Czy twierdzenie Pitagorasa, tak dobrze znane nam ze szkoły, może nas jeszcze czymś zaskoczyć? Czy, mimo że znane są setki różnych dowodów tego twierdzenia, można wymyślić nowy? A czy takie odkrycie może być dziełem ucznia szkoły średniej?
W piśmie „The American Mathematical Monthly” (numer 8 z 2024 r.) ukazał się artykuł, który zatrząsł posadami świata matematyki szkolnej. Autorkami są dwie młode Amerykanki – Calcea Johnson i Ne’Kiya Jackson. W artykule „Five or Ten New Proofs of the Pythagorean Theorem” przedstawiły nowe podejście do dowodzenia twierdzenia Pitagorasa i zaprezentowały pięć nowych dowodów.

Najbardziej zaskakujące w tej historii jest to, że zarówno Calcea, jak i Ne’Kiya były jeszcze uczennicami szkoły średniej, gdy dokonały swych odkryć. Kluczowe wyniki swych wielotygodniowych dociekań uzyskały niezależnie od siebie! Jak więc odkrycie uczennic znalazło się w prestiżowym czasopiśmie?
Warto dodać, że „The American Mathematical Monthly” to pismo, wydawane już od 1894 roku, którego celem jest przedstawianie nowych osiągnięć z różnych dziedzin matematyki w sposób zrozumiały i przystępny dla szerokiego grona odbiorców.
Dziewczęta wzięły udział w konkursie matematycznym, w którym jako dodatkowe zadanie zaproponowano uczestnikom opracowanie nowego dowodu twierdzenia Pitagorasa. Podjęły to wyzwanie i znalazły nowy sposób udowodnienia twierdzenia Pitagorasa przy użyciu trygonometrii. I to nie jeden! Calcea i Ne’Kiya otrzymały zaproszenie, by przedstawić swoją pracę na jednej z konferencji naukowych Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego w marcu 2023 r. w Atlancie. Zachęcone entuzjastyczną reakcją postanowiły przygotować artykuł, poddając go procesowi naukowej recenzji.
We wstępie do pracy autorki podkreśliły, że szkolna trygonometria nie wzbudza sympatii wśród ich kolegów i koleżanek. A ta ich nieufność ma – jak twierdzą autorki – racjonalne podstawy: najpierw poznaje się w szkole definicje funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych w trójkącie prostokątnym (jako stosunki długości odpowiednich boków w trójkącie), a potem na kolejnych lekcjach trójkąt zastępuje się tzw. kołem jednostkowym. Tą samą nazwą („trygonometryczne”) określa się funkcje zmiennej rzeczywistej i nagle cosinus 90 stopni (kąta utożsamionego z liczbą π/2) nabiera nowego znaczenia.
Wykorzystanie trygonometrii w dowodzeniu twierdzenia Pitagorasa wydaje się niemożliwe. Calcea i Ne’Kiya przywołały książkę profesora Elishy S. Loomisa z 1940 roku pod tytułem „The Pythagorean Proposition”, w której autor zebrał ponad sto dowodów twierdzenia Pitagorasa. Znalazły w niej stwierdzenie: „dowody trygonometryczne nie istnieją, ponieważ wszystkie podstawowe tożsamości trygonometryczne opierają się na twierdzeniu Pitagorasa”.
Gdy definiujemy funkcje sinus i cosinus pewnego kąta \(\alpha\) za pomocą okręgu jednostkowego, którego równanie, wyprowadzone z pomocą twierdzenia Pitagorasa, ma postać \(x^{2} + y^{2} = 1\) to w konsekwencji otrzymujemy równość \(\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1\). Dowody z użyciem tak określonych funkcji trygonometrycznych byłyby więc – jak to żartobliwie mówią matematycy – „dowodem przez założenie tezy”.
Nastolatki postanowiły skupić się tylko na takim podejściu do trygonometrii, w którym funkcje trygonometryczne definiuje się wyłącznie w kontekście trójkąta prostokątnego. W swojej pracy wykorzystały również inne podstawowe pojęcia i narzędzia geometrii euklidesowej, znane im z wcześniejszej edukacji, dbając o to, aby w żadnym momencie pośrednio nie opierać się na twierdzeniu Pitagorasa. Autorki wykorzystały między innymi fakt, że kąty w trójkącie sumują się do kąta półpełnego, oraz że w trójkącie prostokątnym spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego znajduje się na przeciwprostokątnej. W niektórych dowodach wykorzystano także wzory na pole trójkąta i kwadratu.
***
Najpierw zobaczmy jak łatwo – co podkreśliły autorki – udowodnić twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego równoramiennego. Wystarczy, że potrafimy liczyć pole kwadratu.
Weźmy dwa identyczne trójkąty prostokątne równoramienne:
Możemy z dwóch takich trójkątów zbudować kwadrat o boku a i polu \(a^{2}\).
Z czterech możemy zbudować kwadrat o boku c.
Poniżej „obrazkowy” dowód twierdzenia Pitagorasa w tym przypadku:
W czterech z pięciu dowodów zaprezentowanych przez Calceę Johnson i Ne’Kiyę Jackson konieczne było założenie, że trójkąty nie są równoramienne. Zachęcamy czytelnika, aby zastanowił się dlaczego.
***
Przed przedstawieniem nowych dowodów twierdzenia Pitagorasa autorki w swym artykule pokazały pomysłową metodę wyprowadzania wzorów na sinus sumy kątów i cosinus sumy kątów, a także uzasadnienie twierdzenia sinusów (dla kątów ostrych).
Autorki zamieściły następujący rysunek:
Przeanalizujmy ten interesujący sposób wyprowadzenia wzorów.
Rysujemy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej o długości 1 oraz kącie ostrym \(\beta\) przy wierzchołku A.
Wtedy z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym mamy:
\(\sin\beta = \frac{BC}{AC}\), stąd \(BC = \sin\beta\)
oraz
\(\cos\beta = \frac{AB}{AC}\), stąd \(AB = \cos\beta\)
Następnie dorysowujemy trójkąt prostokątny ADB o przeciwprostokątnej AB i kącie ostrym \(\alpha\) przy wierzchołku A. Konstruujemy również odpowiedni trójkąt prostokątny ACF o przeciwprostokątnej 1. Wtedy miara kąta ACF jest równa \(\alpha + \beta\).
Z definicji funkcji trygonometrycznych wyznaczamy długość odcinków AF i FC:
\(\frac{AF}{AC} = \sin(\alpha + \beta)\), stąd \(AF = \sin(\alpha + \beta)\)
oraz
\(\frac{FC}{AC} = \cos(\alpha + \beta)\), stąd \(FC = \cos(\alpha + \beta)\)
Z punktu C prowadzimy prostą prostopadłą do AD, a z punktu B prostą prostopadłą do AF. Ich punkt przecięcia oznaczmy przez E. W ten sposób powstaje trójkąt prostokątny EBC o przeciwprostokątnej długości \(\sin\beta\).
Obliczmy długości przyprostokątnych w zaznaczonych trójkątach.
W trójkącie ADB mamy:
\(\cos\alpha = \frac{a}{\cos\beta}\), czyli \(a = \cos\alpha \cdot \cos\beta\)
\(\sin\alpha = \frac{b}{\cos\beta}\), czyli \(b = \sin\alpha \cdot \cos\beta\)
Natomiast w trójkącie EBC:
\(\sin\alpha = \frac{c}{\sin\beta}\), czyli \(c = \sin\alpha \cdot \sin\beta\)
\(\cos\alpha = \frac{d}{\sin\beta}\), czyli \(d = \cos\alpha \cdot \sin\beta\)
Mamy już wszystkie potrzebne informacje do zapisania równości: \(AF = b{ }+{ }d{ }\) oraz \(FC = a{ }-{ }c{ }\) za pomocą funkcji trygonometrycznych.
Pierwsza z nich będzie mieć postać \(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cdot \cos\beta + \cos\alpha \cdot \sin\beta{,}\) natomiast druga: \(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cdot \cos\beta – \sin\alpha \cdot \sin\beta{.}\)
Jeśli \(\alpha < 45^{o}\) oraz \(\sin\alpha = \frac{a}{c}\) i \(\cos\alpha = \frac{b}{c}{,}\) dostaniemy następujące równości:
\(\sin(2\alpha) = 2 \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha = \frac{2ab}{c^{2}}\)
oraz
\(\cos(2\alpha) = \cos^{2}\alpha – \sin^{2}\alpha = \frac{b^{2} – a^{2}}{c^{2}}{.}\)
Wiedząc, że iloraz opisujący wartość funkcji sinus jednego kąta ostrego w trójkącie prostokątnym opisuje jednocześnie cosinus drugiego kąta ostrego, możemy wyprowadzić wzór na sinus kąta, którego miara jest różnicą \(\beta – \alpha\):
\(\sin(\beta – \alpha) = \cos\left( 90^{o} – (\beta – \alpha) \right) = \)
\(= \cos\left( (\alpha+ \beta) – (\beta – \alpha) \right) = \cos 2\alpha = \frac{b^{2} – a^{2}}{c^{2}} {.}\)
***
Twierdzenie sinusów również zostało uzasadnione w niezwykle prosty sposób, w oparciu o podstawową definicję funkcji sinus jako stosunku długości boków w trójkącie prostokątnym. Aby to zobaczyć, narysujmy dowolny trójkąt i poprowadźmy jego wysokość wewnątrz trójkąta.
W trójkącie \(ADC\) \(\sin\alpha = \frac{CD}{b}\) czyli \(CD = b \cdot \sin\alpha\), natomiast w trójkącie \(DBC\) \(\sin\beta = \frac{CD}{a}\) czyli\(CD = a \cdot \sin\beta\).
Wtedy oczywiście \(b \cdot \sin\alpha = a \cdot \sin\beta\) zatem, \(\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}\) a to już dokładnie znana nam postać twierdzenia sinusów.
***
Przeanalizujmy drugi z dowodów twierdzenia Pitagorasa zaproponowanych przez Calceę i Ne’Kiyę.
Weźmy trójkąt prostokątny ABC a punkt D umieśćmy na prostej BC tak, aby \(\angle BAD = \alpha\).
Wtedy \(\angle CDA = \beta – \alpha\).
Zastosujmy najpierw twierdzenie sinusów w trójkącie ACD:
\(\frac{\mathit{CD}}{\sin \left(2\alpha \right)}=\frac{\mathit{AC}}{\sin \left(\beta -\alpha \right)} \)
\(\frac{\mathit{CD}}{\frac{2\mathit{ab}}{c^2}}=\frac b{\frac{b^2‑a^2}{c^2}} \)
\({CD}=\frac{2\mathit{ab}^2}{b^2‑a^2}\)
Stąd \(BD = CD – BC = \frac{2{ab}^{2}}{b^{2} – a^{2}} – a = \frac{a\left( a^{2} + b^{2} \right)}{b^{2} – a^{2}}\)
Następnie stosujemy twierdzenie sinusów w trójkącie ABD:
\(\frac{\mathit{BD}}{\sin \left(\alpha \right)}=\frac{\mathit{AB}}{\sin \left(\beta -\alpha \right)} \)
\(\frac{\mathit{BD}}{\frac a c}=\frac c{\frac{b^2‑a^2}{c^2}} \)
\({BD}=\frac{\mathit{ac}^2}{b^2‑a^2} \)
Porównując oba wyrażenia opisujące długość BD dostajemy: \(\frac{a\left( a^{2} + b^{2} \right)}{b^{2} – a^{2}} = \frac{{ac}^{2}}{b^{2} – a^{2}}\), a stąd po prostych przekształceniach otrzymujemy równość \(a^{2} + b^{2} = c^{2}\).
Zachęcamy do pobrania artykułu ze strony „The American Mathematical Monthly” i przeanalizowania pozostałych dowodów twierdzenia Pitagorasa przedstawionych przez autorki. Warto także podjąć próbę znalezienia innych dowodów twierdzenia Pitagorasa, korzystając z podpowiedzi, które dziewczęta zawarły w swoim artykule!
***
Calcea Johnson i Ne’Kiya Jackson ukończyły szkołę średnią w 2023 roku. Calcea obecnie studiuje farmację na Uniwersytecie św. Franciszka Ksawerego w Luizjanie, natomiast Ne’Kiya wybrała studia z inżynierii środowiska na Uniwersytecie Stanu Luizjana.
W jednym z wywiadów Calcea powiedziała, że jest niezwykle dumna ze swojego osiągnięcia i z tego, że zarówno ona, jak i Ne’Kiya pokazały innym młodym kobietom, że także one mogą zajmować się naukami ścisłymi, jeśli tylko zechcą podjąć wyzwanie i realizować to marzenie.
Della Dumbaugh, redaktorka naczelna „American Mathematical Monthly” w komentarzu zamieszczonym pod artykułem podkreśliła, że opublikowanie pracy matematycznej osób w tak młodym wieku to dla czasopisma prawdziwy zaszczyt. Równocześnie zaznaczyła, że wyniki uzyskane przez nastolatki, Johnson i Jackson, są zachętą do tego, by uważniej przyglądać się temu, jaki potencjał tkwi w promowaniu pracy naukowej wśród uczniów i studentów. Ich nowatorskie i świeże podejście do matematyki jeszcze nie raz może nas zaskoczyć równie ciekawymi odkryciami, prowadzącymi do pewnych uzupełnień teorii matematyki elementarnej (szkolnej). Dumbaugh zwróciła również uwagę na kluczową rolę nauczycieli.
Joanna Politarczyk
Warto w tym miejscu wspomnieć o polskich konkursach matematycznych, w których uczniowie szkół średnich mogą zaprezentować swoje prace. Przykładem niech będzie Konkurs Uczniowskich Prac z Matematyki im. Pawła Domańskiego organizowany przez Polskie Towarzystwo Matematyczne i redakcję Delty.