Różne oblicza symetrii. Odcinek 7

Część XII. Źró­dła i pod­pa­trze­nia (1)

Jeden z Czy­tel­ni­ków zapy­tał o źró­dła, z któ­rych korzystałem.

Dla mnie naj­waż­niej­sza jest obser­wa­cja. Dla­te­go te – dobra­ne w bar­dzo subiek­tyw­ny, ten­den­cyj­ny spo­sób – ilu­stra­cje. Łatwo było­by pisać o syme­trii w przed­mio­tach użyt­ko­wych czy archi­tek­tu­rze. Zbyt łatwo.

Motyl na tle siat­ki ogro­dze­nio­wej to cała masa symetrii.

Bruk jest zdep­ta­ny i popla­mio­ny – jak to bruk – ale jako par­kie­taż z kostek oka­zu­je się ciekawy.

Czu­bek maleń­kiej pokrzy­wy to przy­kład roz­wo­ju mło­dej rośli­ny; podob­nie zacho­wu­ją się drze­wa. War­to też na wio­snę przyj­rzeć się kil­ku­na­sto­cen­ty­me­tro­wym klo­nom, dębom…

Syme­tria na wodzie jest oczy­wi­sta. Cie­kaw­sza bywa, moim zda­niem, kie­dy jest nie­co zabu­rzo­na (czę­sto przy­wo­ły­wa­ny jako ide­al­ny przy­kład Tadż Mahal – przy­naj­mniej na obraz­kach – wyda­je się zbyt syme­trycz­ny, zbyt cukier­ko­wy, gdzieś zni­ka smak… W inter­ne­cie moż­na zna­leźć mnó­stwo zdjęć tego mauzoleum.).

Wnę­trze tuli­pa­na może być fascy­nu­ją­ce – nie tyl­ko dla owadów.

Są też dwa zdję­cia z syme­trią obro­to­wą bez syme­trii zwier­cia­dla­nej – kwia­tek lnu i koło samo­cho­do­we (to jako syme­tria szybkoobrotowa).

A co ze źró­dła­mi pisanymi?

Jed­ną z naj­waż­niej­szych ksią­żek w mojej biblio­te­ce jest Syme­tria Her­man­na Wey­la (PWN 1960). To wspa­nia­ły wykład, któ­re­go licz­ne frag­men­ty są przy­stęp­ne i mogą być wcią­ga­ją­ce dla przy­rod­ni­ków, arty­stów i huma­ni­stów. Frag­men­ty bar­dziej wyma­ga­ją­ce są wyraź­nie adre­so­wa­ne do czy­tel­ni­ków zazna­jo­mio­nych z mate­ma­ty­ką wyż­szą. Część wyraź­nie odwo­łu­je się do for­ma­li­zmów poło­wy XX wie­ku – wszak Weyl obra­cał się w krę­gu bour­ba­ki­stów. Przez to w tek­ście poja­wia­ją się odnie­sie­nia do grup syme­trii (alge­bra abs­trak­cyj­na). Waż­ne jed­nak, że nie jest to ency­klo­pe­dia – swo­bod­na nar­ra­cja spra­wia, że publi­ka­cja ta jest dale­ka od rygo­ry­stycz­ne­go cha­rak­te­ru mate­ma­tycz­nej monografii.

To książ­ka nad­zwy­czaj­na – za każ­dym razem, kie­dy po nią się­gam, znaj­du­ję w niej coś nowe­go. To nic, że napi­sa­na ponad sie­dem­dzie­siąt lat temu, że ilu­stra­cje są czar­no­bia­łe i mar­nej, jak na dzi­siej­sze stan­dar­dy, jakości.

Dru­ga książ­ka, uży­tecz­na przy roz­wa­ża­niu syme­trii, jest bar­dziej prak­tycz­na i kon­kret­na – O syme­trii w zdob­nic­twie i przy­ro­dzie Sta­ni­sła­wa Jaś­kow­skie­go (PZWS 1952). To sys­te­ma­tycz­nie pro­wa­dzo­ne lek­cje geo­me­trii: naj­pierw pła­skiej, póź­niej prze­strzen­nej. To dobry prze­wod­nik po syme­triach – jest mowa i o rośli­nach, i o orna­men­tach, i o krysz­ta­łach. O zdob­nic­twie z krę­gu kul­tu­ry muzuł­mań­skiej i o roze­tach gotyc­kich. Wska­za­ne są gru­py syme­trii płasz­czy­zny (u Wey­la tyl­ko sygna­li­zo­wa­ne). Całość czy­ta się raczej jak podręcznik.

Wła­sne doświad­cze­nia obco­wa­nia ze świa­tem wie­lo­ścia­nów mogły­by mi wystar­czyć, jed­nak cza­sem zaglą­dam też do peł­nej zdjęć, zna­ko­mi­tej książ­ki Ala­na Hol­de­na Sha­pes, Spa­ce, and Sym­me­try.

Wie­le z tego wyczy­ta­łem, zwy­kle wpa­tru­jąc się w wize­run­ki brył, nie w tekst. Na okład­ce fran­cu­skie­go wyda­nia jest dla zachę­ty napi­sa­ne, że nie ma wewnątrz żad­nych wzo­rów… Omó­wie­nie czarno-białych foto­gra­fii per­fek­cyj­nych papie­ro­wych mode­li jest suge­styw­ne i – z punk­tu widze­nia laika – wyczerpujące.

Książ­ką poważ­niej­szą, bar­dziej zaawan­so­wa­ną, jest Poly­he­dra Pete­ra Crom­wel­la. To już typo­wo mate­ma­tycz­ne dzie­ło – napi­sa­ne zdy­scy­pli­no­wa­nym języ­kiem, ze spój­ną nar­ra­cją – wyma­ga od czy­tel­ni­ka sku­pie­nia. Auto­ro­wi uda­ło się przy oka­zji wpleść ele­men­ty histo­rii mate­ma­ty­ki, zary­so­wa­na jest ewo­lu­cja pojęć i języ­ka opi­su­ją­ce­go te poję­cia. Jest ona zde­cy­do­wa­nie skie­ro­wa­na do mate­ma­tycz­nie przy­go­to­wa­nych czy­tel­ni­ków, choć już samo stu­dio­wa­nie rysun­ków może dać bar­dzo wiele.

Część XIII. Źró­dła i pod­pa­trze­nia (2)

Moje przy­jaź­nie z wie­lo­ścia­na­mi zapro­wa­dzi­ły mnie w stro­nę fizy­ki (zwłasz­cza fizy­ki cia­ła sta­łe­go) oraz che­mii. Kry­sta­lo­gra­fia bar­dzo paso­wa­ła do moich zain­te­re­so­wań – wszak mor­fo­lo­gia krysz­ta­łów to same wie­lo­ścia­ny. Przy­znam, że w dość egzo­tycz­nym dla mnie języ­ku i porząd­ku… Ale bry­ły to nie wszyst­ko. Ich syme­trie to nie tyl­ko osie i płasz­czy­zny, ale tak­że prze­su­nię­cia i obro­ty. Pamię­tam satys­fak­cję, jaką poczu­łem, kie­dy dostrze­głem zwią­zek mię­dzy dwu­na­sto­ścia­nem rom­bo­wym (to bry­ła, któ­ra może cał­ko­wi­cie wypeł­nić prze­strzeń) a struk­tu­rą sie­ci dia­men­tu… Struk­tu­ry wewnętrz­ne krysz­ta­łów, sie­ci kry­sta­licz­ne two­rzą wspa­nia­łe labirynty.

Mam w domu pamiąt­kę po tam­tych przy­go­dach – Zarys kry­sta­lo­gra­fii Tade­usza Penkali.

Wypeł­nia­nie prze­strze­ni, struk­tu­ry sztyw­ne, par­kie­to­wa­nie płasz­czy­zny (w j. angiel­skim ist­nie­je wygod­ny ter­min: tiling) to inży­nie­ria i sztu­ka jednocześnie.

Sko­ro mowa o par­kie­ta­żach, nie spo­sób pomi­nąć orna­men­tów. Przej­rza­łem („wczy­tu­jąc” się w deta­le i syme­trie) mnó­stwo albu­mów z orna­men­ta­mi cel­tyc­ki­mi, grec­ki­mi, gotyc­ki­mi, arab­ski­mi. Naj­waż­niej­sze dla mnie to: Deco­ra­ti­ve Pat­terns of the Ancient World Flin­der­sa Petrie i Skarb­ni­ca orna­men­tów Hein­ri­cha Dolmetscha.

Ist­nia­ło kie­dyś cza­so­pi­smo Struc­tu­ral topo­lo­gy (Topo­lo­gie struc­tu­ra­le), wyda­wa­ne w Kana­dzie dwu­ję­zycz­ne, z zało­że­nia wie­lo­dy­scy­pli­nar­ne (każ­dy arty­kuł dopusz­czo­ny do dru­ku musiał doty­czyć co naj­mniej dwóch obsza­rów, np. geo­me­trii i sztu­ki, archi­tek­tu­ry i geo­me­trii czy struk­tur prze­strzen­nych i edu­ka­cji). Inspi­ru­ją­ce były dla mnie ilu­stra­cje i pomysły.

Ze stron tego cza­so­pi­sma już w latach osiem­dzie­sią­tych ubie­głe­go wie­ku dowie­dzia­łem się o zagad­nie­niu, któ­re ostat­nio, w XXI wie­ku, zdo­by­wa coraz szer­szy roz­głos: ten­se­gri­ty. Nie­ste­ty, zabra­kło fun­du­szy i Topo­lo­gie Struc­tu­ra­le, ku wiel­kie­mu moje­mu żalo­wi, prze­sta­ło być wydawane.

Kopal­nią prze­róż­nych zaska­ku­ją­cych, odle­głych z pozo­ru, sko­ja­rzeń jest książ­ka Mati­li C. Ghy­ki pt. Zło­ta licz­ba. Mowa w niej o natu­rze, poezji, muzy­ce, sztu­ce sta­ro­żyt­nej i nowo­żyt­nej, o misty­ce i misty­kach. Ale nie jest to książ­ka szalona.

Zna­ko­mi­ty histo­ryk sztu­ki, Ernest Hans Gom­brich, napi­sał Zmysł porząd­ku. O psy­cho­lo­gii sztu­ki deko­ra­cyj­nej. Nie­zwy­kła mie­sza­ni­na dzie­dzin – psy­cho­lo­gii widze­nia, iko­no­lo­gii, histo­rii, histo­rii sztu­ki. Dzie­ło Gom­bri­cha się­ga dale­ko poza same sztu­ki deko­ra­cyj­ne. Wła­śnie tam zna­la­złem przej­rzy­sty rysu­nek 17 typów syme­trii, pocho­dzą­cy z książ­ki Andre­asa Spe­ise­ra z 1937 roku.

Mógł­bym się roz­pi­sy­wać o godzi­nach spę­dzo­nych nad repro­duk­cja­mi prac Esche­ra, to też wiel­ka por­cja zna­ko­mi­tych i zaska­ku­ją­cych przy­kła­dów symetrii.

Muzy­ka, Escher, nie­skoń­czo­ność, ha… Potęż­ne dzie­ło Dougla­sa Hofstad­te­ra Gödel, Escher, Bach to nie­wy­czer­pa­ne źró­dło inspi­ra­cji. Peł­ne bły­sko­tli­wych sko­ja­rzeń, prze­dziw­nych ana­lo­gii, zaawan­so­wa­nych roz­wa­żań. Każ­de kolej­ne spo­tka­nie z tą książ­ką to inna przy­go­da. Za każ­dym rogiem może kryć się ite­ra­cja (powtó­rze­nie ope­ra­cji) lub gra słów (o ile tłu­ma­cze­nie na fran­cu­ski się uda­ło, o tyle na pol­ski jest nie­wy­obra­żal­ne, prak­tycz­nie nie­wy­ko­nal­ne, bo nasz język nie jest języ­kiem pozycyjnym).

Ite­ra­cja może doty­czyć odwzo­ro­wa­nia zwę­ża­ją­ce­go, któ­re raczej nie powin­no się koja­rzyć z syme­trią, jeśli syme­tria ma być izo­me­trią. Do tego – zapew­ne – kie­dyś wrócimy.

Czy­ta­łem nie­daw­no roz­wa­ża­nia wokół pyta­nia: czy bar­dziej przy­ro­da jest mate­ma­tycz­na czy mate­ma­ty­ka – przy­rod­ni­cza… Wystar­czy iść do par­ku, by zato­pić się w takich myślach.

Jan Bara­now­ski

Zdję­cia w czę­ści (1) zosta­ły przy­go­to­wa­ne przez auto­ra artykułu.