Do gru­bo­ści muru
nie doda­je się gru­bo­ści nit­ki pajęczej.
von H. Westermann*

Nawet pro­ste­go doda­wa­nia nie nale­ży wyko­ny­wać bezmyślnie.
Przy­kład. Ile to jest 1,183 [m] + 0,0712 [mm]? Wła­ści­wy, popraw­ny wynik to 1,183 [m].

***

Pier­wia­stek z 2, wyra­żo­ny z uży­ciem dzie­wię­ciu cyfr dzie­sięt­nych, to 1,414213562. Na ilu z tych cyfr dzie­sięt­nych poprze­stać w obli­cze­niach aryt­me­tycz­nych, np. przy doda­wa­niu lub mno­że­niu? Czy też może raczej uwa­żać i tę dokład­ność za nie­do­sta­tecz­ną i szu­kać następ­nych cyfr dziesiętnych?

W prak­ty­ce (w zasto­so­wa­niach) licz­by są rezul­ta­tem pomia­rów, zawsze mniej lub bar­dziej nie­do­kład­nych. Czło­wiek nie jest w sta­nie zmie­rzyć zupeł­nie dokład­nie ani dłu­go­ści, ani powierzch­ni, ani obję­to­ści, ani cię­ża­ru, ani czasu.
Gdy mowa na przy­kład o dłu­go­ści poko­ju, wystar­cza nam dokład­ność, nie docho­dzą­ca 1 cen­ty­me­tra. Gdy cho­dzi o śred­ni­cę mone­ty, dokład­ność wymia­rów znacz­nie wzra­sta, nie prze­kra­cza­jąc wszak­że pew­nych, przez pra­wo zakre­ślo­nych granic.

W dru­giej poło­wie XIX w. w ency­klo­pe­dycz­nych tabli­cach z wymia­ra­mi Zie­mi dłu­gość jej śred­ni­cy poda­wa­no jako rów­ną 1719 milom geograficznym.

Mila geo­gra­ficz­na to jed­nost­ka dłu­go­ści odpo­wia­da­ją­ca 4 minu­tom kąto­wym łuku rów­ni­ka Ziemi.

Chcąc wyra­zić tę dłu­gość w metrach – przyj­mu­jąc, że 1 mila odpo­wia­da w przy­bli­że­niu 7407 metrom – trze­ba pomno­żyć 1719 przez 7407 [m]. Postę­pu­jąc mecha­nicz­nie (bez­re­flek­syj­nie) otrzy­ma­my: 12 732 633 [m].
Czy taką licz­bę metrów moż­na uznać za popraw­nie wyzna­czo­ną? Czy ści­słość pomia­rów, z dokład­no­ścią okre­ślo­ną w milach (z dokład­no­ścią, dopusz­cza­ją­cą błąd mniej­szy niż \( \frac{1}{1719}\) śred­ni­cy), sta­je się więk­sza skut­kiem zamia­ny mil na metry i przy­ję­cia pozo­ru ści­sło­ści, prze­szło 7000 razy więk­szej? Czło­wiek, zda­ją­cy sobie spra­wę z trud­no­ści mie­rze­nia śred­ni­cy Zie­mi, uśmiech­nie się na myśl o takiej wydu­ma­nej pre­cy­zji, docho­dzą­cej 1 metra.
Przez samo mno­że­nie ści­słość pomia­ru bynaj­mniej nie wzro­sła, i jeże­li poprzed­nio docho­dzi­ła \( \frac{1}{2000}\), to i teraz nie jest inną. Dla­te­go powin­ni­śmy uznać, że 1719 mil odpo­wia­da 12 730 000 metrom.

Nale­ży zwró­cić uwa­gę na to, że nie miej­sce dzie­sięt­ne (licz­ba cyfr po prze­cin­ku) roz­strzy­ga o dokład­no­ści, ale licz­ba cyfr (w ogó­le); tak np. licz­by: 3745 i 0,03745 są jed­na­ko­wo o dokład­ne i wska­zu­ją, że mie­rzą­cy uwa­żał za moż­li­we jesz­cze w \( \frac{1}{1000}\) zacho­wać dokład­ność, pod­czas gdy w \( \frac{1}{10000}\) już nie. (Oczy­wi­ście cyfry 0 w zapi­sie 0,03745 są cyfra­mi nieznaczącymi.)

Przy wyko­ny­wa­niu obli­czeń na licz­bach trze­ba pamię­tać, że sam rachu­nek nie spro­stu­je pier­wot­ne­go pomia­ru i nie uczy­ni go ści­ślej­szym (bar­dziej dokład­nym). Stąd wyni­ka, że w wyni­ku nie może poja­wić się wię­cej cyfr, niż cyfr w danych (licz­bach, na któ­rych wyko­nu­je się obli­cze­nia). Pre­cy­zyj­niej mówiąc – roz­strzy­ga­ją­cą jest dana (licz­ba), posia­da­ją­ca mniej cyfr w zapi­sie dziesiętnym.
Dla­te­go pod­czas wyra­ża­nia śred­ni­cy Zie­mi w metrach zacho­wa­li­śmy tyle cyfr (zna­czą­cych), ile ich było w infor­ma­cji o śred­ni­cy Zie­mi wyzna­czo­nej w milach.

Oblicz­my jesz­cze sumę: \(3 \cdot 26,473 + 8 \cdot 9,43. \)
Czyn­nik 9,43 skła­da się tyl­ko z trzech cyfr, całe więc zada­nie nale­ży roz­wią­zać w licz­bach trzy­cy­fro­wych. Dla­te­go zamiast \(3 \cdot 26,473\) obli­czy­my \(3 \cdot 26,5;\) otrzy­ma­my 79,5. Z pomno­że­nia 9,43 przez 8 mamy w wyni­ku licz­bę czte­ro­cy­fro­wą 75,44; zgod­nie z powy­żej przy­to­czo­ną zasa­dą weź­mie­my tyl­ko zaokrą­gle­nie do trzech cyfr: 75,4. Z doda­nia 79,5 i 75,4 otrzy­mu­je­my zno­wu czte­ro­cy­fro­wą sumę 154,9; sto­su­jąc się do regu­ły powyż­szej, napi­sze­my: 155.
Tak więc \(3 \cdot 26,473 + 8 \cdot 9,43 \approx 155. \)
(Licz­by 8 i 9, jako czyn­ni­ki, nie mają oczy­wi­ście wpły­wu na licz­bę cyfr wyniku.)

Moż­na pod­jąć pró­bę spraw­dze­nia, czy cyfra jed­no­ści (5) jest cyfrą pewną.
Zauważ­my, że licz­ba 9,43 jest bliż­sza licz­by czte­ro­cy­fro­wej 10,00, niże­li trzy­cy­fro­wej 1,00. Popeł­ni­my więc mniej­szy błąd, pro­wa­dząc rachu­nek, z uży­ciem liczb czte­ro­cy­fro­wych, a nie trzy­cy­fro­wych. Otrzy­ma­my: \( 3 \cdot 26,47 + 8 \cdot 9,43 \approx 79,41 + 75,44 \approx 154,9. \)

Bar­dziej szcze­gó­ło­we obja­śnie­nie: Jasne jest, że pią­ta cyfra (tj. cyfra 5 w 1548,5) powin­na być pomi­nię­ta. Ponie­waż tą cyfrą jest 5, jed­na­ko­wy będzie błąd przy­bli­że­nia, 154,8 (tzw. obcię­cia), czy też 154,9 (tj. zaokrą­gle­nia w górę). Jed­nak pierw­sze podej­ście (pomi­nię­cie 5, bez powięk­sze­nia o 1 licz­by przed nią sto­ją­cej), sto­su­je się w uza­sad­nio­nym przy­pad­ku. W naszym przy­kła­dzie mamy uza­sad­nio­ny powód do powięk­sze­nia – ten, że już w ilo­czy­nie \( 3 \cdot 26,473 \) opu­ści­li­śmy koń­co­we 3.

***

Teraz może­my już roz­strzy­gnąć wąt­pli­wość, do ilu cyfr dzie­sięt­nych nale­ża­ło pro­wa­dzić robo­tę przy wycią­ga­niu pier­wiast­ka kwa­dra­to­we­go z 2.
Rzecz zale­ży od mia­ry, któ­rą 2 ma wyobra­żać, albo ści­ślej – przy któ­rej ma stać jako czyn­nik, i od przy­pusz­czal­nej dokład­no­ści, z jaką tę mia­rę osią­gnię­to. Jeże­li np. 2 jest sumą kwa­dra­tów z boków cala kwa­dra­to­we­go, wyro­bio­ne­go wzo­ro­wo z dokład­no­ścią do \( \frac{1}{1000}\), to jeże­li szu­ka­my prze­kąt­nej tego cala, to i nasza dokład­ność rachun­ku nie może być więk­szą, niż licz­ba czte­ro­cy­fro­wa. Przyj­mie­my wte­dy, że \( \sqrt{2} \approx 1,414. \)

Arty­kuł jest współ­cze­snym opra­co­wa­niem tek­stu pt. Kil­ka słów o gra­ni­cach dokład­no­ści w obli­cze­niach aryt­me­tycz­nych, któ­ry uka­zał się w „Prze­glą­dzie peda­go­gicz­nym” w 1898 r. (nr 13, s. 1–3) i był pod­pi­sa­ny ini­cja­ła­mi Z. K.

* Nauczy­ciel, autor pod­ręcz­ni­ka Die ana­ly­ti­sche Geo­me­trie auf der Schu­le : und das Rech­nen mit Hil­fe der Loga­ri­th­men wyda­ne­go w 1888 r. w Rydze.