Wszyscy, którzy napotkali ciekawe problemy związane z matematyką pewnie zastanawiali się czy są one nowe, trudne i czy został użyty właściwy język do ich opisu. Warto więc czasami pochylić się nad starszymi tekstami, pisanymi w czasie, gdy formalizował się język matematyki i jej pojęcia.
Mnie zainteresował tekst prof. Wacława Sierpińskiego „Pojęcie odpowiedniości w matematyce” z 1908 roku. Na początek podkreślę – pomimo, iż to formalnie rzecz biorąc wykład habilitacyjny (a więc bardzo „poważna” matematyka), to jest to tekst dla każdego zainteresowanego matematyką.
O czym to jest? Tytułowe pojęcie to odpowiedniość.
Proszę nie poszukiwać w tekście formalnej definicji (jak to często jest oczekiwane). Jest trochę jak w podręcznikach szkolnych z matematyki – stosujemy pewne intuicje stojące za pojęciami nie definiując ich. Uczniom to wystarcza, a więc nam – jako czytelnikom tekstu – też.
Matematyka bazuje na ustalaniu zależności pomiędzy obiektami (wzajemnej odpowiedniości). Autor zajmował się – jak byśmy dziś napisali – teorią mnogości i teorią liczb, a więc wprowadza odpowiednie zrozumienie funkcji, jej własności czy mocy i liczności zbiorów (to nie jest to samo!). Wszystko to – odwołując się do odpowiedniości pewnych zbiorów.
Moja uwagę zwróciło nawiązanie do przykładów zbiorów i ich „odpowiedniości” w geometrii. Pewnie przydałoby się to w szkołach dla uwydatnienia różnic pomiędzy zbiorami skończonymi i nieskończonymi.
Oto jeden z przykładów podanych przez Autora:
Jeżeli wszystkie elementy zbioru Z są jednocześnie elementami zbioru Z, ale nie odwrotnie, to mówimy, że zbiór Z jest częścią zbioru Z.
Np. jeżeli punkt A leży na odcinku OB między O i B, to zbiór punktów odcinka OA będzie częścią zbioru punktów odcinka OB.
Zbiory nieskończone, ich wzajemne odpowiedniości (w tym działania nieskończone) są w wykładzie krótko omawiane – zawsze na przykładach (często na poziomie dostępnym nie tylko matematykom) i z nastawieniem, aby to sam Czytelnik dostrzegł elegancję tej teorii. A najciekawsze wyniki Profesora były przecież dopiero przed Nim…
Tak na marginesie – warto zwrócić uwagę na używaną wówczas terminologię. Słowo „odpowiedniość” jest obecnie wyparte przez jego sprecyzowane i sformalizowane terminy zastępcze (np. przyporządkowanie, funkcja itp.), podobnie nie napiszemy teraz „mnogość przeliczalna”, ale jednak pozostała „teoria mnogości” równolegle do „teorii zbiorów”. Zachęcam Czytelników do obserwacji jak zmieniała się terminologia i język opisu matematyki (co to jest „odpowiedniość doskonała”?).
Czym ten tekst różni się od obecnych mówiących np. o liczbach kardynalnych? Krótko – celem. Wiele współczesnych opracowań dość szybko wprowadza formalne definicje lub charakteryzacje zbiorów nieskończonych, a potem jest to sprawdzane na przykładach. Tu jest inaczej – przykłady służą do wskazania, że są zbiory różnej mocy. Nieskończoność – słowo kluczowe w badaniach Profesora!
(napis na grobie prof. Sierpińskiego)
W omawianym tekście wskazuje jakie są zastosowania odpowiedniości zbiorów w różnych działach matematyki – geometrii, geometrii analitycznej czy analizy matematycznej. Odpowiedniościami są więc zależności w geometrii, funkcje i wiele innych – obecnie mocno sformalizowanych pojęć. Ale: są też odpowiedniości pomiędzy obiektami matematycznymi a światem realnym… Dlatego Autor przywołuje słowa H. Poincaré: „Matematycy nie badają obiektów, ale relacje między nimi; stąd nie jest dla nich istotne, gdy jedne obiekty zastępuje się innymi, byle tylko niezmienione pozostały relacje między nimi.”
Co znajdziemy w tekście? Wprowadzenie do liczb kardynalnych – oczywiście na bazie istnienia odpowiedniości pewnych zbiorów (na przykładach!), poczynając od liczenia palców, a skończywszy na geometrii i punktach na odcinku. I tam ciekawostka związana z przyszłymi pracami Profesora: można odwzorować odcinek nieskończonej długości na odcinek skończony.
Niewątpliwie warto zwrócić uwagę na rozważania o zbiorach skończonych i nieskończonych. Mamy eleganckie – i to bez formalizmu – wprowadzenie liczb naturalnych i całkowitych, oraz wyróżnienie własności zbiorów nieskończonych: odróżnianie mocy zbioru i jego liczności. Moją uwagę zwrócił też brak słowa „paradoks” w tekście (poza przypadkiem Cantora), tak lubianego przy omawianiu np. zagadnień z teorii zbiorów nieskończonych. U Hilberta mamy „paradoks hotelu nieskończonego”, a tu mamy „rażący przykład”. W tekście jest to porównanie mocy zbioru liczb naturalnych i liczb parzystych, oraz liczb wymiernych. Wszystkie są równoliczne (tej samej mocy) i jest tu jedyny moment, w którym Autor podaje wzór jak ułożyć liczby wymierne w ciąg.
Profesor pisze:
Każdy ułamek l/m otrzyma w ten sposób swój numer \(n = \frac{(l + m – 1) \cdot (l + m)}{2} + m + 1 \).
Dalej mamy eleganckie wprowadzenie działań (i działań nieskończonych), w tym geometria analityczna i działania na wektorach. Przecież cała geometria analityczna u Kartezjusza ma u podstaw „doskonałą odpowiedniość” pomiędzy parami liczb rzeczywistych a punktami płaszczyzny. Co więcej, to również elegancko prowadzi do pojawienia się liczb zespolonych!
Jeszcze raz podkreślę: na przykładach i omawianiu odpowiedniości zbiorów, a nie operacji na formalnych definicjach. To taki tekst „dla każdego”! Dalej krótko o geometrii i geometrii wykreślnej (Autor cały czas zwraca uwagę na zastosowania matematyki w świecie realnym).
Dla Niego teoria mnogości była podstawą matematyki!
Cały tekst kończy się krótkim omówieniem funkcji i ich wykresów oraz krzywych jako „odpowiedniości”. Ten właśnie temat będzie rozwijany przez Profesora. Był On wybitnym matematykiem. Do badań podchodził zawsze na bazie konstruowanych przykładów.
Zdecydowanie polecam omawiany tutaj wykład (starannie) przeczytać!
Poza omawianym tekstem – rekomenduję Czytelnikom zapoznanie się z pojęciami nierozerwalnie związanymi z nazwiskiem Profesora Sierpińskiego: trójkąt i dywan Sierpińskiego (to prekursor zbiorów samopodobnych, tak modnych obecnie fraktali), czy krzywa uniwersalna Sierpińskiego. Zainteresowani mogą przeczytać https://deltami-old.mimuw.edu.pl/2022a/03/2022–03-delta-art-06-zakrzewski.pdf Czyli ponownie: krzywe i zbiory oraz ich odpowiedniości…
Zwróćmy uwagę: nic nie napisałem o formalnych definicjach czy wzorach – bo ich tam nie ma (może poza przykładami, ale to inna kwestia)! I wcale nie były potrzebne do omówienia głównego tematu! Czyli da się tak pisać o matematyce jak Profesor Sierpiński! Tym niemniej – matematyka wymaga ścisłego posługiwania się pojęciami, czego musimy byś świadomi – albo narażamy się na „rażące przykłady”.
Co ciekawe, omawiany tekst może być oceniany w kategorii „filozofia matematyki”! To pewnie nie najlepsze miejsce do rozwijania tematu (a ja nie jestem właściwą osobą), ale zauważmy dwa ważne cytaty: „wszystkie nasze myśli i pojęcia, które mogą być wyrażone słowami, stanowią mnogość przeliczalną”. Ale jednocześnie: „fakt, że nauka, tak oderwana, jaką jest matematyka, znajduje tyle zastosowań realnych, wytłumaczyć się daje istnieniem doskonałej odpowiedniości między dziedziną abstrakcji a dziedziną realnej rzeczywistości”. A więc matematyka jest bogatsza od życia – i dlatego On ją badał…
Zwrócę tylko jeszcze uwagę na jeden fragment opracowania: zagadnienia z geometrii Autor natychmiast odniósł do kartografii. To też odpowiedniość matematyki w realnym świecie. Może też warto spróbować takich badań? A już na pewno – starannie przeczytać ten tekst… Może skutkiem będzie nie tylko zainteresowanie matematyką, ale i jej „odpowiedniościami” w życiu, czyli jej zastosowaniami? Polecam…
Pamiętajmy też o Jego wkładzie w łamanie szyfrów w wojnie polsko-sowieckiej 1920 (to taka „stosowana teoria liczb” ). I to wszystko dzięki „odpowiedniości zbiorów” i zbiorom nieskończonym. Czy doceniamy Jego wyniki: tak (choć nie do końca w pełni) – ale np. na Księżycu mamy krater Sierpińskiego…
Jak o Nim napisano (na Jego nagrobku na Powązkach): „Badacz Nieskończoności”!
Mieczysław Cichoń
Tak osobiście – jako następną lekturę dzieł prof. Sierpińskiego mogę polecić fragment o działaniach nieskończonych i ułamkach łańcuchowych (wówczas wiązano z nimi spore nadzieje). Dodam, że Czytelnik zainteresowany matematyką więcej na ten temat znajdzie w książce Profesora pt. „Działania nieskończone”, wydanej w 1949 r. i dostępnej w bibliotece cyfrowej https://eudml.org/doc/219335.
