Część IV. Róż­ne symetrie
Syme­tria lustrza­na, syme­tria prze­su­nię­cio­wa, syme­tria obrotowa.
To rodza­je syme­trii z nie­co inne­go zesta­wu niż ten, któ­ry poka­zu­je się w szkole.
Zazna­czam, że zamie­rzam się tutaj poru­szać poza języ­kiem stric­te mate­ma­tycz­nym. Bo nie od razu Kra­ków zbudowano.


Grec­kie συμμετρία (sym­me­tria), od któ­re­go pocho­dzi nazwa poję­cia, powta­rza­ją­ce się w bar­dzo wie­lu języ­kach, po pol­sku nie zacho­wa­ło podwój­ne­go m.
Jeśli ma się doświad­cze­nie z wyra­za­mi pocho­dze­nia grec­kie­go, łatwo to roz­ło­żyć na: sym- i -metria.
Współ-mierność. Har­mo­nia pro­por­cji. A może w ogó­le harmonia?
Har­mo­nia i rów­no­wa­ga. Syme­trie rzeźb i obra­zów. Syme­trie budow­li, par­ków i zało­żeń urbanistycznych.
Pła­sko­rzeź­by i malo­wi­dła ze sta­ro­żyt­ne­go Egip­tu, Babi­lo­nii, Gre­cji były syme­trycz­ne. Przez wie­ki sztu­ka sakral­na była wier­na takiej har­mo­nii. Nie zamie­rzam odwo­ły­wać się do sym­bo­li­ki, choć i ona mia­ła tu zna­cze­nie dla koniecz­no­ści zacho­wa­nia rów­no­wa­gi. Oczy­wi­ście z róż­nych powo­dów, przede wszyst­kim kom­po­zy­cyj­nych, ale i sym­bo­licz­nych, poja­wia­ją się ele­men­ty asy­me­trycz­ne. Te jed­nak – decy­du­jąc przy oka­zji o pięk­nie – wręcz pod­kre­śla­ją panu­ją­cą symetrię…

Dziś o trzech rodza­jach symetrii.

1. Pierw­szą odmia­ną, z jaką się spo­ty­ka­my w życiu, w naszym trój­wy­mia­ro­wym świe­cie, jest syme­tria dwu­bocz­na. To syme­tria cha­rak­te­ry­stycz­na dla zewnętrz­nych kształ­tów orga­ni­zmów od owa­dów po naczel­ne, stwo­rzeń, któ­re od małe­go widzi­my wokół sie­bie. W naszych kształ­tach. Pod­kre­śla to jesz­cze parzy­stość (oczu, uszu, nóg…). A więc syme­tria zwier­cia­dla­na.

Peł­no jej w two­rach ludz­kich. Czę­sto ewen­tu­al­na nie­do­sko­na­łość intry­gu­je – dla­cze­go wie­że Kościo­ła Mariac­kie­go w Kra­ko­wie są róż­ne, pod­czas gdy kate­dra Notre Dame w Pary­żu ma jednakowe?

2. Dru­ga odmia­na, rzad­ko postrze­ga­na jako syme­tria, jest trans­la­cyj­na, czy­li prze­su­nię­cio­wa. Naj­bar­dziej suge­styw­nym przy­kła­dem jest szlak (stąd wyraz szla­czek) – pas z powta­rza­ją­cym się ele­men­tem – wystę­pu­ją­cy w sztu­ce (i kla­sycz­nej, i ludo­wej) od począt­ków cywilizacji.

Nie­któ­re wzo­ry zna­ne ze sztu­ki grec­kiej (np. prze­róż­ne fry­zy) dają się łatwo opi­sać za pomo­cą rów­no „kro­czą­cych” syme­trii lustrza­nych. Z mean­dra­mi bywa trudniej.

W przy­ro­dzie syme­tria prze­su­nię­cio­wa nie jest bar­dzo czę­sta, w dodat­ku rzad­ko bywa dokładna.

Poza mean­dra­mi i inny­mi paso­wy­mi orna­men­ta­mi ist­nie­nie tej syme­trii nie narzu­ca się naszej per­cep­cji. Czy natu­ral­ne jest zauwa­że­nie syme­trii prze­su­nię­cio­wej w snu­ją­cych się przed ocza­mi wago­na­mi dłu­gie­go pocią­gu towa­ro­we­go, gdy znu­dze­ni cze­ka­my aż ponow­nie ktoś otwo­rzy szlaban?

3. Trze­cia odmia­na przy­cią­ga­ją­ca wzrok to syme­tria obro­to­wa. Peł­no jej w kwia­tach i w owo­cach (wystar­czy odpo­wied­nio prze­kro­ić jabł­ko, per­sy­mo­nę, pomi­dor, pigwę…). Naj­czę­ściej moż­na ją okre­ślić jako zło­że­nie syme­trii zwier­cia­dla­nych, gdzie zwier­cia­dła prze­ci­na­ją się w jed­nej pro­stej – w prze­strze­ni (lub w punk­cie – na płaszczyźnie).

Orna­ment upo­rząd­ko­wa­ny przez syme­trię prze­su­nię­cio­wą moż­na nawi­nąć na powierzch­nię amfo­ry i uzy­skać wzór o syme­trii obrotowej.
Ale to nie wszyst­ko. Zda­rza się, że samy­mi syme­tria­mi zwier­cia­dla­ny­mi trud­no opi­sać kształt kwia­tu. Nie przy­pad­kiem na zdję­ciu jest tu kwia­tek widocz­ny od wio­sny do jesie­ni w wie­lu ogród­kach (bar­wi­nek). Tu mamy do czy­nie­nia z syme­trią obro­to­wą, ale bez syme­trii lustrzanej.

Wokół sie­bie znaj­dzie­my mnó­stwo obiek­tów o syme­trii obro­to­wej (moż­na ją nawet nazwać szyb­ko­obro­to­wą) – koła samochodowe.

Część V. Syme­tria w „Pod­sta­wach programowych”
Prze­szu­ka­łem doku­ment zaty­tu­ło­wa­ny Pod­sta­wa pro­gra­mo­wa, by wyśle­dzić, gdzie jest mowa o syme­trii. A poja­wia się nie tyl­ko w kon­tek­ście matematyki.

Szko­ła pod­sta­wo­wa. Kla­sy I–III
Przy wpro­wa­dza­niu pojęć geo­me­trycz­nych w kla­sach począt­ko­wych ocze­ku­je się, że dziec­ko będzie dostrze­ga­ło syme­trię w przy­ro­dzie i w twór­czo­ści ludz­kiej. Czy i na ile jest to wpro­wa­dza­ne w życie, zale­ży od pro­gra­mu naucza­nia, szko­ły i nauczy­cie­la. Nie spo­dzie­wał­bym się roz­bu­do­wa­nych zajęć.
Mam wra­że­nie, że wię­cej o syme­trii mówi­ło się, kie­dy cho­dzi­łem do szko­ły i lek­cje w zeszy­cie musia­łem oddzie­lać szlacz­ka­mi. Szlacz­ki – wyśmia­ne – odeszły…
Na lek­cjach pla­sty­ki w naucza­niu wcze­snosz­kol­nym uczeń ma obser­wo­wać kom­po­zy­cje obiek­tów, np. mozai­ki, dywa­ny, ryt­my w wytwo­rach ludz­kich, kształ­ty o syme­trycz­nych cechach.
Mowa tyl­ko o obser­wa­cji, dzia­ła­nie już nie jest prze­wi­dzia­ne. Dzia­ła­nie poja­wia się w kla­sach wyż­szych, ale jako aktyw­ność pla­stycz­na. Szko­da, bo wła­śnie na począt­ko­wym eta­pie edu­ka­cji two­rze­nie regu­lar­nych i ryt­micz­nych form może być wcią­ga­ją­ce, a przy tym poży­tecz­ne dla roz­wo­ju dziec­ka. Dostrze­ga­nie i obser­wa­cja to znacz­nie mniej niż samo­dziel­ne czynienie.
Wca­le nie jest przy tym potrzeb­ne uży­cie ter­mi­nów takich jak oś.

Kla­sy IV–VIII
Do koń­ca szko­ły pod­sta­wo­wej ucznio­wie roz­po­zna­ją figu­ry osio­wo­sy­me­trycz­ne i znaj­du­ją osie syme­trii, a jak mają daną oś syme­trii, to dory­so­wu­ją „resz­tę” figu­ry. Roz­po­zna­ją figu­ry środ­ko­wo­sy­me­trycz­ne i wie­dzą, gdzie szu­kać środ­ka. To wszyst­ko nie odwo­łu­je się do poczu­cia este­ty­ki, lecz do zde­fi­nio­wa­ne­go ści­słym języ­kiem pojęcia.
Dzie­ci pozna­ją waż­ne narzę­dzia geo­me­trii szkol­nej: syme­tral­ną odcin­ka i dwu­siecz­ną kąta. Nie sto­su­ją ich nie­ste­ty do kon­struk­cji – kon­struk­cje już się do koń­ca szko­ły śred­niej nie pojawiają.
Wszyst­kie ich doświad­cze­nia z syme­tria­mi ogra­ni­cza­ją się do figur na płaszczyźnie.
Na pla­sty­ce uczeń ma mię­dzy inny­mi odnaj­dy­wać w natu­rze i sztu­ce oraz two­rzyć – i na płasz­czyź­nie, i w prze­strze­ni – kom­po­zy­cje syme­trycz­ne i ryt­micz­ne. Wie­dząc o ran­dze tego przed­mio­tu, może­my się domy­ślać, jak poważ­nie są trak­to­wa­ne takie ćwiczenia.

Szko­ła ponadpodstawowa
Geo­me­tria: syme­tral­ne i dwu­siecz­ne sto­so­wa­ne są jako narzę­dzia do róż­nych ćwi­czeń na tra­pe­zach i gry na trójkątach.
Alge­bra: syme­tria – rela­cja przy­da­je się przy oka­zji szki­co­wa­nia wykre­sów funk­cji i pro­stych prze­kształ­ceń geo­me­trycz­nych w ukła­dzie współ­rzęd­nych (syme­tria osio­wa, a syme­tria środ­ko­wa tyl­ko wzglę­dem środ­ka układu).
Aż do matu­ry wyłącz­nie na płasz­czyź­nie. Ale to tyl­ko matematyka…

Tym­cza­sem w liceum zda­rza­ją się inne przedmioty.
Mówi się o try­bie życia zwie­rząt w związ­ku z syme­trią cia­ła. Na lek­cjach bio­lo­gii uży­wa­ne są poję­cia syme­trii pro­mie­ni­stej i dwu­bocz­nej. Syme­tria pro­mie­ni­sta jest opi­sy­wa­na dość dziw­nie i nie­pre­cy­zyj­nie, cza­sem – np. w wypad­ku kwia­tów – jako obec­ność wie­lu płasz­czyzn syme­trii. Łatwo to sobie wyobra­zić na róż­nych kwia­tach – tuli­pa­nach, war­sza­wian­kach (ina­czej: onęt­kach, kosmo­sach podwój­nie pie­rza­stych), wer­be­nach, nawet na sto­krot­kach i sło­necz­ni­kach… Ale co z barwinkiem?
Jak sobie z tym wszyst­kim radzą bio­lo­dzy? Nie wiem. A to cie­ka­we pyta­nie, bo z syme­trią wycho­dzą w przestrzeń.
Che­mia skła­nia do mówie­nia o syme­trycz­nych i nie­sy­me­trycz­nych czą­stecz­kach alke­nów – pod­da­ję się. Ale przy izo­me­rii optycz­nej oży­wiam się na hasło „enan­cjo­me­ry”. Są takie czą­stecz­ki lub frag­men­ty struk­tu­ry czą­stecz­ki, któ­re mają dwie wer­sje syme­trycz­ne do sie­bie płasz­czy­zno­wo. Mówiąc obra­zo­wo – są jak para ręka­wi­czek: lewa i pra­wa. Od grec­kie­go sło­wa χείρ (che­ir) ozna­cza­ją­ce­go rękę wywo­dzi się chi­ral­ność – okre­śle­nie cechy obiek­tów, któ­re nie są iden­tycz­ne ze swo­im lustrza­nym odbi­ciem. Enan­cjo­me­ry są więc chi­ral­ne. Hasło chi­ral­no­ści w doku­men­cie poja­wia się jak­by nie­za­leż­nie, a jest to, jak widać, nazwa tego samego.
Tak na mar­gi­ne­sie: w pod­ręcz­ni­kach geo­me­trii prze­strzen­nej mówi się o wie­lo­ścia­nach enan­cjo­mor­ficz­nych, ale to już wyż­sza szko­ła jazdy.
Fizy­ka lice­al­na wspo­mi­na o sfe­rycz­nie syme­trycz­nym ukła­dzie ładun­ków. A o syme­trii w fizy­ce moż­na by wiele…

Czy wiel­kie roz­bież­no­ści w trak­to­wa­niu syme­trii w mate­ma­ty­ce i w innych dzie­dzi­nach (przed­mio­tach) szkol­nych są zasko­cze­niem? Czy taka syme­tria, o jakiej uczą się ucznio­wie na mate­ma­ty­ce, jest przy­dat­na? Czy mate­ma­ty­ka szkol­na daje dobry język innym dzie­dzi­nom do opi­su zja­wisk w spo­sób oczy­wi­sty zwią­za­nych z poję­cia­mi stric­te matematycznymi?
Umiem odpo­wie­dzieć tyl­ko: 3 razy nie.

Jan Bara­now­ski

Zdję­cia wyko­na­ne przez Auto­ra artykułu.