Część VII. Osie w przestrzeni
Kilka lat temu usłyszałem pytanie: ile osi symetrii ma dwunastościan foremny? Mój rozmówca, zatopiony właśnie w lekturze publikacji przeznaczonej dla szkół w Anglii, opisywał sytuację przestrzenną językiem naszej tradycji szkolnej. Analiza rysunków doprowadziła go jednak do dezorientacji.
Wówczas jeszcze wyraźniej uświadomiłem sobie konsekwencje tego, że w polskiej szkole nie wspomina się o symetrii obrotowej. O geometrii w przestrzeni w ogóle prawie się nie mówi, a jeśli już, to jedynie po to, żeby znów przećwiczyć twierdzenie Pitagorasa albo jeden z kilku wzorów na objętość i pole powierzchni; na dobrą sprawę ten trzeci wymiar jest mało potrzebny…
W konsekwencji wychowanek polskiej szkoły rozumie oś symetrii jako prostą, względem której wszystkie punkty tworzące bryłę znajdują swoje odbicia, jak to w przypadku figur na płaszczyźnie bywa. Innymi słowy: oś symetrii to prosta, względem której dana figura (jedno‑, dwu- lub trójwymiarowa) jest do siebie osiowosymetryczna. Jeżeli ma do czynienia z sytuacją trójwymiarową, to naturalnie myśli o osi w ten sam sposób: punkty tworzące bryłę są przekształcane w wyniku symetrii na inne punkty tej samej bryły. Takie jest wyobrażenie, jeśli ktoś nie uwolnił się od czaru polskiej edukacji matematycznej. Jest to typowy przykład przenoszenia pojęcia znanego z płaszczyzny w przestrzeń bez pełnego zrozumienia jego konsekwencji. Zajmując się wielościanami, wielokrotnie przekonywałem się, że znacznie bezpieczniejsza jest operacja przeciwna – „rzutowanie na płaszczyznę” pojęć z geometrii przestrzennej.
Gdy słyszę „oś symetrii”, od razu myślę o osi obrotu. To naturalne dla każdego, kto spędził jakiś czas z wielościanami. Zapytano mnie wszak o osie symetrii…
W przestrzeni oś symetrii bryły to oś obrotu, czyli prosta, wokół której można obrócić bryłę o pewien kąt (część pełnego obrotu) tak, aby „wyglądała tak samo”. Na przykład czworościan foremny można „przebić” prostą łączącą jeden z jego wierzchołków ze środkiem przeciwległej ściany. Wokół tej prostej możemy bryłę obrócić o 120°, następnie znowu o 120° i jeszcze raz o 120°. Za każdym razem czworościan wygląda tak samo. To jest oś obrotu rzędu 3.
To proste pytanie o osie sprowokowało mnie do zastanowienia nad rolą symetrii w świecie – w naszym otoczeniu, w percepcji, w estetyce, sztuce, a także w przeróżnych dziedzinach nauk mniej lub bardziej ścisłych. Jej opis – jak mi się zdaje – w matematyce jest najczystszy, najbardziej klarowny. Symetria jest jednym z tych pojęć, które matematyk może – i powinien – przekazywać innym.
Właśnie to zdarzenie było impulsem do napisania niniejszej serii tekstów. Przedstawiam w nich osie symetrii wielościanów foremnych.
Bryły platońskie mają dość charakterystyczne „zestawy” osi.
Czworościan ma:
– 4 osie obrotu rzędu 3 (podczas obrotu o 360° bryła przyjmuje trzykrotnie takie samo położenie. Zwykle mówi się o rzędzie osi symetrii lub o jej krotności) – przechodzą przez wierzchołki i środki przeciwległych do tych wierzchołków ścian,
– 3 osie obrotu rzędu 2 – przechodzą przez środki przeciwległych krawędzi, czyli krawędzi wzajemnie skośnych.
Sześcian:
– 6 osi obrotu rzędu 2 – przechodzą przez środki przeciwległych krawędzi,
– 4 osie obrotu rzędu 3 – zawierają przekątne bryły,
– 3 osie obrotu rzędu 4 – wyznaczone są przez środki przeciwległych ścian.
Ośmiościan ma taki sam zestaw osi, jak sześcian. Ale środki przeciwległych ścian i przeciwległe wierzchołki zamieniają się tu rolami:
– 6 osi obrotu rzędu 2 – przechodzą przez środki przeciwległych krawędzi,
– 4 osie obrotu rzędu 3 – wyznaczone są przez środki przeciwległych ścian,
– 3 osie obrotu rzędu 4 – zawierają przekątne bryły,
Dwunastościan i dwudziestościan mają po:
– 15 osi obrotu rzędu 2 – przechodzących przez środki przeciwległych krawędzi,
– 10 osi obrotu rzędu 3, 6 osi rzędu 5 – wyznaczonych przez środki przeciwległych ścian lub przez pary przeciwległych wierzchołków.
I to wszystko… Na rysunkach, które dołączam, można dostrzec wskazane przeze mnie osie. Nie są być może od razu widoczne, to dobrze – Czytelnik może w ten sposób uruchomić swoją wyobraźnię. Zachęcam!
Być może łatwiej będzie je zidentyfikować na ruchomych obrazkach.
A jak wygląda odpowiedź na pytanie o osie symetrii dwunastościanu foremnego?
Określiłem wtedy wszystkie osie obrotu tej bryły wraz z ich krotnościami i dorzuciłem istotną uwagę: oś obrotu jest jednocześnie osią symetrii (w rozumieniu polskiej tradycji szkolnej), jeśli jej rząd jest liczbą parzystą. Oznacza to, że osie obrotu o rzędach nieparzystych nie są osiami symetrii. Dlaczego tak jest? Symetria osiowa (na płaszczyźnie – symetria środkowa) jest tożsama z obrotem o 180°. Jeśli bryła ma oś obrotu rzędu nieparzystego (w przypadku brył foremnych to osie rzędu 3 lub 5), to w trakcie odpowiedniego obracania nie znajdzie się w pozycji obróconej o taki kąt. Analogiczna sytuacja występuje w przypadku sześcianu, ośmiościanu, czworościanu i dwudziestościanu foremnych.
***
Opisane wyżej osie symetrii wielościanów foremnych są „dziedziczone” przez wielościany półforemne, czyli bryły archimedesowe.
Czworościan ścięty ma taki sam zestaw osi symetrii jak czworościan foremny. Sześcian i ośmiościan określają osie symetrii sześcianu ściętego, sześcio-ośmiościanu, ośmiościanu ściętego, sześcio-ośmiościanu rombowego małego i wielkiego oraz sześcianu przyciętego. Analizując osie symetrii dwunastościanu lub dwudziestościanu, znamy komplet osi symetrii dwunastościanu ściętego, dwudziesto-dwunastościanu, a także dwudziestościanu ściętego, dwudziesto-dwunastościanu rombowego małego i wielkiego oraz dwunastościanu przyciętego.
***
A co z płaszczyznami symetrii? O tym w następnym odcinku.
Jan Baranowski
Grafiki i animacje zostały przygotowane przez Autora artykułu.
