Mocarze liczbowych zbiorów to kolejno: Księstwo Liczb Naturalnych N (natural numbers), Monarchia Liczb Całkowitych Z (integer numbers), Królestwo Liczb Wymiernych Q (quotient numbers), Cesarstwo Liczb Rzeczywistych R (real numbers) oraz Imperium Liczb Zespolonych C (complex numbers); N⊂Z⊂Q⊂R⊂C, co oznacza, że liczby naturalne zawierają się w całkowitych, te w wymiernych, które są podzbiorem rzeczywistych, a te z kolei są stanowią część zbioru liczb zespolonych.
| N = Księstwo Liczb Naturalnych |
Liczby naturalne są tak naturalne, że bez nich świat byłby sztuczny. Księstwo naturalności ma jednak skromną arytmetykę. Majsterkować bez ograniczeń można tylko na dwóch działaniach – dodawaniu i mnożeniu. Z pozostałymi bywa nietęgo, żeby nie rzec, iż kiepsko.
Definicja zbioru N jest prosta. Primo, zawiera 0 (choć niektórzy wolą zaczynać od 1). Secundo, jeśli w zbiorze jest liczba n, to za nią stoi jej większa siostra postaci n + 1. Amen. Mniejszej kolekcji o tej własności nie uświadczysz.
Wbrew przyzwyczajeniu, liczenie od zera jest prostsze. Liczbą przedmiotów jest wtedy pierwsza niewykorzystana liczba naturalna, a nie ta, którą użyto jako ostatnią. Przy stu przedmiotach liczenie przebiega w ten sposób: 0, 1, 2, …, 99. Największą zaletą jest to, że metoda działa bez pudła – nawet gdy nie ma czego liczyć.
Wyjątkową rolę odgrywa w tym zbiorze gang liczb pierwszych, ilorazowych sobków, podzielnych bez reszty tylko przez jedynkę, czyli swój jedyny dzielnik właściwy (liczbę naturalną od nich mniejszą) Ta samolubstwo otworzyło im drzwi banków, sztabów wojskowych i dyplomacji. Powód? Skoro nie chcą się dzielić, to nie podzielą się powierzoną tajemnicą.
| Uwaga! Liczba 1 nie jest uznawana za liczbę pierwszą, bowiem nie ma dzielników właściwych. Ustanawia to jej nieco pokrętny status – nie jest pierwsza, ani złożona, w przeciwieństwie do wszystkich innych liczb naturalnych. Krótko mówiąc, jedynka jest wyjątkowa, bo dzięki niej liczb naturalnych są aż trzy rodzaje – pierwsze, złożone i jedna jedyna liczba typu „ani ani”, czyli właśnie jedynka. |
Jakiś czas temu Roger Schlafly, matematyk i fizyk z University of California Santa Cruz podreptał do U.S. Patent and Trademark Office z nową 150-cyfrową liczbą pierwszą pod pachą. „To, oczywiście, idiotyczne! Ale chciałem się przekonać, jakie dziwadła można jeszcze opatentować.” – oświadczył z przekąsem. Patent przyznano. Faktem jest, że nie była to „pierwsza lepsza” liczba pierwsza. Patentowa petentka miała pierwszorzędną własność: upraszczała dzielenie modularne (czyli dzielenie z resztą) wykorzystywane w kryptografii. Spełniała więc kryteria patentowe: była nowa i użyteczna.
Największą obecnie (póki co!, stan na 22.03.2025) znaną liczbą pierwszą jest 52. liczba Mersenne’a 2136 279 841 – 1, liczbowy potwór (41 024 320 cyfr dziesiętnych), którego „wyszperał” amerykański amator matematyk Luke Durant, bijąc poprzedni rekord sprzed sześciu lat.
Dumą zbioru N jest zasada indukcji matematycznej (zwana potocznie efektem domina) – metoda dowodzenia, będąca ulubioną zabawką matematyków. Dzięki niej możemy wdrapać się nawet na nieskończoną drabinę, jeśli spełnimy dwa proste warunki: po pierwsze, potrafimy wejść na najniższy szczebel; po drugie, umiemy przejść z jednego szczebla na następny.
Historycznie laur pierwszeństwa dzierży Francesco Maurolico, matematyk i astronom z Królestwa Sycylii, który w 1575 roku wykazał indukcyjnie, że suma n pierwszych liczb nieparzystych jest równa n2, tzn.
1 + 3 + … + (2n –1) = n2.
W praktyce, która często lubi droczyć się z teorią, indukcja nie jest już tak prosta, o czym mówi opowiastka Raymonda Smullyana (cyt. z pamięci).
| Szukając nieśmiertelności pewien Grek odwiedził mędrca Dalekiego Wschodu, który słynął jako specjalista w tej dziedzinie. – Mistrzu, chciałbym zyskać nieśmiertelność. – Och, to proste – odparł mędrzec. Wystarczy spełnić dwa warunki: Pierwszy, postanów i, co ważne, dotrzymaj: „Zawsze będę mówił prawdę”. Drugi warunek, mów codziennie: „Powtórzę to zdanie jutro”. – Mistrzu. Jak mam powiedzieć zgodnie z prawdą, że powtórzę coś jutro, skoro nawet nie wiem, czy jutro będę jeszcze żył? – Cóż – odparł mędrzec – jak rozumiem, chodzi o rozwiązanie praktyczne. Niestety, to już nie moja rzecz. Ja zajmuję się tylko teorią. |
| Z = Monarchia Liczb Całkowitych |
Swoboda odejmowania (w Księstwie Liczb Naturalnych obwarowanego ograniczeniami) wymaga paszportu Monarchii Liczb Całkowitych. Dopiero z pieczątką minus można iść na całość i zapędzać się w co poniektóre arytmetyczne ostępy. Jednak dzielenie wymaga przekroczenia kolejnej granicy.
Zaskakuje zatem fakt, że w Europie liczby ujemne zostały uznane niewiele ponad trzy wieki temu, a pełne zasady arytmetyki znamy zaledwie od dwóch wieków. Już na początku VII wieku liczby ujemne były używane w Indiach do księgowania długów. W Europie aż do XVII wieku nie były mile widziane – wręcz traktowano je jako intruzki i nazywając liczbami dłużnymi.
Liczby całkowite, a szczególnie ujemne, nie były rozpieszczane przez historię. Długą drogę musiało zdeptać zero nim uzyskało liczbowe obywatelstwo. Jeszcze dłuższą, i do tego opłotkami, miały do pokonania ujemności. Michael Stifel, szesnastowieczny mnich i matematyk w jednym habicie, uznawał liczby ujemne za absurd. Jego uzasadnienie brzmiało na pozór logicznie: „Z liczbami tymi wszystko dzieje się absurdalnie. Dodawanie powoduje zmniejszenie, a odejmowanie – powiększenie”.
Jeszcze gorzej, bo do poziomu liczb fałszywych degradował ujemności nawet Kartezjusz (ten od Cogito ergo sum), czyli Rene Descartes. Jego argument wydawał się „oczywisty”: jeśli w jednej w celi siedziało dwóch aresztantów, a zwolniono trzech, to jednego z nich trzeba z powrotem zamknąć, aby cela nadal stała pusta, co jest zgodne z prawdziwą poza wszelkie wątpliwości równością
2 – 3 + 1 = 0.
Chwalić Boga, liczby ujemne, nie poddały się dyskryminacyjnej presji i w niezłej kondycji dotrwały do naszych czasów.
Choć liczby całkowite są rozszerzeniem naturalnych (inaczej mówiąc, zbiór naturalnych jest podzbiorem całkowitych) i wydaje się, że całkowitych jest dwa razy więcej, to nic z tych rzeczy. Doszły nowe liczby, ale ich liczba wcale się nie zwiększyła. Zbiory te są równoliczne, czyli naturalnych i całkowitych jest tyle samo. Tę równoliczność ilustruje tzw. zasada balowa, w której liczby naturalne i całkowite dobierają się w pary jak na balu:
Liczby naturalne parzyste tworzą pary z całkowitymi nieujemnymi: (0; 0), (2; 1), (4; 2), …,
a naturalne nieparzyste tworzą pary z całkowitymi ujemnymi: (1; ‑1), (3; ‑2), (5; ‑3), ….
To jest czar i urok nieskończoności, gdzie część może być równa całości (biorąc pod uwagę liczebność elementów).
| Q = Królestwo Liczb Wymiernych |
By zyskać swobodę dzielenia, musimy przekroczyć kolejną granicę i wkroczyć do królestwa wymierności, gdzie liczby produkuje się przy pomocy maszynek do siekania liczb całkowitych na plasterki (czytaj: ułamki) dowolnej wielkości.
Można by znów sądzić, że przez przejście od liczb naturalnych poprzez całkowite do wymiernych bogactwo liczb rośnie. Obraz zwodzi w tej iluzji pozorów i jest to jedna strona medalu. Bo druga strona jest taka, że wzrost jest jedynie jakościowy. Ilościowo nic się nie zmienia; wymiernych jest tyle samo, co całkowitych, a tych ostatnich tyle, co naturalnych. Zbiory te są równoliczne (tej samej mocy), co oznacza, że są przeliczalne, (równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych). Owe zbiorowe fanaberie to syndrom nieskończoności – liczb na półkach przybywa, a stan regałów bez zmian. Mnogość wszystkich trzech zbiorów jest taka sama, Liczby wymierne, całkowite i naturalne, są w pierwszym policzalnym kręgu nieskończoności, co dowiódł niemiecki matematyk Georg Cantor (1845–1918), twórca teorii mnogości.
Liczby wymierne to udręka „matematycznych nóg”. By im ulżyć, flamandzki matematyk i inżynier Simon Stevin wynalazł w XVI wieku ułamki dziesiętne. Strzał w dziesiątkę! Szybko stały się one rachunkową normalką. Nieco później dziesiętność wpakowano na wagę, do kas i pracowni krawieckich. Oporną okazała się geometria, kryjąc się po kątach z mierzeniem kątów. Także czas wytrzymał próbę czasu i godzina ciągle ma 60 minut, te zaś 60 sekund. Dopiero podczas nurkowania głębiej w czasie pojawiają się ułamki dziesiętne – dla określenia części sekundy.
| R = Cesarstwo Liczb Rzeczywistych |
Zbiór R to olbrzymi wór bez dna i wierzchu, mieszczący w sobie całą wymierność i niewymierność. Z jednej strony przypomina oś liczbową, z drugiej – zbiór. Każda liczba rzeczywista ma siedzibę w dokładnie jednym punkcie osi i odwrotnie, każdy punkt jest „ożeniony” z jedną liczbą rzeczywistą.
Tkwiąca w tym worku niewymierność, wywołała u starożytnych kryzys egzystencjalny. Pitagoras jako pierwszy musiał przełknąć niewymierną pigułkę, mierząc się z pierwiastkiem z dwóch, który istnieje geometrycznie jako przekątna kwadratu, a jako ułamek jest niewyrażalny, Jak mawiali wówczas Grecy – nie daje się zułamkować. Ma to nawet posmak kryminalny. Pitagorejczycy uznali to za skandal i starali się ukryć ten fakt, a zdradę tajemnicy niektórzy przypłacili życiem. Sprawiło to też, że nabrano algebro-wstrętu i parano się głównie geometrią.
Najbardziej zaskakuje fakt, że gdyby w przepastnym worze R liczby wymierne były białymi kulami, a niewymierne czarnymi, to białe byłyby prawdziwym białym krukiem – można by gmerać nieskończenie długo i bezmiernie głęboko, nim trafiłoby się na którąś z nich. Ponadto R – jako oś liczbowa – jest jednym kawałkiem i wszystkie liczby są tak ciasno upakowane, że nie ma między nimi żadnych dziur (w języku matematyki nazywa się to ciągłością). To właśnie brak ciągłości, czyli dziurawość zbioru liczb wymiernych, stanowi ich niewybaczalny feler. Dlaczego? Bo dziurami umyka np. piękno sinusa, magia tangensa, powab logarytmu i wdzięk pierwiastka. Dopiero zbiór R zlikwidował to ewidentne marnotrawstwo.
Zbiór R to już inny świat, inna bajka. R nie jest równoliczny z N – jest nieprzeliczalny i tym samym zbiór liczb rzeczywistych ma moc większą niż zbiór liczb naturalnych.
| C = Imperium Liczb Zespolonych |
Cesarstwo R, choć potęgą jest i basta, okazuje się bezsilne wobec pierwiastków kwadratowych z liczb ujemnych. Staje się to możliwe dopiero, gdy wdepniemy na teren ósmego cudu świata, magicznych liczb zespolonych. Tu można wyciągać pierwiastki ze wszystkiego i dowolnego stopnia, o czym w rzeczywistości liczb rzeczywistych można tylko wzdychać i marzyć, niestety, po próżnicy.
Liczby zespolone to idealne rozszerzenie worka rzeczywistego. Patrząc geometrycznie (Gauss), są punktami płaszczyzny. Widząc algebraicznie (sir Hamilton), ta matematyczna codzienność ma postać: z = a + bi, gdzie i 2 = –1. Oba spojrzenia są równoważne, ukazując przód i tył tej samej małpy. Bo liczba z = a + bi jest zespolona z dwóch kawałków – rzeczywistego a (odciętej punktu z) oraz urojonego bi (rzędnej punktu z).
Królewna i, tzw. jednostka urojona (ang. imaginary unit), włada niepodzielnie Imperium C, gdzie pierwiastkowanie liczb ujemnych nie jest występkiem. Więcej, stanowi chleb powszedni. Bez liczb zespolonych matematyk nie wychodzi z domu, a elektryk nie przychodzi do pracy. Urojona infantka jest też ulubienicą fizyków, występując w podstawowym dla kwantówki równaniu Schrödingera. Tym samym wyszło na jaw, że rzeczywisty gmach fizyki stoi na urojonym fundamencie.
Jeszcze do niedawna zwykło się przyjmować, że liczby zespolone to wyłącznie matematyczny hokus-pokus – użyteczne w fizyce kwantowej narzędzie, podobnie jak w elektrotechnice, gdzie przydają się do opisu obwodów elektrycznych prądu przemiennego, określając jego moc czynną oraz bierną. Uznawano, że sens fizyczny mają tylko wyniki wyrażone liczbami rzeczywistymi. Jednak w 2021 roku polsko-chińsko-kanadyjski zespół naukowców pod kierownictwem Alexandra Streltsova (Uniwersytet Warszawski) udowodnił, że urojona część mechaniki kwantowej jest obserwowalna w akcji w rzeczywistym świecie. Prace zespołu ukazały się w tymże roku w renomowanych czasopismach: „Resource theory of imaginarity: Quantification and state conversion” (Physical Review A) oraz „Operational Resource Theory of Imaginarity” (Physical Review Letters). Tym samym liczby zespolone awansowały z opisowego narzędzia do „rzeczy samej w sobie”.
***
Zauważmy, że liczby rzeczywiste, rządzące osią liczbową (panoszące się na niej według zrzęd kręcących nosem na wszystko), są jednowymiarowe.
Zespolone dwujednostkowce (o jednostkach 1, i), opisujące płaszczyznę, to już świat dwuwymiarowy.
Królowa Nauk, jak zwykle nie po raz pierwszy i chyba nie ostatni, zaszokowała wszystkich, gdy wyszło na jaw, że w jej ogródku nie ma liczb trójwymiarowych. Trzeci wymiar jest po prostu liczbowym ugorem.
Następne w tej wymiarowej kolejce są czterowymiarowe kwaterniony (jednostki 1, i, j, k, gdzie i2 = j2 = k2 = –1 oraz ij = – ji = k, ki = –ik = j, jk = –kj = i), odkryte przez irlandzkiego matematyka sir Rowana Hamiltona (1805 – 1865). Określił on liczby zespolone jako pary liczb rzeczywistych, a kwaterniony jako pary liczb zespolonych, które dodaje się i mnoży jak poczciwe wielomiany. Ale zawsze jest coś za coś. Tym „za cosiem” jest algebraiczny szkopuł, że ab ≠ ba, czyli mnożenie w światku kwaternionów nie jest przemienne.
Liczbowy świat kryje w sobie jeszcze jedną niespodziankę – kres systemów liczbowych. Twierdzenie Ferdinanda Georga Frobeniusa (1849–1917) mówi wprost i bez ogródek, że poza tymi trzema nie istnieją inne wielojednostkowce, spełniające naturalne warunki arytmetyki. Liczby rzeczywiste, zespolone, kwaterniony i stop, amen, kropka. Krótko mówiąc, więcej takich dwóch, jak tych trzech, nie ma już ani jednego.
Nadmieńmy tylko, że matematyka ma w zanadrzu jeszcze stworki zwane oktonionami (8‑wymiarowe) i sedenionami (16-wymiarowe). Niestety, oba są skażone poważnymi „felerami”. Oktoniony nie mają łączności mnożenia.
| Własność łączności polega na tym, że przy mnożeniu kilku liczb, można dowolnie łączyć dwa sąsiadujące czynniki, a iloczyn nie ulega zmianie, czyli algebraicznie a(bc) ≠ (ab)c. |
Sedenionom jest jeszcze dalej do naturalnej arytmetyki. Powód? Mają dużo „paskudniejsze” własności – pojawiają się w nich dzielniki zera, czyli niezerowe liczby, których iloczyn wynosi zero.
Tadeusz Ostrowski
dr nauk matematycznych
