto­ści, iden­ty­fi­ku­je zależ­no­ści mię­dzy zmien­ny­mi i doko­nu­je ich mate­ma­ty­za­cji. Gdy zosta­nie stwo­rzo­ny model mate­ma­tycz­ny roz­pa­try­wa­nej sytu­acji, nale­ży zna­leźć roz­wią­za­nie za pomo­cą narzę­dzi mate­ma­tycz­nych, a uzy­ska­ny wynik zwe­ry­fi­ko­wać w opar­ciu o jego inter­pre­ta­cję w rze­czy­wi­stej sytu­acji. Jeśli uzy­ska­ny rezul­tat oka­że się nie­za­do­wa­la­ją­cy, pro­ces mode­lo­wa­nia powi­nien zostać powtó­rzo­ny, aby w rezul­ta­cie popra­wić model mate­ma­tycz­ny dane­go problemu.

***

Zada­nie zaty­tu­ło­wa­ne „Ska­ła – gnejs” sta­no­wi przy­kład zada­nia roz­wi­ja­ją­ce­go umie­jęt­ność mode­lo­wa­nia mate­ma­tycz­ne­go. Doty­czy ska­ły znaj­du­ją­cej się na tere­nie kam­pu­su Uni­wer­sy­te­tu im. Ada­ma Mic­kie­wi­cza w Pozna­niu, a jego treść nawią­zu­je do zagad­nień geo­lo­gicz­nych. Roz­wią­za­nie zada­nia wyma­ga stwo­rze­nia mode­lu mate­ma­tycz­ne­go, któ­ry pozwo­li osza­co­wać masę skały.

Gnejs widocz­ny na zdję­ciu nie ma regu­lar­ne­go kształ­tu – nie przy­po­mi­na brył, któ­rych obję­to­ści uczą się obli­czać ucznio­wie. Jed­nak do osza­co­wa­nia masy ska­ły moż­na wyko­rzy­stać wcze­śniej pozna­ne narzę­dzia matematyczne.

Obję­tość ska­ły moż­na osza­co­wać dwojako:
1. Obję­tość ska­ły wyzna­czy­my z nad­mia­rem (V₁), gdy ją potrak­tu­je­my jako pro­sto­pa­dło­ścian o wymia­rach 1,4 m x 0,6 m x 0,7 m (ska­łę zmie­rzo­no w naj­szer­szych miej­scach). Wów­czas V₁ pro­sto­pa­dło­ścia­nu to ok. 0,59 m³.
2. Obję­tość ska­ły wyzna­czy­my z nie­do­mia­rem (V₂), gdy spoj­rzy­my na nią ją jako na walec, któ­re­go wyso­kość to 1,4 m, a obwód pod­sta­wy wyno­si 2,05 m (obwód zmie­rzo­no w miej­scu zetknię­cia boku ska­ły z pod­ło­żem). Zatem obję­tość V₂ wal­ca to ok. 0,47 m³.
Licząc śred­nią z tych dwóch war­to­ści otrzy­ma­my naj­pew­niej bar­dziej dokład­ne przy­bli­że­nie obję­to­ści ska­ły: ok. 0,5 m³.

Wyzna­cza­my wagę ska­ły: 0,5 * 1750 kg = 875 kg.
Następ­nie tę war­tość dzie­li­my przez licz­bę kilo­gra­mów, jaką może prze­nieść doro­sły męż­czy­zna: 875 kg : 70 kg = 12,5. Zatem potrze­ba 13 męż­czyzn, aby usta­wić ska­łę na wska­za­nym miejscu.

Powyż­sze zada­nie wyma­ga od ucznia kre­atyw­no­ści w poszu­ki­wa­niu roz­wią­za­nia problemu.

***

Mode­lo­wa­nie mate­ma­tycz­ne jest narzę­dziem umoż­li­wia­ją­cym poszu­ki­wa­nie wyj­ścia z sytu­acji pro­ble­mo­wych, któ­re moż­na napo­tkać w codzien­no­ści. Przy­kład takie­go zada­nia przed­sta­wia poniż­sza ilustracja.

Apli­ka­cja Math­Ci­ty­Map pozwa­la przy­go­to­wać też zada­nia, w któ­rych wyma­ga­nia wobec ucznia w zakre­sie mode­lo­wa­nia są mniej­sze. Roz­wią­zy­wa­nie ich wyma­ga wów­czas zasto­so­wa­nia pozna­nych wcze­śniej narzę­dzi mate­ma­tycz­nych, przy jed­no­cze­snym odczy­ty­wa­niu czę­ści danych lub ich pozy­ski­wa­niu poprzez pomia­ry wska­za­nych w zada­niu obiek­tów znaj­du­ją­cych się w prze­strze­ni miej­skiej. Tego typu zada­nia mogą roz­wią­zy­wać zarów­no ucznio­wie szkół śred­nich jaki i szkół pod­sta­wo­wych. Przy­kła­dy zapre­zen­to­wa­ne są poni­żej. Dzię­ki swo­jej uni­wer­sal­no­ści apli­ka­cja Math­Ci­ty­Map może być wyko­rzy­sty­wa­na na każ­dym eta­pie edu­ka­cji – od szkół pod­sta­wo­wych aż po studia.

Zada­nia przy­go­to­wa­ne w apli­ka­cji MCM moż­na dodat­ko­wo pobrać w for­mie kar­ty pra­cy w pli­ku PDF, uzy­sku­jąc w ten spo­sób auto­ma­tycz­nie pomo­ce dydak­tycz­ne do omó­wie­nia lek­cji tere­no­wej. Poni­żej znaj­du­je się frag­ment kar­ty pra­cy pocho­dzą­cej ze ścież­ki mate­ma­tycz­nej stwo­rzo­nej w Lubli­nie na potrze­by lek­cji powtó­rze­nio­wej z try­go­no­me­trii. Pod pole­ce­niem widocz­ny jest zakres odpo­wie­dzi uzna­wa­nych za pra­wi­dło­we (kolor zie­lo­ny) oraz bli­skich pra­wi­dło­wej odpo­wie­dzi (kolor żółty).

***

Przy­go­to­wa­ne zada­nia moż­na łączyć two­rząc ścież­ki mate­ma­tycz­ne, któ­re następ­nie moż­na udo­stęp­niać innym za pomo­cą kodu trasy.
Przy­kła­dem jest mate­ma­tycz­na gra miej­ska utwo­rzo­na na tere­nie kam­pu­su Uni­wer­sy­te­tu Marii Curie-Skłodowskiej w Lubli­nie. Umiesz­czo­ne w niej zada­nia sta­no­wią przy­kła­dy zadań z zakre­su mode­lo­wa­nia matematycznego.

dr Anna Pyzara

* Sche­mat zapre­zen­to­wa­ny na rysun­ku jest opar­ty na arty­ku­le: W. Blum, D. Leiß. How do stu­dents’ and teachers deal with model­ling pro­blems? z publi­ka­cji pt. Mathe­ma­ti­cal Model­ling: Edu­ca­tion, Engi­ne­ering and Eco­no­mics (red. C. Haines) z 2017 r.