Muzy­ka od zawsze sta­no­wi istot­ną część ludz­kiej kul­tu­ry, towa­rzy­sząc nam w chwi­lach rado­ści, smut­ku, reflek­sji oraz roz­ryw­ki. Choć naj­czę­ściej odbie­ra­my ją poprzez emo­cje, war­to spoj­rzeć na nią tak­że z per­spek­ty­wy nauki, dostrze­ga­jąc pra­wa i pro­por­cje, któ­re kształ­tu­ją jej brzmienie.

Mate­ma­ty­ka dostar­cza narzę­dzi do opi­su struk­tu­ry dźwię­ków, ryt­mu, har­mo­nii, a tak­że ich wza­jem­nych zależ­no­ści. Z kolei muzy­ka – będą­ca języ­kiem emo­cji – daje mate­ma­ty­ce nowy wymiar, prze­kształ­ca­jąc abs­trak­cyj­ne idee w dźwię­ki, któ­re prze­ma­wia­ją do naszej wraż­li­wo­ści. W tym arty­ku­le spró­bu­je­my przyj­rzeć się, jak licz­by i pro­por­cje wpły­wa­ją na kon­so­nan­se muzycz­ne – te har­mo­nij­ne współ­brz­mie­nia, sta­no­wią­ce esen­cję muzy­ki, jaką znamy.

Kon­so­nans melo­dycz­ny i har­mo­nicz­ny w muzyce
W muzy­ce poję­cia kon­so­nan­su i dyso­nan­su opi­su­ją wra­że­nie, jakie wywo­łu­je współ­brz­mie­nie dźwięków.

Kon­so­nans odno­si się do współ­brz­mie­nia dźwię­ków, któ­re są postrze­ga­ne jako har­mo­nij­ne, sta­bil­ne i przy­jem­ne dla ucha.

Dyso­nans prze­ciw­nie – wpro­wa­dza napię­cie nie­po­kój i wra­że­nie dysharmonii.

War­to zauwa­żyć, że per­cep­cja kon­so­nan­su i dyso­nan­su może się zmie­niać w zależ­no­ści od kon­tek­stu kul­tu­ro­we­go, histo­rycz­ne­go oraz indy­wi­du­al­nych pre­fe­ren­cji słu­cho­wych. Na przy­kład zesta­wie­nia dwóch dźwię­ków, któ­re w muzy­ce śre­dnio­wiecz­nej były uwa­ża­ne za dyso­nan­so­we, z cza­sem zaczę­ły być postrze­ga­ne jako kon­so­nan­so­we – zwłasz­cza w muzy­ce rene­san­so­wej i późniejszej.

Kon­so­nans jest ści­śle powią­za­ny z pro­por­cja­mi licz­bo­wy­mi mię­dzy czę­sto­tli­wo­ścia­mi zesta­wia­nych dźwię­ków. Dźwię­ki, któ­rych czę­sto­tli­wo­ści pozo­sta­ją w pro­stych pro­por­cjach licz­bo­wych (np. 1 : 2, 2 : 3, 3 : 4), są odbie­ra­ne jako kon­so­nan­so­we. Wyni­ka to z fak­tu, że takie pro­por­cje licz­bo­we pro­wa­dzą do regu­lar­nych wzor­ców inter­fe­ren­cji, czy­li nakła­da­nia się fal dźwię­ko­wych, któ­re nasz słuch inter­pre­tu­je jako przy­jem­ne i harmonijne.

Kon­so­nans melo­dycz­ny i har­mo­nicz­ny są fun­da­men­tal­ny­mi ele­men­ta­mi muzy­ki, któ­re wpły­wa­ją na spo­sób, w jaki postrze­ga­my i odczu­wa­my melo­die oraz har­mo­nie. Kon­so­nans melo­dycz­ny wią­że się przy­jem­no­ścią słu­cha­nia sekwen­cji dźwię­ków, two­rzą­cych spój­ną, logicz­nie roz­wi­ja­ją­cą się linię melo­dycz­ną. Z kolei kon­so­nans har­mo­nicz­ny doty­czy współ­brz­mie­nia dźwię­ków gra­nych jed­no­cze­śnie – akor­dów odbie­ra­nych jako przy­jem­ne dla ucha. W obu przy­pad­kach klu­czo­wą rolę odgry­wa­ją inter­wa­ły mię­dzy dźwię­ka­mi oraz ich rela­cje harmoniczne.

Kon­so­nans i dyso­nans peł­nią w muzy­ce role kom­ple­men­tar­ne. Kon­so­nans dostar­cza sta­bil­no­ści i har­mo­nii, pod­czas gdy dyso­nans wpro­wa­dza napię­cie i dyna­mi­kę, któ­re napę­dza­ją roz­wój utwo­ru muzycz­ne­go. Zasto­so­wa­nie dyso­nan­su może wywo­ły­wać ocze­ki­wa­nie na jego roz­wią­za­nie w kon­so­nan­sie, co jest klu­czo­wym ele­men­tem wie­lu kom­po­zy­cji muzycznych.

Ska­la pitagorejska
Muzy­ka, będą­ca wyra­zem ludz­kiej emo­cji i kre­atyw­no­ści, od wie­ków fascy­nu­je i inspi­ru­je róż­ne kul­tu­ry. Fun­da­men­tem melo­dii, rozu­mia­nej jako upo­rząd­ko­wa­na struk­tu­ra dźwię­ków, są inter­wa­ły muzycz­ne, czy­li odle­gło­ści mię­dzy wyso­ko­ścia­mi dźwię­ków, któ­re budu­ją har­mo­nię. W histo­rii muzy­ki szcze­gól­ne zna­cze­nie mia­ły dwie ska­le – pita­go­rej­ska i dwu­na­sto­to­no­wa. Obie mają uni­kal­ne podej­ście do orga­ni­za­cji inter­wa­łów, co wpły­wa na ich brzmie­nie i zasto­so­wa­nie w kom­po­zy­cjach muzycz­nych. W niniej­szym arty­ku­le przyj­rzy­my się pierw­szej z nich – ska­li pita­go­rej­skiej – nato­miast w kolej­nym omó­wi­my ska­lę dwunastotonową.

Ska­la pita­go­rej­ska, opar­ta na pro­por­cjach licz­bo­wych, zosta­ła roz­wi­nię­ta przez Pita­go­ra­sa (ok. 572 p.n.e – ok. 497 p.n.e.), sta­ro­żyt­ne­go grec­kie­go mate­ma­ty­ka i filo­zo­fa, któ­re­go nazwi­sko nosi słyn­ne twier­dze­nie o trój­ką­tach pro­sto­kąt­nych. Pita­go­ras wie­rzył, że har­mo­nia muzycz­na jest odbi­ciem kosmicz­ne­go porząd­ku, a inter­wa­ły mię­dzy dźwię­ka­mi moż­na opi­sać za pomo­cą ilo­ra­zów liczb cał­ko­wi­tych. W pita­go­rej­skiej teo­rii pięk­na szcze­gól­ne zna­cze­nie mia­ły inter­wa­ły wyra­żo­ne naj­prost­szy­mi sto­sun­ka­mi licz­bo­wy­mi: okta­wa (2:1), kwin­ta (3:2) i kwar­ta (4:3). Te pro­por­cje były ilu­stro­wa­ne przez trój­kąt­ną figu­rę geo­me­trycz­ną zwa­ną tetrak­ty­sem, któ­ra przed­sta­wia­ła pierw­sze czte­ry licz­by: 1, 2, 3 i 4.

Pita­go­ras upo­rząd­ko­wał inter­wa­ły pod wzglę­dem zgod­no­ści brzmie­nia dźwię­ków odle­głych o dany inter­wał (kon­so­nan­so­wo­ści). Według nie­go, inter­wał był bar­dziej kon­so­nan­so­wy, jeże­li okre­ślał go sto­su­nek mniej­szych liczb. Na przy­kład okta­wa, wyra­żo­na sto­sun­kiem 2:1, była uzna­wa­na za naj­bar­dziej kon­so­nan­so­wą, kolej­ne miej­sca zaj­mo­wa­ły kwin­ta (3 : 2) i kwar­ta (4 : 3).

Podział stru­ny i monochord
Pod­sta­wą teo­rii Pita­go­ra­sa była obser­wa­cja, że har­mo­nij­ne inter­wa­ły muzycz­ne wyni­ka­ją z podzia­łu stru­ny na czę­ści o odpo­wied­nich pro­por­cjach. Przy pomo­cy mono­chor­du, instru­men­tu skła­da­ją­ce­go się z pudła rezo­nan­so­we­go, jed­nej stru­ny i rucho­me­go most­ka, Pita­go­ras mógł pre­cy­zyj­nie badać zależ­no­ści mię­dzy dłu­go­ścia­mi odcin­ków stru­ny a wyso­ko­ścia­mi dźwięków.

mono­chord

Kie­dy stru­nę podzie­li się most­kiem na dwie rów­ne czę­ści (sto­su­nek 2 : 1) i wpro­wa­dzi w drga­nie tyl­ko jed­ną z nich, powsta­je dźwięk wyż­szy o okta­wę od dźwię­ku pod­sta­wo­we­go. Czę­sto­tli­wość drgań jest wów­czas dwa razy większa.

Podział stru­ny w sto­sun­ku 3 : 2 (mostek usta­wio­ny w 1/3 dłu­go­ści stru­ny od jed­ne­go z koń­ców) daje inter­wał kwin­ty, nato­miast podział 4 : 3 odpo­wia­da kwar­cie. Te pro­ste pro­por­cje sta­no­wi­ły pod­sta­wę ska­li pita­go­rej­skiej, sto­so­wa­nej w muzy­ce przez wie­le stuleci.

Podział stru­ny

Jak to dzia­ła na liczbach?
Aby to lepiej zro­zu­mieć, przyj­rzyj­my się czę­sto­tli­wo­ści dźwię­ków, któ­re mie­rzy­my w her­cach (Hz). Czę­sto­tli­wość ozna­cza licz­bę drgań stru­ny w cią­gu jed­nej sekun­dy – im wyż­sza czę­sto­tli­wość, tym wyż­szy dźwięk słyszymy.

Wyobraź­my sobie, że mamy stru­nę, któ­ra wibru­je z czę­sto­tli­wo­ścią 100 Hz (to nasz dźwięk pod­sta­wo­wy, tzw. toni­ka). Zobacz­my, jakie dźwię­ki może­my uzy­skać, sto­su­jąc pita­go­rej­skie proporcje:

    1. Okta­wa – sto­su­nek 2 : 1 
      • Okta­wa wyż­sza od 100 Hz wyno­si 200 Hz.
      • Jest to naj­czyst­szy i naj­bar­dziej har­mo­nij­ny interwał.
    2. Kwin­ta – sto­su­nek 3 : 2 
      • Kwin­ta powy­żej 100 Hz to 150 Hz.
      • Kwin­ta brzmi bar­dzo har­mo­nij­nie, choć nie­co „jaśniej” niż oktawa.
    3. Kwar­ta – sto­su­nek 4 : 3 
      • Kwar­ta powy­żej 100 Hz to 133,33 Hz.
      • Kwar­ta jest rów­nież har­mo­nij­na, ale róż­ni się od kwin­ty i oktawy.

Ska­la pita­go­rej­ska budu­je wszyst­kie swo­je dźwię­ki na pod­sta­wie tych pro­stych pro­por­cji licz­bo­wych. Ozna­cza to, że każ­dy kolej­ny dźwięk ska­li ma okre­ślo­ną czę­sto­tli­wość w zależ­no­ści od tego, jak dzie­li­my lub mno­ży­my czę­sto­tli­wość dźwię­ku pod­sta­wo­we­go. W tym miej­scu mate­ma­ty­ka spo­ty­ka się z prak­ty­ką muzycz­ną – to wła­śnie kon­se­kwen­cją zasto­so­wa­nia tych pro­stych pro­por­cji jest zja­wi­sko zwa­ne koma­tem pitagorejskim.

Czym jest komat pitagorejski?
Komat pita­go­rej­ski to zja­wi­sko roz­bież­no­ści licz­bo­wej, któ­re poja­wia się, gdy pró­bu­je­my usze­re­go­wać kolej­ne dźwię­ki w ska­lę za pomo­cą pita­go­rej­skich pro­por­cji kwin­ty. W prak­ty­ce muzycz­nej uży­wa­my ska­li dwu­na­sto­dź­wię­ko­wej (czy­li okta­wy podzie­lo­nej na dwa­na­ście pół­to­nów). W sys­te­mie pita­go­rej­skim każ­dy kolej­ny dźwięk moż­na uzy­skać, mno­żąc czę­sto­tli­wość poprzed­nie­go przez 3/2. Aby utrzy­mać dźwię­ki w gra­ni­cach jed­nej okta­wy, wynik czę­sto dzie­li­my przez 2, spro­wa­dza­jąc go do wyj­ścio­wej okta­wy. Jed­nak wyzna­czo­na tą meto­dą dwu­na­sta z kolei war­tość, tj. \( (\frac{3}{2})^{12} \cdot (\frac{1}{2})^{7} \) wca­le nie jest rów­na ilo­ra­zo­wi 2 : 1. Róż­ni­ca ta nosi nazwę koma­tu pitagorejskiego.

Może brzmieć to tro­chę skom­pli­ko­wa­nie. Spró­buj­my to wyja­śnić na przykładzie.

Jeśli mamy dźwięk o czę­sto­tli­wo­ści 100 Hz (her­ców), to kwin­ta powy­żej nie­go będzie mia­ła czę­sto­tli­wość: 100 Hz × 3/2 = 150 Hz.

Załóż­my, że chce­my zbu­do­wać całą ska­lę, zaczy­na­jąc od jakie­goś dźwię­ku, na przy­kład 100 Hz, i doda­jąc kolej­ne kwin­ty. Robi­my to tak:

    1. Pierw­szy dźwięk: 100 Hz
    2. Kwin­ta powy­żej: 100 Hz × 3/2 = 150 Hz
    3. Kolej­na kwin­ta powy­żej: 150 Hz × 3/2 = 225 Hz
    4. I tak dalej, aż do dwu­na­stej kwinty.

Ale co się sta­nie, jeśli doda­my 12 kwint z rzędu?

Zgod­nie z teo­rią Pita­go­ra­sa, po doda­niu 12 kwint powin­ni­śmy wró­cić do dźwię­ku, któ­ry jest sied­mio­ma okta­wa­mi wyżej niż nasz dźwięk początkowy.

Zobacz­my to na liczbach:

    • Nasz począt­ko­wy dźwięk to 100 Hz.
    • Po doda­niu 12 kwint: 
      • 100 Hz × (3/2)¹² ≈ 12 974 Hz
    • A teraz porów­naj­my to z dźwię­kiem, któ­ry jest sied­mio­ma okta­wa­mi wyżej: 
      • 100 Hz × 2⁷ = 100 Hz × 128 = 12 800 Hz

Widzi­my więc, że wynik dla 12 kwint jest nie­co wyż­szy (12 974 Hz) niż dla 7 oktaw (12 800 Hz). Ta sub­tel­na róż­ni­ca – oko­ło 1,0136 : 1 – to wła­śnie komat pita­go­rej­ski. Wyno­si ona oko­ło 24 cen­tów (1 cent to jed­na set­na róż­ni­cy w wyso­ko­ści dźwię­ku, tak jak 1% róż­ni­cy w częstotliwości).

Komat pita­go­rej­ski

Dla­cze­go to ma znaczenie?
W daw­nych cza­sach muzy­cy mie­li pro­blem z róż­ni­cą mię­dzy dwu­na­sto­ma kwin­ta­mi a sied­mio­ma okta­wa­mi – opi­sa­ne wyżej zja­wi­sko roz­bież­no­ści licz­bo­wej spra­wi­ło, że nie­któ­re dźwię­ki w róż­nych tona­cjach brzmia­ły „nie­czy­sto” lub były „roz­stro­jo­ne”. Z tego powo­du musie­li zna­leźć spo­sób na dosto­so­wa­nie stro­je­nia instru­men­tów, aby brzmia­ły dobrze w każ­dej tona­cji – stąd powsta­ły róż­ne sys­te­my stro­je­nia, w tym stro­je­nie rów­no­mier­nie tem­pe­ro­wa­ne (będzie omó­wio­ne w kolej­nym odcin­ku cyklu).

Ta róż­ni­ca poka­zu­je, że mate­ma­ty­ka i muzy­ka są ze sobą ści­śle powią­za­ne, ale cza­sa­mi mogą pro­wa­dzić do cie­ka­wych wyzwań, któ­re muzy­cy muszą roz­wią­zać, aby ich instru­men­ty brzmia­ły dobrze w każ­dej tonacji.

Pod­su­mo­wa­nie
Ana­li­za muzy­ki przez pry­zmat mate­ma­ty­ki uka­zu­je, jak ści­śle powią­za­ne są ze sobą te dwie dzie­dzi­ny. Muzy­ka, będąc uni­wer­sal­nym języ­kiem emo­cji, czer­pie z mate­ma­tycz­nych zasad porząd­ku i pro­por­cji, prze­kształ­ca­jąc je w arty­stycz­ne doświad­cze­nie. W ten spo­sób łączy świat liczb i pro­por­cji z bogac­twem ludz­kiej wrażliwości.

Mate­ma­ty­ka ode­gra­ła klu­czo­wą rolę w roz­wo­ju teo­rii muzy­ki – od sta­ro­żyt­nych eks­pe­ry­men­tów Pita­go­ra­sa na mono­chor­dzie, przez poszu­ki­wa­nie pro­stych pro­por­cji licz­bo­wych, aż po odkry­cie zja­wi­ska koma­tu pita­go­rej­skie­go. Pro­ste zależ­no­ści mię­dzy dłu­go­ścią stru­ny a wyso­ko­ścią dźwię­ku pozwo­li­ły zro­zu­mieć, dla­cze­go nie­któ­re inter­wa­ły odbie­ra­my jako har­mo­nij­ne, a inne jako mniej sta­bil­ne. Jed­no­cze­śnie poka­za­ły, że dosko­na­ła zgod­ność mate­ma­ty­ki i muzy­ki nie zawsze jest moż­li­wa – róż­ni­ca mię­dzy dwu­na­sto­ma kwin­ta­mi a sied­mio­ma okta­wa­mi zmu­si­ła muzy­ków do poszu­ki­wa­nia nowych sys­te­mów stro­je­nia. Z tych poszu­ki­wań naro­dzi­ła się mię­dzy inny­mi ska­la dwu­na­sto­to­no­wa, któ­ra sta­ła się fun­da­men­tem muzy­ki euro­pej­skiej od baro­ku po współczesność.

dr Mag­da­le­na Andrys
Aka­de­mia Muzycz­na im. I.J. Pade­rew­skie­go w Poznaniu

Załącz­nik – sce­na­riusz zajęć

Eks­pe­ry­ment Pita­go­ra­sa – odkry­wa­nie har­mo­nii dźwię­ków za pomo­cą monochordu

Cel zajęć: Ucznio­wie prze­pro­wa­dzą eks­pe­ry­ment podob­ny do tego, któ­ry wyko­nał Pita­go­ras, aby zro­zu­mieć zależ­ność mię­dzy dłu­go­ścią stru­ny a wyso­ko­ścią wyda­wa­ne­go przez nią dźwię­ku. Celem jest odkry­cie, jak licz­by i pro­por­cje wpły­wa­ją na har­mo­nię muzyczną.

Mate­ria­ły:

  • mono­chord (lub pro­sty jego model, np. deska z jed­ną stru­ną roz­cią­gnię­tą mię­dzy dwo­ma kołkami),
  • rucho­my mostek (może to być dowol­ny przed­miot, któ­ry moż­na prze­su­wać wzdłuż stru­ny, np. klips),
  • miar­ka lub linijka,
  • notat­nik i ołó­wek do zapi­sy­wa­nia wyników.

Instruk­cje:

  1. Przy­go­to­wa­nie monochordu.
    Roz­cią­gnij stru­nę na desce i upew­nij się, że jest ona dobrze nacią­gnię­ta. Ustaw mostek tak, aby dłu­gość stru­ny od jed­ne­go koń­ca do most­ka wyno­si­ła dokład­nie 100 cm.
  2. Utwo­rze­nie dźwię­ku pod­sta­wo­we­go.
    Uderz stru­nę, aby wydo­być dźwięk pod­sta­wo­wy. Zano­tuj ten dźwięk w notat­ni­ku jako „Dźwięk 1” i oznacz go jako dźwięk przy peł­nej dłu­go­ści stru­ny (100 cm).
  3. Podział stru­ny na pół.
    Prze­suń mostek tak, aby dłu­gość stru­ny wyno­si­ła dokład­nie 50 cm, czy­li poło­wę począt­ko­wej dłu­go­ści. Uderz stru­nę ponow­nie i zano­tuj uzy­ska­ny dźwięk jako „Dźwięk 2”.
  4. Bada­nie innych proporcji:
    • Ustaw mostek na dłu­go­ści 66,7 cm (2/3 dłu­go­ści stru­ny) i zano­tuj uzy­ska­ny dźwięk jako „Dźwięk 3″.
    • Ustaw mostek na dłu­go­ści 75 cm (3/4 dłu­go­ści stru­ny) i zano­tuj uzy­ska­ny dźwięk jako „Dźwięk 4″.
  5. Ana­li­za wyników:
    • Porów­naj uzy­ska­ne dźwię­ki. Zauważ, jak zmia­na dłu­go­ści stru­ny wpły­wa na wyso­kość dźwięku.
    • Wpro­wadź kon­cep­cję okta­wy, kwin­ty i kwar­ty, oma­wia­jąc, jakie pro­por­cje dłu­go­ści stru­ny do nich pro­wa­dzą (1 : 2, 2 : 3, 3 : 4).
  6. Pod­su­mo­wa­nie.
    Poroz­ma­wiaj z ucznia­mi o tym, jak Pita­go­ras odkrył mate­ma­tycz­ne pod­sta­wy har­mo­nii muzycz­nej i jakie ma to zna­cze­nie w mate­ma­ty­ce i muzy­ce. Zwróć uwa­gę na to, że pro­ste pro­por­cje licz­bo­we mogą two­rzyć har­mo­nij­ne brzmie­nia, co sta­no­wi­ło pod­sta­wę filo­zo­fii Pitagorasa.