Matematycy nie badają przedmiotów, lecz zależności między nimi.
H. Poincaré
Jednym z najważniejszych, podstawowych pojęć matematycznych jest pojęcie odpowiedniości. Przenika ono wszystkie dziedziny myśli matematycznej; jest podstawą, na której budujemy inne, zasadnicze pojęcia; jest źródłem wszystkich najwspanialszych pomysłów.
Słowa powyższe [Poincaré’go] wymownie określają rolę, jaka przypada pojęciu odpowiedniości w matematyce stosowanej. Chcąc zbadać zależności między elementami danego zbioru, ustalamy najczęściej odpowiedniość między niemi a liczbami i ze związków między liczbami wnioskujemy o zależnościach między elementami badanego zbioru. Nie będę tutaj mnożył przykładów: wiadomo wszystkim, jak wyraża się liczbą czas, temperatura, masa, siła i t.d. Śmiało rzec można, że całe praktyczne znaczenie matematyki zawdzięczamy stosowaniu pojęcia odpowiedniości; w wykładzie dzisiejszym pragnąłbym jednak zatrzymać się dłużej tylko na teoretycznej stronie tego pojęcia: na jego roli w matematyce i ważności dla samej matematyki.
Uważajmy dwa zbiory przedmiotów: zbiór Z o elementach a, b, c…, oraz zbiór Z o elementach α, Β, γ… Jeżeli zatrzymanie naszej uwagi na elemencie n zbioru Z łączymy zawsze z myślą o elemencie ν zbioru Z, to mówimy, że elementowi n zbioru Z odpowiada element ν zbioru Z, albo że element ν jest obrazem, odwzorowaniem elementu n. Jeżeli każdemu elementowi zbioru Z odpowiada oznaczony element zbioru Z, to powiadamy, żeśmy elementy zbioru Z podporządkowali elementom zbioru Z, albo ustalili odpowiedniość między elementami tych zbiorów.
Oznaczmy symbolem φ( ) proces myślowy, polegający na tym, że po zatrzymaniu naszej uwagi na elemencie zbioru Z, w myśli naszej powstaje obraz odpowiedniego elementu zbioru Z: będziemy pisali:
φ(a)=α, φ(b)=Β, …, φ(n)=ν.
Mamy tu najogólniejsze pojęcie funkcji jednowartościowej jednej zmiennej.
Może się zdarzyć w szczególności, że różnym elementom zbioru Z odpowiadają zawsze różne obrazy, oraz że każdy element zbioru Z może być uważany jako obraz pewnego elementu zbioru Z. Tego rodzaju odpowiedniość między elementami dwóch zbiorów nazywamy doskonałą. Odpowiedniość taka będzie wzajemną.
W samej rzeczy, uważajmy jakikolwiek element ν zbioru Z. Istnieje w zbiorze Z element s, którego obrazem jest ν i taki element jest tylko jeden: możemy więc powiedzieć, że w tym razie każdemu elementowi zbioru Z odpowiada jeden oznaczony element zbioru Z i odwrotnie — każdy element zbioru Z odpowiada zawsze i przy tym jednemu tylko elementowi zbioru Z. Odpowiedniość taką nazywamy z tego względu niekiedy jednoznaczno-jednoznaczną.
Jeżeli między elementami dwóch zbiorów Z i Z, można ustalić odpowiedniość doskonałą, to mówimy, że są równej mocy. Jest to zasadnicze pojęcie teorii mnogości. Ogół wszystkich zbiorów jednej i tej samej mocy będziemy oznaczali jednym symbolem: symbole takie nazywamy liczbami kardynalnemi. Każdemu zbiorowi Z odpowiada zatym pewna liczba kardynalna K: dwa zbiory są równej, lub nierównej mocy, zależnie od tego, czy mają jedną i tę samą, czy też różne liczby kardynalne.
Poprzestanę tutaj na dwuch łatwych przykładach:
Palce jednej ręki i palce drugiej ręki stanowią dwa zbiory równej mocy. Odpowiednią liczbę kardynalną oznaczamy symbolem 5 (pięć).
Drugi przykład wezmę z gieometrji: zbiór wszystkich punktów jednego odcinka, np. OA i zbiór punktów innego odcinka, np. OB są równej mocy. Odpowiedniość doskonałą między elementami tych zbiorów można ustalić np. w następujący sposób.
Na przedłużeniu BA obierzmy dowolny punkt S: dwa punkty n i ν odcinków OA i OB będziemy uważali za odpowiadające sobie, jeżeli leżą na jednej prostej z punktem S. Chwila zastanowienia starczy na stwierdzenie, że ustalona odpowiedniość będzie doskonałą. (Odpowiednią liczbę kardynalną oznaczamy symbolem C i nazywamy continuum).
Możnaby nawet przypuścić, że jeden z danych odcinków, np. dolny, jest nieograniczony: dla ustalenia odpowiedniości doskonałej A należałoby wówczas punkt S obrać na równoległej do tego nieskończonego odcinka, przechodzącej przez punkt A.
Jedynie ten ostatni punkt odcinka OA stanowiłby wyjątek, nie mając swego obrazu na dolnym odcinku, każdy natomiast punkt tego ostatniego miałby swój obraz na odcinku OA. Ciekawy stąd otrzymujemy wniosek, iż można odwzorować odcinek nieskończonej długości na odcinku skończonym.
Jeżeli wszystkie elementy zbioru Z są jednocześnie elementami zbioru Z, ale nie odwrotnie, to mówimy, że zbiór Z jest częścią zbioru Z.
Np. jeżeli punkt A leży na odcinku OB między O i B, to zbiór punktów odcinka OA będzie częścią zbioru punktów odcinka OB.
Jeżeli dla danego zbioru Z istnieje część równej mocy z samym zbiorem Z, wówczas zbiór ten nazywamy nieskończonym; w przeciwnym razie — skończonym. Np. zbiór palców jednej ręki będzie zbiorem skończonym, zbiór punktów jakiegoś odcinka — zbiorem nieskończonym. Jednocześnie otrzymujemy podział wszystkich liczb kardynalnych na skończone i nieskończone. Wszystkie skończone liczby kardynalne nazywamy naturalnemi. Dochodzimy więc w ten sposób do definicji liczb całkowitych. Jest to punkt widzenia, na którym staje Dedekind, chcąc wykazać, że pojęcie liczby jest wolnym wytworem ludzkiego umysłu, niezależnym od pojęcia przestrzeni i czasu (Was sind und was sollen die Zahlen. Braunschweig, 1888.).
Dla zbiorów skończonych pojęcie równej mocy jest identyczne z pojęciem jednakowej liczności, okoliczność ta nie zachodzi jednak dla zbiorów nieskończonych. Leży to już w samej definicji zbioru nieskończonego, dla którego istnieje część równej mocy z całością, gdy tymczasem część zbioru uważamy jako mniej liczną od zbioru całego.
Jako przykład, uważajmy zbiór wszystkich liczb naturalnych oraz zbiór wszystkich liczb parzystych. Skłonni jesteśmy powiedzieć, że pierwszy jest dwa razy liczniejszy od drugiego. Zbiory te są jednak równej mocy: odpowiedniość doskonałą między ich elementami można ustalić np. podporządkowując każdej liczbie naturalnej dwa razy większą parzystą i odwrotnie, każdej liczbie parzystej — dwa razy mniejszą od niej liczbę naturalną.
Bardziej jeszcze rażący przykład przedstawia zbiór wszystkich liczb wymiernych, który jest równej mocy ze zbiorem liczb naturalnych. Skłonni jesteśmy uważać pierwszy, jako nieskończenie liczniejszy od drugiego, gdyż pomiędzy każdemi dwiema kolejnemi liczbami naturalnemi mamy nieskończenie wiele liczb wymiernych. Możemy jednak z łatwością ponumerować wszystkie liczby wymierne (uwzględnimy tu dla prostoty tylko liczby dodatnie), oznaczając numerem 1 ułamek 1/1 którego licznik + mianownik wynosi 2; numerami 2 i 3 kolejno ułamki 1/2 i 2/1, dla których licznik + mianownik daje 3; numerami 4, 5 i 6 kolejno trzy ułamki 1/3, 2/2 i 3/1, których licznik + mianownik = 4, numerami 7, 8, 9 i 10 ułamki 1/4, 2/3, 3/2 i 4/1 i t. d.
Każdy ułamek L/M otrzyma w ten sposób swój numer N i możnaby nawet z łatwością wyprowadzić wzór
\[ N = \frac{(L + M \hspace{2 mm} – \hspace{2 mm} 1) \cdot (L + M)}{2} \hspace{2 mm} – \hspace{2 mm} M + 1 \]
dla szybkiego obliczenia N przy danych L i M.
Widzimy zatym, że z teoretycznego przynajmniej punktu widzenia, matematyka mogłaby się obyć bez liczb ułamkowych, zastępując te ostatnie przez odpowiednie ich numery. Zbiory równej mocy ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych, nazywamy przeliczalnemi: wszystkie elementy takich zbiorów mogą więc być ponumerowane w ten sposób, iż każdy element będzie nosił swój oznaczony numer i każdemu numerowi odpowiadać będzie oznaczony element zbioru.
Twierdzę, że wszystkie nasze myśli i pojęcia, które mogą być wyrażone słowami, stanowią mnogość przeliczalną; dla dowodu wystarczy sobie uprzytomnić zasadę depesz cyfrowanych.
Wspomnę wreszcie jeszcze o jednym, nie mniej ciekawym paradoksie teorji mnogości; można wykazać, jak to uczynił Cantor (Zob. mój artykuł: „O pewnym twierdzeniu Cantora”. Wiad. Mat. 1908.), że zbiór wszystkich punktów płaszczyzny jest równej mocy ze zbiorem punktów skończonego odcinka prostej, że zatym, wyrażając się podług umówionego wyżej sposobu, można odwzorować całą nieskończoną płaszczyznę na skończonym odcinku.
Nie mniej ważną rolę odgrywa pojęcie odpowiedniości w definicji działania. Najogólniejsze określenie tego pojęcia jest następujące: dwom jakimkolwiek elementom a i b zbioru Z podporządkowujemy oznaczony trzeci c. Piszemy c= (a, b) i mówimy, że c jest wynikiem działania, dokonanego na elementach a i b. Wynik działania może zależeć lub nie zależeć od porządku elementów, t. j. (a, b) oraz (b, a) mogą być różne lub jednakowe.
Chcąc określić działanie dla pewnego zbioru, powinniśmy oznaczyć wyniki działania dla każdej pary elementów zbioru. Mamy tu zarazem określenie funkcji jednowartościowej dwuch zmiennych. Przypuśćmy, że mamy dwa zbiory równej mocy Z i Z między elementami, których ustaliliśmy odpowiedniość doskonałą. Dajmy na to, że dla każdego z tych zbiorów określiliśmy pewne działanie i że działanie to, wykonane na odpowiednich elementach, daje zawsze odpowiednie wyniki, t. j., że jakiekolwiek elementy m i n zbioru Z wzięlibyśmy, zawsze elementowi (m, n) tego zbioru odpowiada element (μ, ν) zbioru Z. Działanie takie oznaczamy zwykle dla obu zbiorów jedną i tą samą nazwą. Mamy w tym przypadku odwzorowanie nietylko zbioru, ale i działania na jego elementach.
Damy tu przykład.
Można z łatwością ustalić odpowiedniość doskonałą między zbiorem liczb (bezwzględnych) i zbiorem odcinków różnej długości, jeżeli tę ostatnią wyrażać będziemy liczbą, przyjmując długość pewnego umówionego odcinka za jedność. Uważajmy dwa odcinki a i b, których miarami są liczby α i Β. Sumą odcinków a i b nazywamy odcinek c, który może być podzielony na dwie części, odpowiednio równe odcinkom a i b. Miarą odcinka będzie liczba γ, suma liczb α i Β.
Dodawaniu liczb odpowiada zatym dodawanie odcinków. Możemy tu też powiedzieć, żeśmy zilustrowali dodawanie gieometrycznie, żeśmy dali temu działaniu graficzną interpretację. Gdybyśmy uprzednio nie określili dodawania liczb, moglibyśmy powyższą odpowiedniość przyjąć za punkt wyjścia dla definicji sumy: sumą dwuch liczb α i Β nazwalibyśmy liczbę γ, będącą miarą odcinka c = a + b. W ten właśnie sposób prof. Zaremba w swym kursie uniwersyteckim wprowadza definicje działań arytmetycznych na liczbach ułamkowych, a następnie niewymiernych.
Odpowiedniość między arytmetyką a gieometrją sięga znacznie dalej, czego dobitny wyraz znajdujemy w stworzonej przez Descartesa gieometrji analitycznej. Zatrzymamy się dłużej na gieometrji analitycznej w płaszczyźnie. Ustalamy tu przede wszystkim odpowiedniość doskonałą między punktami M płaszczyzny a symbolami (x, y), złożonemi z dwuch liczb x i y — spółrzędnych punktu M.
W tym celu poprowadźmy dwie prostopadłe względem siebie proste OX i OY. Uważajmy ćwiartkę XOY płaszczyzny. Każdemu punktowi M tej ćwiartki odpowiadają oznaczone liczby x, y — miary odległości uważanego punktu od osi OY i OX i odwrotnie, każdy układ (x, y) wyznacza położenie pewnego punktu uważanej ćwiartki.
Przez wprowadzenie liczb i kierunków ujemnych możnaby odpowiedniość tę uzupełnić dla całej płaszczyzny, ale myśl zasadnicza pozostanie bez zmiany.
Figura gieometryczna jest to zbiór punktów, spełniających pewnie warunki — jej odpowiednik analityczny będzie zbiorem symboli (x, y), dla których liczby x, y spełniać będą pewne warunki. Te ostatnie wyrażają się w postaci równań lub nierówności dla x i y. Otóż w gieometrji analitycznej zastępuje się figury gieometryczne przez równania i z własności analitycznych równań wyprowadza się własności geometryczne figur, przez te równania przedstawionych.
Dla gieometrji analitycznej w przestrzeni należałoby ustalić odpowiedniość doskonałą między punktami przestrzeni a symbolami złożonemi (x, y, z), oznaczając przez x, y i z odległości uważanego punktu od trzech prostopadłych względem siebie płaszczyzn.
Symbol (x, y, z, t), złożony z czterech liczb, nie będzie już miał swego odpowiednika gieometrycznego; możemy mu jednak przez analogję podporządkować punkt przestrzeni czterowymiarowej, wymagający czterech spółrzędnych. Na tle tej analogji możnaby rozwinąć całą gieometrję czwartego, a nawet n-go wymiaru.
Powróćmy do punktów M (x, y) płaszczyzny. Symbol (x, y), przy pewnej definicji na nim działań arytmetycznych, o której będzie mowa później, nazywamy liczbą złożoną, albo zespoloną i oznaczamy zwykle przez x + i y. Widzimy zatym, że liczby zespolone mogą być odwzorowane zapomocą punktów płaszczyzny.
Można dać jeszcze inne odwzorowanie gieometryczne liczbom zespolonym, wprowadzając pojęcie wektora.
Połączmy punkt O (początek spółrzędnych) z punktem M i uważajmy odcinek OM, skierowany od O ku M. Odcinek taki wyznacza pewną długość i pewien kierunek; nazywamy go wektorem. Dwa wektory, np. u i v uważamy za równoważne, jeżeli są jednakowej długości, równoległe i jednakowo skierowane. Możemy zatym przenosić wektor z miejsca na miejsce, bylebyśmy zachowali jego długość i kierunek; możemy więc początek wektora umieszczać w dowolnym punkcie płaszczyzny.
Jeżeli umieścimy go w początku spółrzędnych O, wówczas koniec wektora wyznaczy pewien punkt M płaszczyzny, a więc pewną liczbę zespoloną. lstnieje zatym odpowiedniość doskonała między wektorami a liczbami zespolonemi.
Przypuśćmy teraz, że mamy dwa wektory: u i v. Umieśćmy początek pierwszego w dowolnym punkcie płaszczyzny (np w początku spółrzędnych), a początek drugiego w końcu pierwszego.
Wektor, którego początek zlewa się z początkiem wektora u, a koniec — z końcem wektora v, nazywamy sumą gieometryczną wektorów u i v i oznaczamy przez u + v. (Znany jest odpowiednik tego działania w mechanice i fizyce; wspomnę tu tylko o równoległoboku sił). Mamy tu zarazem definicję sumy liczb zespolonych, którą możnaby wyrazić analitycznie wzorem (x, y) + (a, b) = (x + a, y + b).
Jeden z wektorów przyjmijmy za jednostkę, np. ten, który odpowiada liczbie (1,0). Będzie to wektor OA, którego koniec A leży na osi OX w odległości 1 od początku spółrzędnych.
W podręcznikach szkolnych spotykamy zwykle taką definicję mnożenia: Iloczyn tworzymy w ten sposób z mnożnej, w jaki mnożnik został utworzony z jedności. Nie wdając się na tym miejscu w bliższy rozbiór i krytykę tego, wiele do życzenia pozostawiającego określenia, weźmiemy je, jako punkt wyjścia dla definicji iloczynu dwuch wektorów.
Początki wektorów u i v umieśćmy w punkcie O. Wektor OP = u otrzymaliśmy z jedności, t.j. wektora OA, przez odpowiednie zwiększenie (w stosunku OP:OA) i obrót o kąt AOP w kierunku przeciwnym strzałce zegara. W ten sam sposób utwórzmy iloczyn OM z wektora OQ = v, a więc zwiększając ten ostatni w stosunku OP:OA i obracając go w umówionym kierunku o kąt równy kątowi AOP.
Przy takiej definicji dodawania i mnożenia istnieć będzie wektor i, którego kwadrat, t. j. iloczyn i.i dodany do jedności, znika, t. j. daje wektor, którego koniec zlewa się z początkiem. Będzie nim, jak to łatwo sprawdzamy, wektor OB, odpowiadający liczbie zespolonej (0,1), a więc wektor, którego koniec B leży na osi OY w odległości 1 od O. W samej rzeczy, utwórzmy iloczyn OB.OB. W tym celu należy tak utworzyć nowy wektor OC z wektora OB, jak ten ostatni utworzony został z wektora-jedności, a więc przez prosty obrót o 90º w kierunku przeciwnym strzałce zegara.
Punkt C leży zatym na przedłużeniu XO w odległości 1 od O. Do wektora OC dodajmy wektor 1; początek tego wektora należy umieścić w punkcie C — koniec wypadnie w O. Sumą OC + 1 będzie więc wektor OO, niemający żadnej długości. Możemy więc napisać: i2 — 1 = 0. Liczbę i odpowiadającą wektorowi OB, nazywamy zwykle jednością urojoną; widzimy tutaj, że właściwie nic w niej urojoneqo niema; jest to symbol nie mniej rzeczywisty od innych, a jej odpowiednik gieometryczny jest równie dobrze realny, jak np. graficzne odwzorowanie liczb naturalnych. Nazwy podobne, jak liczby urojone, albo (w niektórych językach), liczby irracjonalne, są tylko dowodem, jak mgliste o nich miano w swoim czasie pojęcie.
***
Chciałbym jeszcze powiedzieć kilka słów o odpowiedniości w samej gieometrji. Wspomnę tu tylko o kartografji, gieometrji rzutowej i wykreślnej. W kartografji mamy do czynienia z odwzorowaniem kuli na płaszczyźnie.
Każdej figurze gieometrycznej na kuli odpowiada pewna figura na płaszczyźnie i odwrotnie. Dwa najważniejsze typy tej odpowiedniości, to odwzorowania równokątne i równopowierzchniowe. Przy pierwszych dwie jakiekolwiek linje na kuli przecinają się pod takim samym kątem, pod jakim się spotykają odpowiednie linje na płaszczyźnie; przy drugich —powierzchnia, ograniczona przez jakąkolwiek krzywą, zamkniętą na kuli, jest równoważną powierzchni, ograniczonej przez odpowiednią krzywą na płaszczyźnie. Prócz tych dwuch głównych typów mamy jeszcze całą grupę odwzorowań pośrednich, W języku polskim podstawy matematyczne kartografji są pięknie wyłożone w dziełku d‑ra A. Łomnickiego (wydanym przed trzema laty [w 1905] w Tarnowie).
W gieometrji rzutowej mamy do czynienia z daleko ogólniejszemi przypadkami odpowiedniości, np. zbioru punktów i zbioru prostych. Np. dla pęku prostych, mających wspólny wierzchołek S i punktów prostej l, nie należącej do pęku, można ustalić odpowiedniość doskonałą, uważając za odpowiednie prostą pęku S i punkt, w którym ta prosta spotyka prostą l.
Uważajmy jakąkolwiek krzywą: każdemu punktowi tej krzywej odpowiada oznaczona styczna i odwrotnie. Każdemu wielobokowi wpisanemu odpowiada pewien opisany, mający te same punkty wspólne z krzywą i odwrotnie.
Ta odpowiedniość punktów i prostych znajduje wspaniały wyraz w t. zw. zasadzie dwoistości, polegającej na tym, że wszystkie twierdzenia gieometrji rzutowej dadzą się połączyć w pary po dwa, przechodzące jedno w drugie przez zamianę wyrazów punkt i prosta dla gieometrji płaszczyzny, lub zamianę wyrazów punkt i płaszczyzna — dla gieometrji w przestrzeni, przy uwzględnieniu, naturalnie, odpowiednich zmian w całej stylizacji twierdzenia.
Podamy tu kilka przykładów takich odpowiednich twierdzeń:
| Przez dwa punkty można przeprowadzić jedną tylko prostą. |
| Dwie proste (na płaszczyźnie) przecinają się w jednym tylko punkcie. |
| Przez trzy punkty w przestrzeni, nie leżące na jednej prostej, można przeprowadzić jedną tylko płaszczyznę. |
| Trzy płaszczyzny, nie przechodzące przez jedną i tę samą prostą, przecinają się w jednym tylko punkcie. |
| Twierdzenie Desargnesa: Jeżeli dwa trójkąty ABC i A’B’C’ tak są położone, iż proste, łączące odpowiednie wierzchołki przecinają się w jednym punkcie, to punkty przecięcia się odpowiednich boków leżą na jednej prostej. |
| Jeżeli dwa trójkąty ABC i A„B„C” tak są położone, że odpowiednie boki spotykają się na jednej prostej, to proste, przechodzące przez odpowiednie wierzchołki, spotykają się w jednym punkcie. |
Inny, niemniej ciekawy przypadek dwoistości twierdzeń przedstawiają twierdzenia Pascala i Brianchona:
| Jeżeli w stożkową wpiszemy sześciobok, to przeciwległe boki spotykają się na jednej prostej. |
| Jeżeli na stożkowej opiszemy sześciobok, to proste, łączące przeciwległe wierzchołki spotykają się w jednym punkcie. |
Mówiąc o roli pojęcia odpowiedniości w gieometrji, nie mogę nie wspomnieć choć w kilku słowach o zasadach gieometrji wykreślnej, której celem jest przedstawienie figur przestrzennych zapomocą rysunku płaskiego, a mianowicie dwuch rzutów na dwie prostopadłe względem siebie płaszczyzny. Ustalamy tu odpowiedniość doskonałą między punktami przestrzeni oraz pewnemi parami punktów płaszczyzny.
***
Przejdźmy teraz do roli pojęcia odpowiedniości w Analizie wyższej. Rachunek nieskończonościowy opiera się na pojęciu ciągu nieskończonego. Wyznaczyć ciąg nieskończony jakichś elementów, jest to określić dane, na podstawie których każdej liczbie naturalnej n odpowiada oznaczony element un.
W ścisłym związku z pojęciem ciągu nieskończonego są niemniej ważne w analizie pojęcia: nieskończonego szeregu, iloczynu i ułamka łańcuchowego.
Uważajmy jakikolwiek nieskończony ciąg liczb: u1, u2, u3, …
Ciągowi temu odpowiadają ciągi:
s1= u1, s2 = u1 + u2, s3 = u1 + u2 + u3, …
p1 = u1, p2 = u1.u2, p3 = u1.u2.u3, …
\( k_1 = \frac{1}{u_1}, k_2 =\frac{1}{u_1 + \frac{1}{u_2}}, k_3 =\frac{1}{u_1+ \frac{1}{u_2 + \frac{1}{u_3}}}, {…} \)
Pierwszy z nich nazywamy ciągiem sum cząstkowych szeregu nieskończonego
s = u1 + u2 + u3 + …
Drugi — ciągiem iloczynów cząstkowych nieskończonego iloczynu
p = u1.u2.u3…
Trzeci — ciągiem kolejnych reduktów nieskończonego ułamka ciągłego
\( k = \frac{1}{u_1+ \frac{1}{u_2 + \frac{1}{u_3 + …}}} \)
Badanie nieskończonego szeregu, iloczynu, lub ułamka ciągłe go jest badaniem odpowiedniego ciągu cząstkowych sum, iloczynów, lub kolejnych reduktów. Ale i odwrotnie: każdy ciąg nieskończony można z łatwością przekształcić na szereg, iloczyn, lub ułamek łańcuchowy; należałoby tylko wyznaczyć odpowiednie składniki, czynniki, czy też mianowniki. Nieskończone ciągi, szeregi, iloczyny i ułamki łańcuchowe są to więc cztery rodzaje tworów logicznych, tak ze sobą powiązanych, że z każdego twierdzenia, stosującego się do tworów jednego z tych rodzajów, wypływa natychmiast pewne odpowiednie twierdzenie, stosujące się do tworów innego rodzaju; cztery w taki sposób, jedno z drugiego wypływające twierdzenia mogą być uważane za cztery różne kształty, w których wystawiamy jeden i ten sam fakt (Por. S. Zaremba: „Teorja ciągów i szeregów nieskończonych.” Kraków, 1906, str. 52.).
Jednoczesne badanie wszystkich tych czterech równoważnych narzędzi analitycznych jest usprawiedliwione przez to, że pewne twierdzenia dadzą się wyrazić lub udowodnić łatwiej, jako twierdzenia o ciągach, inne — jako twierdzenia o szeregach, inne wreszcie — jako własności nieskończonych iloczynów, lub ułamków ciągłych.
***
Wspominaliśmy już mimochodem o pojęciu funkcji; zajmiemy się obecnie nieco bliżej tym podstawowym pojęciem analizy i wykażemy, jaką rolę w definicji jego odgrywa pojęcie odpowiedniości.
Weźmy jakikolwiek oznaczony zbiór (X) liczb różnych od siebie i uważajmy je jako wartości, które możemy przypisywać literze x, określając ją, jako zmienną. Przypuśćmy, że każdej wartości na x, t. j. każdemu elementowi zbioru (X) odpowiada liczba, którą uważać będziemy jako wartość, nadaną literze y; powiemy, że y jest funkcją x, określoną dla obszaru (X); funkcja będzie określona dla danego obszaru, jeżeli ta odpowiedniość będzie ustalona. Piszemy: y = f (X).
Pojęcie funkcji takie, jakeśmy je zdefinjowali wyżej, jest bardzo ogólne; w gruncie daje się ono sprowadzić do odpowiedniości między dwoma zbiorami. Można je atoli jeszcze bardziej uogólnić, i to w różnych kierunkach. Zbiór (X) mianowicie możemy zastąpić przez inne zbiory. Np. zamiast tego zbioru można za punkt wyjścia przyjąć zbiór, którego elementami są układy liczb i każdemu takiemu układowi podporządkować pewną liczbę: dojdziemy w ten sposób do pojęcia funkcji wielu zmiennych.
Nie mogę wreszcie pominąć gieometrycznego odwzorowania funkcji. Ograniczę się na przedstawieniu graficznym funkcji jednej zmiennej. Każdej wartości zmiennej x, należącej do zbioru (X), w którym określoną jest funkcja y = f (x), podporządkujmy punkt M płaszczyzny o spółrzędnych x, y. W ten sposób ogółowi wartości x, tworzących obszar (X), odpowiada pewien zbiór punktów płaszczyzny, w ogóle — pewna krzywa.
Przebiegliśmy ważniejsze pojęcia matematyczne i wykazaliśmy, jaką rolę odgrywa w nich pojęcie odpowiedniości. Na zakończenie zaznaczę tylko, iż fakt, że nauka, tak oderwana, jaką jest matematyka, znajduje tyle zastosowań realnych, wytłumaczyć się daje istnieniem doskonałej odpowiedniości między dziedziną abstrakcji a dziedziną realnej rzeczywistości.
Dr. W. Sierpiński.
Wykład habilitacyjny Dr. Wacława Sierpińskiego wygłoszony przed plenum Wydziału Filozoficznego Uniwersytetu Lwowskiego w dniu 6 lipca 1908 r.
Źródło tekstu: Przegląd Filozoficzny (1909) z. 1, s. 8–19
