Część VIII. Płaszczyzny symetrii
Kiedy mówimy o symetrii zwierciadlanej w przestrzeni trójwymiarowej, to lustrem dla obrazu w symetrii jest płaszczyzna.
Poprzednio pokazałem osie symetrii obrotowej brył platońskich. Kolej na płaszczyzny symetrii tych brył – wielościany foremne są swoimi własnymi obrazami w symetrii zwierciadlanej (płaszczyznowej).
Najpierw o czworościanie, sześcianie i ośmiościanie.
Czworościan ma:
– 6 płaszczyzn, każda zawiera jedną krawędź i przechodzi przez środek przeciwległej krawędzi.
Sześcian ma:
– 6 płaszczyzn, każda zawiera dwie przeciwległe krawędzie,
– 3 płaszczyzny, każda równoległa do pary przeciwległych ścian.
Ośmiościan ma taki sam zestaw płaszczyzn jak sześcian:
– 6 płaszczyzn, każda zawiera dwa przeciwległe wierzchołki i połowi dwie krawędzie,
– 3 płaszczyzny, każda zawiera cztery krawędzie tworzące kwadrat.
Przy okazji: płaszczyzna symetrii brył jest w przestrzeni trójwymiarowej naturalnym odpowiednikiem osi symetrii figur geometrycznych na płaszczyźnie. Na płaszczyźnie zwierciadłem jest prosta, w przestrzeni – płaszczyzna, w przestrzeni czterowymiarowej – przestrzeń trójwymiarowa… Oj, rozpędziłem się… Kiedyś próbowałem sobie wyobrazić odbicie lustrzane brył czterowymiarowych i poniosłem porażkę.
Część IX. Teraz o dwunastościanie i dwudziestościanie
Płaszczyzny symetrii zawierają pary przeciwległych krawędzi dwunastościanu. Tak samo można powiedzieć o płaszczyznach symetrii dwudziestościanu – są wyznaczone przez przeciwległe krawędzie. Obie bryły mają po 30 krawędzi. Każda z nich ma 15 płaszczyzn symetrii.
Jest tego niespodziewanie mało.
Na animacjach, które dołączam, można wypatrzeć opisane wyżej płaszczyzny.
Część X. Wielościany foremne – płaszczyzny a osie obrotu
Jaki jest związek między płaszczyznami i osiami obrotu brył platońskich? Czy każdej osi obrotu odpowiada jakaś płaszczyzna symetrii?
W czworościanie żadna prosta prostopadła do płaszczyzny symetrii nie jest osią obrotu.
Zauważmy, że płaszczyzny przechodzące przez środek geometryczny sześcianu prostopadłe do osi rzędu 2 i do osi rzędu 4 są płaszczyznami symetrii bryły. I to wszystkie płaszczyzny symetrii sześcianu. A przecież sześcian ma jeszcze osie rzędu 3.
Tak samo jest z ośmiościanem – wszystkie płaszczyzny symetrii to te, które są prostopadłe do osi rzędu 2 lub do osi rzędu 4 i przechodzą przez środek bryły. A ośmiościan ma jeszcze osie rzędu 3.
Płaszczyzny symetrii dwunastościanu i dwudziestościanu przechodzą przez środek bryły i są prostopadłe do osi rzędu 2.
Część XI. Wielościany foremne – płaszczyzny niebędące płaszczyznami symetrii
Na początku zastrzeżenie. Ta część jest nieco odmienna, ale wciąż głównym bohaterem jest symetria. Płaszczyzny, o których tym razem będzie opowieść, nie są płaszczyznami symetrii, zwierciadłami, w których „przeglądałyby się” połówki wielościanów, przynajmniej w sposób, do którego jesteśmy przyzwyczajeni. Jak nazwać relację, jaką ustalają w wielościanie? Jak zgrabnie zdefiniować i się nie narazić?
Warto może przypomnieć sobie poprzednią część. Tam pokazałem związek płaszczyzn i osi obrotu czterech brył platońskich: sześcianu, ośmiościanu, dwunastościanu i dwudziestościanu. Nie wszystkie bryły platońskie i nie wszystkie osie obrotu…
Kolej teraz na osie obrotu pominięte w poprzedniej części. Płaszczyzny prostopadłe do nich i przechodzące przez środek bryły dzielą oczywiście bryłę na połowy.
Zobaczmy, co by się działo, gdyby to były płaszczyzny symetrii. Jak wygląda połówka czworościanu, sześcianu, ośmiościanu, dwunastościanu i dwudziestościanu „przeglądająca się” w takim lustrze.
W każdym z sześciu przypadków przekrój jest wielokątem foremnym, można więc „poprawić” odbicie, dodając obrót. Jeśli przekrój jest kwadratem, to o 90°, jeśli sześciokątem – o 60°, jeśli dziesięciokątem – o 36°.
Żeby przekształcić jedną połówkę na drugą, trzeba złożyć symetrię zwierciadlaną z obrotem, czyli najpierw użyć symetrii, a uzyskaną połówkę obrócić (o stosowny kąt). Jeśli odwołamy się do grup symetrii, mamy złożenie symetrii, czyli …symetrię.
Być może część czytelników przyzna, że operacja jest podobna do przekształcenia dotyczącego figur na płaszczyźnie – symetrii z poślizgiem… Czy to dobra analogia?
Przekroje pojawiające się na rysunkach i na ruchomych obrazkach są znane:
– czworościan – kwadrat,
– sześcian i ośmiościan – sześciokąt,
– dwunastościan i dwudziestościan – dziesięciokąt.
Szósty przekrój: dwunastościan z sześciokątem jest niespodzianką. Jest nietypowy, więc niektórzy o nim nie wiedzą lub nie pamiętają. Przez to zdarza się, że w opisach foremnych przekrojów brył platońskich go brak. Taki wybryk…
Animacje chyba lepiej od opisu statycznego i słownego pokazują obrót części wielościanu. A może powinny być odtwarzane (i oglądane) wstecz?
Jan Baranowski
Grafiki i animacje zostały przygotowane przez autora artykułu.
