Część VI. Krysz­ta­ły (prze­strzen­ne i płaskie)
Znów o syme­trii w świe­cie, oży­wio­nym i nieożywionym.
Poprzed­nio pisa­łem o trzech rodza­jach syme­trii, z jaki­mi spo­ty­ka­my się na co dzień:
1. dwu­bocz­nej (lustrza­nej),
2. przesunięciowej,
3. obrotowej.
Do nich wypa­da­ło­by dodać syme­trię z pośli­zgiem. Nie jest to czwar­ty rodzaj syme­trii, lecz zło­że­nie dwóch – motyw jest potrak­to­wa­ny naj­pierw syme­trią zwier­cia­dla­ną, a póź­niej przesunięciem.
Waż­ne dla nasze­go obra­zu świa­ta są jesz­cze dwie „odmia­ny” syme­trii. A może to tyl­ko bar­dziej wyra­fi­no­wa­ne prze­ja­wy tych trzech.
4. na płasz­czyź­nie i
5. w przestrzeni.

A zatem:

4. Wśród pła­skich orna­men­tów, par­kie­ta­ży i gra­fik Mau­rit­sa Cor­ne­li­sa Esche­ra moż­na zna­leźć wie­le przy­kła­dów, w któ­rych jeden motyw jest wie­lo­krot­nie powta­rza­ny (coś jak okres ułam­ka w zapi­sie dzie­sięt­nym). Powta­rza­ny nie tyl­ko wzdłuż jed­nej pro­stej, ale w dwóch lub trzech kie­run­kach jed­no­cze­śnie. Na przy­kład pozio­mo (w lewo i w pra­wo) lub pio­no­wo (w górę i w dół) – to dwa kie­run­ki. Trzy kie­run­ki są wyzna­czo­ne przez dłuż­sze prze­kąt­ne sze­ścio­ką­ta forem­ne­go. (Kie­ru­nek w tym zna­cze­niu, w któ­rym pro­sta repre­zen­tu­je wszyst­kie pro­ste do niej równoległe.)

Licz­ba tych kie­run­ków nie jest jed­nak dowol­na. Wzo­ry powsta­łe przez zasto­so­wa­nie syme­trii zwier­cia­dla­nych, obro­to­wych i opi­sa­nych wyżej powtó­rzeń moż­na jesz­cze uroz­ma­icić prze­su­nię­ciem, czy­li włą­czyć syme­trię z poślizgiem.

Aby pre­cy­zyj­nie opi­sać wszyst­kie moż­li­we syme­trie w orna­men­tach opar­tych na takich powta­rza­ją­cych się moty­wach, wyko­rzy­stu­ją­cych prze­su­nię­cia, obro­ty i odbi­cia, trze­ba się odwo­łać do mate­ma­tycz­nej teo­rii grup syme­trii na płasz­czyź­nie. Oka­zu­je się, że moż­na w tym wypad­ku mówić o 17 gru­pach symetrii.
Poka­zu­ję tu moje odręcz­ne rysun­ki ilu­stru­ją­ce efekt dzia­ła­nia poszcze­gól­nych grup. Wzo­ro­wa­łem się na rysun­kach Andre­asa Spe­ise­ra z 1927 roku.

Co to gru­pa i czym to się je, to zupeł­nie inna histo­ria, zbyt dłu­ga by ją tu wplatać.
Fakt, że poza 17 gru­pa­mi już nic się nie da wymy­śleć, został udo­wod­nio­ny w XX wie­ku. W tym kon­tek­ście poja­wia się waż­ne dla dydak­ty­ki mate­ma­ty­ki nazwi­sko: Geo­r­ge Polya, autor wie­lo­krot­nie wzna­wia­nej książ­ki Jak to roz­wią­zać?. Rzad­ko jed­nak wspo­mi­na się o jego dowodzie.
(Według nie­któ­rych źró­deł pierw­szy dowód miał sfor­mu­ło­wać Jew­graf Stie­pa­no­wicz Fio­do­row w 1891 roku. Sytu­acja nie taka nie­zwy­kła: w wie­lu wypad­kach nowe osią­gnię­cie w mate­ma­ty­ce jest odkry­wa­ne lub wymy­śla­ne w róż­nych miej­scach, nie­ko­niecz­nie rów­no­cze­śnie, a zaan­ga­żo­wa­ni w to mate­ma­ty­cy nic o sobie nawza­jem nie wiedzą.)

Wszyst­kie te gru­py syme­trii poja­wia­ją się w sta­ro­żyt­nych orna­men­tach, dla każ­dej z nich moż­na wska­zać przy­kład. No dobrze, ale gru­py prze­kształ­ceń to dopie­ro XIX wiek. Nie­zbęd­na do two­rze­nia orna­men­tów mate­ma­ty­ka ist­nia­ła od daw­na, nie tak upo­rząd­ko­wa­na, bez bar­dzo spraw­nych narzę­dzi, ale nie ułomna.

Stu­dio­wa­nie syme­trii orna­men­tów arab­skich (tak zwy­kle nazy­wa się orna­men­ty ze świa­ta islam­skie­go) może dostar­czyć wie­le przyjemności.
Mówi się, że islam nie dopusz­cza w sztu­ce przed­sta­wia­nia posta­ci zwie­rzę­cych i ludz­kich, ale co do praw­dzi­wo­ści tego stwier­dze­nia zda­rza­ją się spory.
Naj­czę­ściej w budow­lach powsta­łych pod wpły­wem tej kul­tu­ry mamy do czy­nie­nia z orna­men­ta­mi cał­ko­wi­cie abs­trak­cyj­ny­mi, ze wzo­ra­mi o wyszu­ka­nej geo­me­trii. Ten styl moż­na zna­leźć przede wszyst­kim na tere­nach od Afga­ni­sta­nu i Ira­nu na wscho­dzie, poprzez Bli­ski Wschód i pół­noc­ną część Afry­ki, aż do Hiszpanii.

Naśla­do­wa­nie takich orna­men­tów wyma­ga dość dobre­go warsz­ta­tu geo­me­trycz­ne­go, spraw­ne­go wła­da­nia cyr­klem i linij­ką, orien­ta­cji w sie­ciach syme­trii. A przy tym potrzeb­na jest pomy­sło­wość, by unik­nąć mono­to­nii zbyt pro­ste­go ornamentu.
Rzecz jasna, dziś we wszyst­kim może nas wyrę­czyć kom­pu­ter, ale to już nie daje tyle radości.

Her­mann Weyl w zna­ko­mi­tej książ­ce Syme­tria stwier­dza: „Sztu­ka orna­men­tów zawie­ra w uta­jo­nej for­mie naj­star­szy frag­ment mate­ma­ty­ki wyż­szej nam zna­ny” i pod­kre­śla, że już 3 tysią­ce lat temu Egip­cja­nie zna­li wszyst­kie moż­li­wo­ści two­rze­nia takich nie­skoń­czo­nych wzo­rów, nie odwo­łu­jąc się natu­ral­nie do twier­dze­nia o 17 gru­pach symetrii.

Sfo­to­gra­fo­wa­łem stro­nę z reprin­tu wspa­nia­łej publi­ka­cji The Gram­mar of Orna­ment Owe­na Jone­sa pier­wot­nie wyda­nej w 1856 roku. Książ­ka zawie­ra rysun­ki orna­men­tów z wie­lu kul­tur i z róż­nych epok. Szko­da, że brak dokład­nych opi­sów datu­ją­cych poszcze­gól­ne wzo­ry – jest jedy­nie ską­pa infor­ma­cja o rejo­nie ich pocho­dze­nia. Na zdję­ciu widać frag­ment więk­szej kolek­cji orna­men­tów egipskich.

Ogra­ni­cze­nie licz­by syme­trii do 17 grup przez dłu­gi czas nie było łatwe do zaak­cep­to­wa­nia. Sko­ro w orna­men­cie moż­na użyć forem­nych: trój­ką­ta, czwo­ro­ką­ta i sze­ścio­ką­ta, dla­cze­go by nie zbu­do­wać wzo­ru z pię­cio­ką­tem? Twór­cy orna­men­tów sta­le tra­fia­li na prze­szko­dę – lokal­nie wszyst­ko gra­ło, ale przy roz­sze­rza­niu wzo­ru szwan­ko­wa­ło. Stąd już bli­sko do dosko­na­le nie­pod­da­ją­ce­go się żad­nym ryt­mom nie­skoń­czo­nym par­kie­ta­żu Penrose’a, moż­li­we­go do uło­że­nia z figur o dwóch róż­nych kształ­tach. To bar­dzo cie­ka­wa przy­go­da geo­me­trycz­na, przy­ćmio­na ostat­nio przez tzw. kape­lusz, figu­rę zna­ną tak­że jako ein­ste­in (ein Ste­in – jeden kamień).
Oczy­wi­ście dziś dostęp do prze­róż­nych orna­men­tów jest prak­tycz­nie nie­ogra­ni­czo­ny, źró­deł jest mnó­stwo – dosłow­nie na wycią­gnię­cie ręki.

5. A teraz świat krysz­ta­łów. Zanim zaczę­to się orien­to­wać w kon­fi­gu­ra­cjach ato­mów two­rzą­cych mate­rię krysz­ta­łów, obser­wo­wa­no dosko­na­łe lub nie­mal dosko­na­łe kształ­ty widocz­ne gołym okiem lub wyma­ga­ją­ce co naj­wy­żej uży­cia lupy.

Jako uczeń zaj­mo­wa­łem się przez jakiś czas pro­wo­ko­wa­niem roz­two­ru soli kuchen­nej do kry­sta­li­za­cji. Cie­szy­ły mnie malut­kie sze­ścia­ni­ki soli.
Natu­ral­ne krysz­ta­ły dia­men­tu i flu­ory­tu mie­wa­ją kształt ośmio­ścia­nu foremnego.

Gro­su­la­ry (odmia­na gra­na­tu) uka­zu­ją się czę­sto jako dwu­na­sto­ścia­ny rombowe.

Krysz­ta­ły piry­tu mogą wystę­po­wać w for­mie sze­ścia­nu lub dwu­na­sto­ścia­nu pię­cio­kąt­ne­go (uwa­ga! Ich ścia­ny są pię­cio­kąt­ne, ale to nie są pię­cio­ką­ty forem­ne – łatwo ulec złu­dze­niu, że mamy do czy­nie­nia z dwu­na­sto­ścia­nem foremnym).

Zaba­wa geo­me­trią krysz­ta­łów może być pasjo­nu­ją­ca, ale wyma­ga wcze­śniej­szej wpra­wy w geo­me­trii przestrzennej.
Kształ­ty, któ­re może­my zoba­czyć, nale­żą do dzie­dzi­ny zwa­nej mor­fo­lo­gią krysz­ta­łów, a jest to odbi­cie – kon­se­kwen­cja wewnętrz­nej struk­tu­ry – zja­wisk mikro­sko­po­wych. W uprosz­cze­niu: ścia­ny wie­lo­ścien­ne­go oka­zu są pro­sto­pa­dłe do okre­ślo­nych osi, cha­rak­te­ry­stycz­nych dla sub­stan­cji. Ich wza­jem­ne roz­miesz­cze­nie (uza­leż­nio­ne od kon­fi­gu­ra­cji ato­mów – regu­lar­no­ści w ich prze­strzen­nym uło­że­niu) decy­du­je o tym, jakie kształ­ty makro­sko­po­we mogą się zdarzyć.
Pod­czas powsta­wa­nia krysz­ta­łu, a zawsze był to pro­ces jak na ska­lę ludz­kie­go życia bar­dzo dłu­gi, zda­rza­ły się róż­ne prze­szko­dy i zakłó­ce­nia. Ide­al­nie ukształ­to­wa­ne bry­ły zachwy­ca­ją swo­ją regu­lar­no­ścią, jed­nak czę­sto moż­na obser­wo­wać defor­ma­cje, w któ­rych np. jeden z kie­run­ków wzro­stu był dys­kry­mi­no­wa­ny. A jeśli zmie­ni­ły się wszyst­kie kie­run­ki, mamy do czy­nie­nia ze zro­śla­ka­mi – zespo­ła­mi nie­re­gu­lar­nie skle­jo­nych regu­lar­nych fragmentów.

W poło­wie XIX wie­ku August Bra­va­is udo­wod­nił ist­nie­nie 14 rodza­jów sie­ci kry­sta­licz­nych. W tym przy­pad­ku roz­wa­ża się węzły sie­ci, któ­re przy okre­ślo­nej trans­la­cji (i jej wie­lo­krot­no­ści) tra­fia­ją w miej­sca węzłów znaj­du­ją­cych się tam przed przesunięciem.

Kla­sy syme­trii, któ­rym te sie­ci pod­le­ga­ją, są pre­cy­zyj­nie okre­ślo­ne. Wyklu­cza­ją one na przy­kład ist­nie­nie krysz­ta­łów o syme­trii obro­to­wej rzę­du 5 czy 7. W 1982 roku tym nie­wzru­szo­nym porząd­kiem wstrzą­snę­ło odkry­cie Dana Shecht­ma­na, któ­ry pod mikro­sko­pem elek­tro­no­wym zaob­ser­wo­wał syme­trię rzę­du 5. Dziś takie „nie­grzecz­ne” struk­tu­ry nazy­wa­ne są kwa­zi­krysz­ta­ła­mi, a odkryw­ca – zra­zu uzna­wa­ny za szar­la­ta­na – dostał w 2011 roku nagro­dę Nobla w dzie­dzi­nie chemii.

Kształt, któ­ry w poło­wie lat osiem­dzie­sią­tych ubie­głe­go wie­ku zaczął inte­re­so­wać fizy­ków zaj­mu­ją­cych się budo­wą mate­rii, to trzy­dzie­sto­ścian rom­bo­wy (mają­cy wśród swych syme­trii syme­trię obro­to­wą rzę­du 5).

O innych aspek­tach syme­trii w prze­strze­ni trój­wy­mia­ro­wej opo­wiem w kolej­nych odcinkach.

Jan Bara­now­ski

Zdję­cia wyko­na­ne przez Auto­ra artykułu.