Czy twier­dze­nie Pita­go­ra­sa, tak dobrze zna­ne nam ze szko­ły, może nas jesz­cze czymś zasko­czyć? Czy, mimo że zna­ne są set­ki róż­nych dowo­dów tego twier­dze­nia, moż­na wymy­ślić nowy? A czy takie odkry­cie może być dzie­łem ucznia szko­ły średniej?

W piśmie „The Ame­ri­can Mathe­ma­ti­cal Mon­th­ly” (numer 8 z 2024 r.) uka­zał się arty­kuł, któ­ry zatrząsł posa­da­mi świa­ta mate­ma­ty­ki szkol­nej. Autor­ka­mi są dwie mło­de Ame­ry­kan­ki – Cal­cea John­son i Ne’Kiya Jack­son. W arty­ku­le „Five or Ten New Pro­ofs of the Pytha­go­re­an The­orem” przed­sta­wi­ły nowe podej­ście do dowo­dze­nia twier­dze­nia Pita­go­ra­sa i zapre­zen­to­wa­ły pięć nowych dowodów.

Zdję­cie z pro­gra­mu 60 Minu­tes tele­wi­zji CBS

Naj­bar­dziej zaska­ku­ją­ce w tej histo­rii jest to, że zarów­no Cal­cea, jak i Ne’Kiya były jesz­cze uczen­ni­ca­mi szko­ły śred­niej, gdy doko­na­ły swych odkryć. Klu­czo­we wyni­ki swych wie­lo­ty­go­dnio­wych docie­kań uzy­ska­ły nie­za­leż­nie od sie­bie! Jak więc odkry­cie uczen­nic zna­la­zło się w pre­sti­żo­wym czasopiśmie?

War­to dodać, że „The Ame­ri­can Mathe­ma­ti­cal Mon­th­ly” to pismo, wyda­wa­ne już od 1894 roku, któ­re­go celem jest przed­sta­wia­nie nowych osią­gnięć z róż­nych dzie­dzin mate­ma­ty­ki w spo­sób zro­zu­mia­ły i przy­stęp­ny dla sze­ro­kie­go gro­na odbiorców.

Dziew­czę­ta wzię­ły udział w kon­kur­sie mate­ma­tycz­nym, w któ­rym jako dodat­ko­we zada­nie zapro­po­no­wa­no uczest­ni­kom opra­co­wa­nie nowe­go dowo­du twier­dze­nia Pita­go­ra­sa. Pod­ję­ły to wyzwa­nie i zna­la­zły nowy spo­sób udo­wod­nie­nia twier­dze­nia Pita­go­ra­sa przy uży­ciu try­go­no­me­trii. I to nie jeden! Cal­cea i Ne’Kiya otrzy­ma­ły zapro­sze­nie, by przed­sta­wić swo­ją pra­cę na jed­nej z kon­fe­ren­cji nauko­wych Ame­ry­kań­skie­go Towa­rzy­stwa Mate­ma­tycz­ne­go w mar­cu 2023 r. w Atlan­cie. Zachę­co­ne entu­zja­stycz­ną reak­cją posta­no­wi­ły przy­go­to­wać arty­kuł, pod­da­jąc go pro­ce­so­wi nauko­wej recenzji.

We wstę­pie do pra­cy autor­ki pod­kre­śli­ły, że szkol­na try­go­no­me­tria nie wzbu­dza sym­pa­tii wśród ich kole­gów i kole­ża­nek. A ta ich nie­uf­ność ma – jak twier­dzą autor­ki – racjo­nal­ne pod­sta­wy: naj­pierw pozna­je się w szko­le defi­ni­cje funk­cji try­go­no­me­trycz­nych dla kątów ostrych w trój­ką­cie pro­sto­kąt­nym (jako sto­sun­ki dłu­go­ści odpo­wied­nich boków w trój­ką­cie), a potem na kolej­nych lek­cjach trój­kąt zastę­pu­je się tzw. kołem jed­nost­ko­wym. Tą samą nazwą („try­go­no­me­trycz­ne”) okre­śla się funk­cje zmien­nej rze­czy­wi­stej i nagle cosi­nus 90 stop­ni (kąta utoż­sa­mio­ne­go z licz­bą π/2) nabie­ra nowe­go znaczenia.

Wyko­rzy­sta­nie try­go­no­me­trii w dowo­dze­niu twier­dze­nia Pita­go­ra­sa wyda­je się nie­moż­li­we. Cal­cea i Ne’Kiya przy­wo­ła­ły książ­kę pro­fe­so­ra Eli­shy S. Loomi­sa z 1940 roku pod tytu­łem „The Pytha­go­re­an Pro­po­si­tion”, w któ­rej autor zebrał ponad sto dowo­dów twier­dze­nia Pita­go­ra­sa. Zna­la­zły w niej stwier­dze­nie: „dowo­dy try­go­no­me­trycz­ne nie ist­nie­ją, ponie­waż wszyst­kie pod­sta­wo­we toż­sa­mo­ści try­go­no­me­trycz­ne opie­ra­ją się na twier­dze­niu Pitagorasa”.

Gdy defi­niu­je­my funk­cje sinus i cosi­nus pew­ne­go kąta \(\alpha\) za pomo­cą okrę­gu jed­nost­ko­we­go, któ­re­go rów­na­nie, wypro­wa­dzo­ne z pomo­cą twier­dze­nia Pita­go­ra­sa, ma postać \(x^{2} + y^{2} = 1\) to w kon­se­kwen­cji otrzy­mu­je­my rów­ność \(\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1\). Dowo­dy z uży­ciem tak okre­ślo­nych funk­cji try­go­no­me­trycz­nych były­by więc – jak to żar­to­bli­wie mówią mate­ma­ty­cy – „dowo­dem przez zało­że­nie tezy”.

Nasto­lat­ki posta­no­wi­ły sku­pić się tyl­ko na takim podej­ściu do try­go­no­me­trii, w któ­rym funk­cje try­go­no­me­trycz­ne defi­niu­je się wyłącz­nie w kon­tek­ście trój­ką­ta pro­sto­kąt­ne­go. W swo­jej pra­cy wyko­rzy­sta­ły rów­nież inne pod­sta­wo­we poję­cia i narzę­dzia geo­me­trii eukli­de­so­wej, zna­ne im z wcze­śniej­szej edu­ka­cji, dba­jąc o to, aby w żad­nym momen­cie pośred­nio nie opie­rać się na twier­dze­niu Pita­go­ra­sa. Autor­ki wyko­rzy­sta­ły mię­dzy inny­mi fakt, że kąty w trój­ką­cie sumu­ją się do kąta pół­peł­ne­go, oraz że w trój­ką­cie pro­sto­kąt­nym spodek wyso­ko­ści popro­wa­dzo­nej z wierz­choł­ka kąta pro­ste­go znaj­du­je się na prze­ciw­pro­sto­kąt­nej. W nie­któ­rych dowo­dach wyko­rzy­sta­no tak­że wzo­ry na pole trój­ką­ta i kwadratu.

***

Naj­pierw zobacz­my jak łatwo – co pod­kre­śli­ły autor­ki – udo­wod­nić twier­dze­nie Pita­go­ra­sa dla trój­ką­ta pro­sto­kąt­ne­go rów­no­ra­mien­ne­go. Wystar­czy, że potra­fi­my liczyć pole kwadratu.

Weź­my dwa iden­tycz­ne trój­ką­ty pro­sto­kąt­ne równoramienne:

Może­my z dwóch takich trój­ką­tów zbu­do­wać kwa­drat o boku a i polu \(a^{2}\).

Z czte­rech może­my zbu­do­wać kwa­drat o boku c.
Poni­żej „obraz­ko­wy” dowód twier­dze­nia Pita­go­ra­sa w tym przypadku:

W czte­rech z pię­ciu dowo­dów zapre­zen­to­wa­nych przez Cal­ceę John­son i Ne’Kiyę Jack­son koniecz­ne było zało­że­nie, że trój­ką­ty nie są rów­no­ra­mien­ne. Zachę­ca­my czy­tel­ni­ka, aby zasta­no­wił się dlaczego.

***

Przed przed­sta­wie­niem nowych dowo­dów twier­dze­nia Pita­go­ra­sa autor­ki w swym arty­ku­le poka­za­ły pomy­sło­wą meto­dę wypro­wa­dza­nia wzo­rów na sinus sumy kątów i cosi­nus sumy kątów, a tak­że uza­sad­nie­nie twier­dze­nia sinu­sów (dla kątów ostrych).

Autor­ki zamie­ści­ły nastę­pu­ją­cy rysunek:

Prze­ana­li­zuj­my ten inte­re­su­ją­cy spo­sób wypro­wa­dze­nia wzorów.

Rysu­je­my trój­kąt pro­sto­kąt­ny o prze­ciw­pro­sto­kąt­nej o dłu­go­ści 1 oraz kącie ostrym \(\beta\) przy wierz­choł­ku A.

Wte­dy z defi­ni­cji funk­cji try­go­no­me­trycz­nych kąta ostre­go w trój­ką­cie pro­sto­kąt­nym mamy:

\(\sin\beta = \frac{BC}{AC}\), stąd \(BC = \sin\beta\)

oraz

\(\cos\beta = \frac{AB}{AC}\), stąd \(AB = \cos\beta\)

Następ­nie dory­so­wu­je­my trój­kąt pro­sto­kąt­ny ADB o prze­ciw­pro­sto­kąt­nej AB i kącie ostrym \(\alpha\) przy wierz­choł­ku A. Kon­stru­uje­my rów­nież odpo­wied­ni trój­kąt pro­sto­kąt­ny ACF o prze­ciw­pro­sto­kąt­nej 1. Wte­dy mia­ra kąta ACF jest rów­na \(\alpha + \beta\).

Z defi­ni­cji funk­cji try­go­no­me­trycz­nych wyzna­cza­my dłu­gość odcin­ków AF i FC:

\(\frac{AF}{AC} = \sin(\alpha + \beta)\), stąd \(AF = \sin(\alpha + \beta)\)

oraz

\(\frac{FC}{AC} = \cos(\alpha + \beta)\), stąd \(FC = \cos(\alpha + \beta)\)

Z punk­tu C pro­wa­dzi­my pro­stą pro­sto­pa­dłą do AD, a z punk­tu B pro­stą pro­sto­pa­dłą do AF. Ich punkt prze­cię­cia oznacz­my przez E. W ten spo­sób powsta­je trój­kąt pro­sto­kąt­ny EBC o prze­ciw­pro­sto­kąt­nej dłu­go­ści \(\sin\beta\).

Oblicz­my dłu­go­ści przy­pro­sto­kąt­nych w zazna­czo­nych trójkątach.
W trój­ką­cie ADB mamy:

\(\cos\alpha = \frac{a}{\cos\beta}\), czy­li \(a = \cos\alpha \cdot \cos\beta\)

\(\sin\alpha = \frac{b}{\cos\beta}\), czy­li \(b = \sin\alpha \cdot \cos\beta\)

Nato­miast w trój­ką­cie EBC:

\(\sin\alpha = \frac{c}{\sin\beta}\), czy­li \(c = \sin\alpha \cdot \sin\beta\)

\(\cos\alpha = \frac{d}{\sin\beta}\), czy­li \(d = \cos\alpha \cdot \sin\beta\)

Mamy już wszyst­kie potrzeb­ne infor­ma­cje do zapi­sa­nia rów­no­ści: \(AF = b{ }+{ }d{ }\) oraz \(FC = a{ }-{ }c{ }\) za pomo­cą funk­cji trygonometrycznych.

Pierw­sza z nich będzie mieć postać \(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cdot \cos\beta + \cos\alpha \cdot \sin\beta{,}\) nato­miast dru­ga: \(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cdot \cos\beta – \sin\alpha \cdot \sin\beta{.}\)

Jeśli \(\alpha < 45^{o}\) oraz \(\sin\alpha = \frac{a}{c}\) i \(\cos\alpha = \frac{b}{c}{,}\) dosta­nie­my nastę­pu­ją­ce równości:

\(\sin(2\alpha) = 2 \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha = \frac{2ab}{c^{2}}\)
oraz
\(\cos(2\alpha) = \cos^{2}\alpha – \sin^{2}\alpha = \frac{b^{2} – a^{2}}{c^{2}}{.}\)

Wie­dząc, że ilo­raz opi­su­ją­cy war­tość funk­cji sinus jed­ne­go kąta ostre­go w trój­ką­cie pro­sto­kąt­nym opi­su­je jed­no­cze­śnie cosi­nus dru­gie­go kąta ostre­go, może­my wypro­wa­dzić wzór na sinus kąta, któ­re­go mia­ra jest róż­ni­cą \(\beta – \alpha\):
\(\sin(\beta – \alpha) = \cos\left( 90^{o} – (\beta – \alpha) \right) = \)
\(= \cos\left( (\alpha+ \beta) – (\beta – \alpha) \right) = \cos 2\alpha = \frac{b^{2} – a^{2}}{c^{2}} {.}\)

***

Twier­dze­nie sinu­sów rów­nież zosta­ło uza­sad­nio­ne w nie­zwy­kle pro­sty spo­sób, w opar­ciu o pod­sta­wo­wą defi­ni­cję funk­cji sinus jako sto­sun­ku dłu­go­ści boków w trój­ką­cie pro­sto­kąt­nym. Aby to zoba­czyć, nary­suj­my dowol­ny trój­kąt i popro­wadź­my jego wyso­kość wewnątrz trójkąta.

W trój­ką­cie \(ADC\) \(\sin\alpha = \frac{CD}{b}\) czy­li \(CD = b \cdot \sin\alpha\), nato­miast w trój­ką­cie \(DBC\) \(\sin\beta = \frac{CD}{a}\) czyli\(CD = a \cdot \sin\beta\).

Wte­dy oczy­wi­ście \(b \cdot \sin\alpha = a \cdot \sin\beta\) zatem, \(\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}\) a to już dokład­nie zna­na nam postać twier­dze­nia sinusów.

***

Prze­ana­li­zuj­my dru­gi z dowo­dów twier­dze­nia Pita­go­ra­sa zapro­po­no­wa­nych przez Cal­ceę i Ne’Kiyę.
Weź­my trój­kąt pro­sto­kąt­ny ABC a punkt D umie­ść­my na pro­stej BC tak, aby \(\angle BAD = \alpha\).

Wte­dy \(\angle CDA = \beta – \alpha\).

Zasto­suj­my naj­pierw twier­dze­nie sinu­sów w trój­ką­cie ACD:

\(\frac{\mathit{CD}}{\sin \left(2\alpha \right)}=\frac{\mathit{AC}}{\sin \left(\beta -\alpha \right)} \)

\(\frac{\mathit{CD}}{\frac{2\mathit{ab}}{c^2}}=\frac b{\frac{b^2‑a^2}{c^2}} \)

\({CD}=\frac{2\mathit{ab}^2}{b^2‑a^2}\)

Stąd \(BD = CD – BC = \frac{2{ab}^{2}}{b^{2} – a^{2}} – a = \frac{a\left( a^{2} + b^{2} \right)}{b^{2} – a^{2}}\)

Następ­nie sto­su­je­my twier­dze­nie sinu­sów w trój­ką­cie ABD:

\(\frac{\mathit{BD}}{\sin \left(\alpha \right)}=\frac{\mathit{AB}}{\sin \left(\beta -\alpha \right)} \)

\(\frac{\mathit{BD}}{\frac a c}=\frac c{\frac{b^2‑a^2}{c^2}} \)

\({BD}=\frac{\mathit{ac}^2}{b^2‑a^2} \)

Porów­nu­jąc oba wyra­że­nia opi­su­ją­ce dłu­gość BD dosta­je­my: \(\frac{a\left( a^{2} + b^{2} \right)}{b^{2} – a^{2}} = \frac{{ac}^{2}}{b^{2} – a^{2}}\), a stąd po pro­stych prze­kształ­ce­niach otrzy­mu­je­my rów­ność \(a^{2} + b^{2} = c^{2}\).

Zachę­ca­my do pobra­nia arty­ku­łu ze stro­ny „The Ame­ri­can Mathe­ma­ti­cal Mon­th­ly” i prze­ana­li­zo­wa­nia pozo­sta­łych dowo­dów twier­dze­nia Pita­go­ra­sa przed­sta­wio­nych przez autor­ki. War­to tak­że pod­jąć pró­bę zna­le­zie­nia innych dowo­dów twier­dze­nia Pita­go­ra­sa, korzy­sta­jąc z pod­po­wie­dzi, któ­re dziew­czę­ta zawar­ły w swo­im artykule!

***

Cal­cea John­son i Ne’Kiya Jack­son ukoń­czy­ły szko­łę śred­nią w 2023 roku. Cal­cea obec­nie stu­diu­je far­ma­cję na Uni­wer­sy­te­cie św. Fran­cisz­ka Ksa­we­re­go w Luizja­nie, nato­miast Ne’Kiya wybra­ła stu­dia z inży­nie­rii śro­do­wi­ska na Uni­wer­sy­te­cie Sta­nu Luizjana.

W jed­nym z wywia­dów Cal­cea powie­dzia­ła, że jest nie­zwy­kle dum­na ze swo­je­go osią­gnię­cia i z tego, że zarów­no ona, jak i Ne’Kiya poka­za­ły innym mło­dym kobie­tom, że tak­że one mogą zaj­mo­wać się nauka­mi ści­sły­mi, jeśli tyl­ko zechcą pod­jąć wyzwa­nie i reali­zo­wać to marzenie.

Del­la Dum­baugh, redak­tor­ka naczel­na „Ame­ri­can Mathe­ma­ti­cal Mon­th­ly” w komen­ta­rzu zamiesz­czo­nym pod arty­ku­łem pod­kre­śli­ła, że opu­bli­ko­wa­nie pra­cy mate­ma­tycz­nej osób w tak mło­dym wie­ku to dla cza­so­pi­sma praw­dzi­wy zaszczyt. Rów­no­cze­śnie zazna­czy­ła, że wyni­ki uzy­ska­ne przez nasto­lat­ki, John­son i Jack­son, są zachę­tą do tego, by uważ­niej przy­glą­dać się temu, jaki poten­cjał tkwi w pro­mo­wa­niu pra­cy nauko­wej wśród uczniów i stu­den­tów. Ich nowa­tor­skie i świe­że podej­ście do mate­ma­ty­ki jesz­cze nie raz może nas zasko­czyć rów­nie cie­ka­wy­mi odkry­cia­mi, pro­wa­dzą­cy­mi do pew­nych uzu­peł­nień teo­rii mate­ma­ty­ki ele­men­tar­nej (szkol­nej). Dum­baugh zwró­ci­ła rów­nież uwa­gę na klu­czo­wą rolę nauczycieli.

Joan­na Politarczyk


War­to w tym miej­scu wspo­mnieć o pol­skich kon­kur­sach mate­ma­tycz­nych, w któ­rych ucznio­wie szkół śred­nich mogą zapre­zen­to­wać swo­je pra­ce. Przy­kła­dem niech będzie Kon­kurs Uczniow­skich Prac z Mate­ma­ty­ki im. Paw­ła Domań­skie­go orga­ni­zo­wa­ny przez Pol­skie Towa­rzy­stwo Mate­ma­tycz­ne i redak­cję Delty.