Rózsa Péter
Gra z nieskończonością
Państwowe Wydawnictwo Naukowe
Warszawa 1962
W latach 1945–1993 ukazywał się w Polsce miesięcznik „Problemy” poświęcony popularyzacji różnych dziedzin wiedzy. Dzięki współpracy redakcji pisma z Państwowym Wydawnictwem Naukowym powstała seria „Biblioteka Problemów”, w ramach której w latach 1956–1971 ukazało się ponad 150 książek popularnonaukowych (m.in. Orzeł czy reszka? Hugona Steinhausa). Tomy serii miały jednolitą szatę graficzną, płócienną oprawę i obwolutę.
W 1962 r. w tej serii ukazało się tłumaczenie książki Rózsy Péter pt. Gra z nieskończonością – popularnonaukowej opowieści o matematyce, po raz pierwszy wydanej na Węgrzech w 1934 r., a następnie wielokrotnie wznawianej (w samym języku węgierskim doczekała się w XX w. sześciu kolejnych wydań).
***
Kim była autorka książki? Rózsa Péter (1905–1977) – Węgierka zajmująca się matematyką i logiką, profesor Uniwersytetu Loránda Eötvösa w Budapeszcie. Była pionierką prac nad rekursją w teorii obliczalności.
Kocham matematykę nie tylko dlatego, że znajduje ona zastosowanie w technice, ale również dlatego, że jest piękna, dlatego że człowiek włożył w nią swą pasję gracza i dlatego że matematyka jest w stanie uprawiać nawet najwspanialszą grę: potrafi uczynić uchwytną nieskończoność. (Gra z nieskończonością, s. 5)
Ludzka skłonność do rozrywki i zabawy jest również jednym ze źródeł matematyki i właśnie dlatego matematyka jest nie tylko nauką, ale – co najmniej w równej mierze – i sztuką. (s. 16)
Czystość metody, jasne formułowanie warunków – oto powody, dzięki którym wśród matematyków nie ma takich nieporozumień, jakie zdarzają się często wśród przedstawicieli innych nauk. Matematycy wszystkich czasów i wszystkich krajów rozumieją się bardzo dokładnie. Matematycy słyną z niezrozumiałości, a przecież chyba żaden człowiek nie formułuje swych wypowiedzi tak starannie i z takim zważaniem na innych ludzi, jak właśnie matematyk. (s. 282–283)
***
Już w pierwszym zdaniu przedmowy autorka informuje, że książka „jest przeznaczona przede wszystkim dla nie zajmujących się specjalnie matematyką intelektualistów, dla pisarzy, artystów i humanistów.”.
Czy Czytelnicy, w szczególności młodzi, interesujący się matematyką (a nie tylko humaniści) znajdą tutaj coś dla siebie? Opinię autorki na ten temat znajdziemy w przedmowie: „Jeżeli książka dostanie się w ręce studenta wykazującego zainteresowanie przedmiotem, to będzie on mógł uzyskać – że się tak wyrażę – obraz matematyki jako całości.”.
Autorka stara się nam przedstawić w poglądowy sposób etapy kształtowania się podstaw kilku dziedzin matematyki. Jak zapowiada we wstępie: „Zacznę od liczenia i dotrę aż do najnowocześniejszej gałęzi matematyki – do logiki matematycznej.”.
Książka składa się z 22 rozdziałów (oraz kilku przypisków), podzielonych na trzy części (Uczeń czarnoksiężnika, Twórcza forma, Samokrytyka czystego rozumu. Aby oddać nieco styl i „ducha” książki, będę podawał tytuły rozdziałów.
Część I. Uczeń czarnoksiężnika
1. Zabawa z palcami
Zaczynamy od przeliczania (dziesięcioma palcami) i ciągu liczb naturalnych, a następnie przechodzimy do dodawania, mnożenia i potęgowania. Te proste działania stają się punktem wyjścia do szerszej refleksji: „umysł ludzki próbuje wszystkich nastręczających mu się gier, ale na dłuższy czas zatrzymuje się tylko przy tym, co zdrowy rozsądek uzna za pożyteczne i celowe.” (s. 19).
2. „Krzywe gorączki” działań arytmetycznych
Punktem wyjścia jest obliczanie objętości sześcianu. Autorka podaje ciekawy i przemawiający do wyobraźni przykład (s. 23–24), który dowodzi tego, że: „Gdyby jednak zbudować sześcian, którego krawędzią byłoby Krakowskie Przedmieście, to miałby on tak wielką objętość, że zmieściłaby się w nim cała ludność ziemi.”.1
Kolejny przykład to dobrze znana legenda związana z wynalezieniem szachów (s. 25). Następnie autorka wyjaśnia nam sens tajemniczej nazwy rozdziału: „krzywe gorączki matematycy nazywają »graficznym przedstawieniem funkcji«”, zaś samo pojęcie funkcji jest „jądrem całej matematyki” (s. 30).
3. Parcelacja nieskończonego ciągu liczb
W tym rozdziale jest mowa o różnych systemach liczbowych: dziesiątkowym; dwójkowym; sześćdziesiątkowym oraz dwunastkowym (s. 31–35). Następnie omówiono cechy podzielności przez 10, 5 oraz 2, następnie 4 oraz 8, a także 9 (s. 36–38).
4. Uczeń czarnoksiężnika
Temat podzielności ma kontynuację w kolejnym rozdziale. Dowiadujemy się, że: „dwie liczby są zaprzyjaźnione, gdy suma dzielników właściwych jednej liczby jest równa drugiej liczbie, i na odwrót” oraz, że liczby doskonałe mają tę cechę, że „są równe sumie swych własnych dzielników właściwych” (s. 40).
Pozostaje jeszcze kwestia tajemniczej nazwy rozdziału. Zacytuję tutaj dłuższy fragment:
Cóż my tu właściwie spotykamy? Człowiek powołał do istnienia dla swoich potrzeb ciąg liczb naturalnych; ten ciąg jest jego dziełem i służy do liczenia oraz do wykonywania działań arytmetycznych wywodzących się z liczenia. Gdy jednak człowiek raz stworzył ten ciąg, to później utracił nad nim wszelką władzę. (…) Uczeń czarnoksiężnika stoi jak wryty przed wywołanymi mocami. Człowiek tworzy nowy świat, ale potem jego samego osaczają tajemnicze, nieoczekiwane prawidłowości tego świata. Od tego momentu przestaje być twórcą i staje się badaczem; śledzi zależności i wnika w tajemnice świata, który sam wyczarował. (s. 41)
5. Wariacje na temat podstawowy
Rozpoczynamy od następującego zagadnienia: „ile przekątnych można poprowadzić w danym wielokącie, powiedzmy na przykład w ośmiokącie?” (s. 51). Pojawia się też kilka innych przykładów, a na zakończenie autorka podaje wzór na kombinacje dwuelementowe.
*. Przypisek o geometrii bez mierzenia
Autorka omawia tutaj pojęcia związane z topologią. Przywołuje słynny problem mostów królewieckich i inne zagadnienia topologiczne (s. 57–58), które dzisiaj wchodzą w zakres dziedziny zwanej teorią grafów.
W dalszej części tego przypisku, dowiadujemy się, że „szczególnie ważną rolę w geometrii odgrywa przystawanie i podobieństwo trójkątów, gdyż wszystkie figury można rozłożyć na trójkąty, na przykład wielokąt za pomocą jego przekątnych” – to tzw. triangulacja (s. 59).
Na zakończenie odpowiadamy na pytanie, „ile istnieje różnych wielościanów foremnych?” (s. 62).
6. Próbujemy wszystkich możliwości
W tym rozdziale zostajemy wprowadzeni w świat kombinatoryki. Wyjaśnione zostaje pojęcie silni (s. 67) oraz pojęcie kombinacji (s. 73), a także zaprezentowano podstawową metodę dowodową, która nosi nazwę indukcji zupełnej (s. 75).
7. Barwienie szarego ciągu liczb
Kolejny rozdział poświęcony jest liczbom pierwszym oraz rozkładowi na czynniki pierwsze. Został tu przedstawiony klasyczny algorytm wyznaczania liczb pierwszych, zwany sitem Eratostenesa (s. 84), oraz podany przez Euklidesa bardzo elegancki dowód na to, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Autorka pochyla się też nad problemem rozmieszczenia liczb pierwszych pośród wszystkich liczb naturalnych (s. 90–92).
8. „Pomyślałam sobie pewną liczbę”
Rozdział zaczyna się od wprowadzenia do równań stopnia pierwszego. Następnie autorka przechodzi do równań stopnia drugiego (z przykładami, które łatwo rozwiązać metodą uzupełniania do kwadratu). Dowiadujemy się o istnieniu ogólnej metody rozwiązywania równań stopnia trzeciego i czwartego (za pomocą operacji arytmetycznych i pierwiastkowania) oraz o tzw. nierozwiązalności ogólnego równania stopnia piątego:
Łatwo sobie wyobrazić, jak wstrząsająco podziałała wiadomość, że matematyk Abel znalazł warunek (…). A więc nie ma co marzyć, aby za pomocą naszych operacji można było rozwiązać ogólnie równanie stopnia piątego. (s. 104)
W dalszej części przywołana jest algebraiczna teoria Galois (s. 104–105).
Część II. Twórcza forma
9. Rozbiegające się liczby
Zostają omówione liczby ujemne, a także pojęcia wektora (s. 121). Na tym przykładzie Autorka przywołuje tzw. zasadę uogólniania: „Gdy wprowadzamy nowe liczby albo nowe operacje, to zawsze musimy bardzo uważać, aby dawne reguły pozostały słuszne, bo przecież dążymy do ujednolicenia metod.”
10. Nieograniczona gęstość
Autorka zajmuje się najpierw regułami działań na ułamkach. Następnie wyjaśnia, co to znaczy, że zbiór liczb wymiernych jest gęsty (s. 131), oraz jaka jest moc zbioru liczb wymiernych – jest ich w pewnym sensie „tyle samo” co i liczb całkowitych: „Jeśli elementy dwóch zbiorów nieskończonych można połączyć w pary tak, że żaden element któregoś ze zbiorów nie pozostaje bez partnera, to mówimy, że te dwa zbiory są równej mocy.” (s. 134).
11. Znów chwytamy nieskończoność
Czytelnik dowiaduje się w jaki sposób dokonywać zamiany ułamków zwykłych na dziesiętne i na odwrót. Autorka wprowadza też szeregi nieskończone.
12. Prosta liczbowa zapełnia się
W tym rozdziale autorka wprowadza liczby niewymierne. Spotkamy też słynne twierdzenie Pitagorasa. Dowiemy się też, że: „moc zbioru liczb rzeczywistych jest więc większa od mocy zbioru liczb naturalnych” (s. 169) i o wynikających z tego konsekwencjach: „zbiór liczb niewymiernych nie może być przeliczalny” (s. 170).
13. Krzywe gorączki wygładzają się
Autorka wyjaśnia, do czego służą tablice logarytmiczne i jak się z nich korzysta. Rozszerza pojęcie potęgi na liczby rzeczywiste. Wprowadza krzywe gładkie, których przykładem jest hiperbola. Przeczytamy też o tym, dlaczego liczba 0 sprawia „kłopoty” jako dzielnik.
Jakaś żartobliwa gazetka studencka sformułowała to kiedyś tak: Gdy Pan Bóg umieścił Adama w raju, rzekł mu: „Wolno ci dzielić przez każdą liczbę, tylko nie przez zero!” (s. 186–187).
14. Istnieje tylko jedna matematyka
Wprowadzone zostaje ogólne pojęcie funkcji. Czytelnik zapoznaje się także z podstawami geometrii analitycznej oraz z krzywymi stożkowymi – okręgiem, elipsą, parabolą oraz hiperbolą.
*. Przypisek o falach i o cieniu
Poznajemy funkcje trygonometryczne, których znaczenie „wykracza daleko poza ramy geometrii” (s. 206). „Fale” z tytułu odnoszą się do wykresu funkcji sinus. Dowiadujemy się również, jak dokonuje się aproksymacji (czyli przybliżania) funkcji okresowych.
Druga część przypisku dotyczy przekrojów stożka: „Elipsę można traktować jako cień koła” (s. 211). Czytamy też o geometrii rzutowej, która „zajmuje się tymi własnościami figur, które nie ulegają zmianie nawet przy takich zniekształceniach wywołanych rzutowaniem.” (s. 212).
***
Przywołując słowa autorki z przedmowy, powiedziałbym, że pierwsza część książki (do rozdziału 14) była przeznaczona dla „nie zajmujących się specjalnie matematyką intelektualistów, dla pisarzy, artystów i humanistów”, którym te zagadnienia mogły nie być dobrze znane z czasów nauki szkolnej. Pojawiają się tu kolejno wprowadzane liczby naturalne, całkowite (ujemne), wymierne (ułamki), niewymierne i rzeczywiste. Omówione zostają podstawowe cechy podzielności oraz zagadnienia dotyczące liczb pierwszych. Czytelnik zostaje wprowadzony w świat kombinatoryki, a także rozwiązuje kilka prostych równań stopnia pierwszego oraz drugiego.
Drugą część książki autorka wyraźnie kieruje „w ręce studenta wykazującego zainteresowanie przedmiotem”. W kolejnych rozdziałach czeka nas bowiem swoisty „skok w nadprzestrzeń”: przejście od zagadnień bardzo podstawowych do nieco bardziej zaawansowanych! Na horyzoncie pojawiają się m.in. liczby zespolone, pochodne i całki.
***
15. Elementy „Przecinek”
W tym rozdziale pojawiają się liczby zespolone, przedstawione jako liczby, które „składają się z części rzeczywistej i z części urojonej; takie osobliwe połączenie świata rzeczywistego i urojonego.” (s. 222). Liczby zespolone – jak podkreśla autorka – pozwalają sformułować tzw. podstawowe twierdzenie algebry. Następnie autorka przechodzi do problemu rozwijania funkcji w szeregi potęgowe (s. 228).
16. Tajemnice warsztatu
Autorka wprowadza pojęcie pochodnej (s. 238). Interesujący jest tutaj przypis samej autorki: „Jeśli ktoś nie jest ciekaw pojęć pochodnej i całki i nudzi go drobiazgowa robota, to może wyjątkowo pominąć dalszą część tego rozdziału i rozdział następny.” (s. 240). My jednak niczego nie pomijamy, dzięki czemu dowiadujemy się też, jak wykorzystać pochodną do wyznaczania maksimów i minimów funkcji.
17. Gdy małe zbiorą się razem, tworzą siłę
Na odważnego czytelnika czekają całki nieoznaczone (s. 256) i oznaczone (s. 276). Obrazowe wyjaśnienie idei całkowania znalazło odzwierciedlenie w nazwie rozdziału: „Prostokąty stają się coraz liczniejsze, w miarę jak stają się coraz cieńsze. Gdy małe zbiorą się razem, tworzą siłę.”.
Część III. Samokrytyka czystego rozumu
18. A jednak istnieje wielość matematycznych światów
Rozdział rozpoczyna się przywołaniem m.in. problemu kwadratury koła. „Pozostaniemy teraz jednak przy cyrklu i linijce. W sposób zupełnie naturalny nasuwa się pytanie: jakie konstrukcje geometryczne można wykonać przy użyciu tylko tych dwóch przyrządów?”
W rozdziale zostaje też przedstawiony system aksjomatyczny Euklidesa, geometria hiperboliczna oraz inne geometrie.
*. Przypisek o czwartym wymiarze
Autorka pokazuje, że dzięki temu, iż „w algebrze znaleźliśmy model dla geometrii”, własności znane z geometrii płaszczyzny można przenieść na przestrzeń: „każda prawidłowość geometryczna jest reprezentowana przez pewne twierdzenie algebraiczne”.
19. Gmach zarysował się
W tym rozdziale mamy uzasadnienie tytułu książki: „Cantor, wzorując się na operacjach na naszych zwykłych małych liczbach, wprowadził również działania na mocach – dodawanie i mnożenie. To jest prawdziwie wielka gra – gra z nieskończonością. Wydaje się, jak gdyby duch ludzki nie mógł już sięgnąć wyżej.” (s. 300).
Autorka omawia też tzw. antynomię Russella. Sformułowanie żartobliwe brzmi tak:
Golibrodę jakiejś armii można zdefiniować w sposób następujący: jest to żołnierz, do którego obowiązków należy golenie tych wszystkich, którzy nie golą się sami; jednocześnie jednak – dla oszczędności – nie wolno mu golić tych, którzy golą się sami. Powstaje pytanie, czy ten żołnierz ma się golić, czy też nie. (s. 201)
20. Forma wyzwala się
Autorka przedstawia w tym rozdziale próby matematyków – począwszy od Hilberta – uporządkowania podstaw matematyki (obarczonej „balastem antynomii”). Metody wnioskowania i dowodzenia uczynili przedmiotem badań matematycznych.
Omówiona zostaje tutaj logika symboliczna. „A zatem istnieją połączenia zdań, które są prawdziwe zawsze, niezależnie od zdań w nich występujących. (…) Ich prawdziwość wynika z samej struktury logicznej; nazywamy je tautologiami albo tożsamościami logicznymi. I właśnie takie zdania odgrywają zasadniczą rolę w matematyce.” (s. 313).
21. Przed trybunałem nad-matematyki
Na początku XX wieku bardzo intensywnie poszukiwano dowodu niesprzeczności arytmetyki. Autorka streszcza efekt tych dociekań następująco: „I nagle hilbertowska »teoria dowodu«, ta nowa gałąź nauki odznaczająca się piękną i ostrożną budową, doznała poważnego wstrząsu. Młody matematyk wiedeński Gödel udowodnił (…), że nie można udowodnić niesprzeczności arytmetyki, jeśli będzie się stosować tylko te środki, które można formalnie opisać w ramach rozważanego systemu.” (s. 330).
W dalszej części rozdziału autorka wspomina hipotezę continnum, która głosi, że między mocą zbioru liczb naturalnych a mocą zbioru liczb rzeczywistych nie ma wielkości pośredniej. Hipoteza ta została postawiona w roku 1878 przez Georga Cantora, a dziś już wiemy2, że jest ona problemem nierozstrzygalnym (to pojęcie jest omawiane w ostatnim rozdziale).
*. Przypisek o intuicji rzutowanej w nieskończoność
Autorka na przykładach pokazuje, że spostrzeżeń zaczerpniętych ze świata zbiorów skończonych i zbiorów przeliczalnych nie można bezrefleksyjnie przenosić na procesy nieskończone, które rozważamy, gdy badamy własności liczb rzeczywistych.
22. Czego matematyka nie może
W kolejnych akapitach autorka wyjaśnia, jak należy rozumieć pojęcie nierozstrzygalności.
***
O czym i dla kogo jest ta książka? Odniosłem wrażenie, że jest to próba przedstawienia podstaw kształtowania się współczesnej matematyki. Autorka we wstępie zapowiedziała, że: „Zacznę od liczenia i dotrę aż do najnowocześniejszej gałęzi matematyki – do logiki matematycznej.”. I rzeczywiście – tak zarysowana droga zostaje w książce zrealizowana.
O ile w pierwszej części mieliśmy do czynienia z matematyką znaną nam ze szkoły, o tyle w drugiej części „poziom” poruszanych tematów zdecydowanie się podnosi: prezentowane zagadnienia (np. liczby zespolone, pochodne, całki) omawiane są na pierwszym semestrze (lub dwóch) na studiach z matematyki.
Niełatwo recenzować książkę popularnonaukową, która ukazała się wiele lat temu. Pojawia się pokusa, by porównywać książkę Rózsy Péter z ulubionymi popularnymi bestsellerami współczesnymi książkami o matematyce: „brakuje” tu ciekawostek i niestandardowych zadań, opisu postaci matematyków itd.
Czy tytuł dobrze oddaje zawartość książki? Niewątpliwie matematyczne pojęcie nieskończoności jest w niej obecne bardzo często. Już w przedmowie znajdziemy zdanie: „matematyka jest w stanie uprawiać nawet najwspanialszą grę: potrafi uczynić uchwytną nieskończoność”. Przypomnę teraz te tematy.
Zaczęło się od nieskończonego ciągu liczb naturalnych, wśród których istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Dowiedzieliśmy się również, jak można porównywać dwa zbiory nieskończone. Doszliśmy w ten sposób do zaskakującej (i na pierwszy rzut oka „ewidentnie” błędnej) obserwacji, że liczb wymiernych jest „tyle samo” co liczb całkowitych. Poznaliśmy też szeregi nieskończone. W przypisku pt. O czwartym wymiarze autorka wspomina, że „można wprowadzić przestrzenie abstrakcyjne o 5, 6, …, a nawet o nieskończonej liczbie wymiarów”. W rozdziale 19. czytamy zaś: „To jest prawdziwie wielka gra – gra z nieskończonością”, co stanowi komentarz do działań na mocach zbiorów nieskończonych.
Można by zażartować i zapytać: czy słowo „nieskończoność” nie pojawiło się przypadkiem w książce nieskończenie wiele razy?
Od pierwszego wydania książki Rózsy Péter minęło już ponad 90 lat. Mimo upływu czasu nie straciła na wartości – wciąż potrafi w sposób przystępny przybliżyć istotę matematyki.
1 W ramach uzupełnienia, dodam tylko, że „ulica Krakowskie Przedmieście w Warszawie ma właśnie około 1 km długości” oraz w czasach autorki „takiej liczby [2 miliardy] ludzi w ogóle nie ma na ziemi”.
2 W 1940 roku Kurt Gödel dowiódł, że hipoteza continuum jest niesprzeczna z aksjomatami ogólnie przyjętej teorii mnogości Zermela-Fraenkla (tzn. nie można dowieść jej fałszywości). W 1963 roku Paul Cohen udowodnił niezależność hipotezy continuum od wspomnianych aksjomatów (tzn. nie można dowieść jej prawdziwości). Hipoteza continuum okazała się więc przykładem problemu nierozstrzygalnego w ramach przyjętego systemu aksjomatów. Oznacza to, że (nie popadając w sprzeczność) można do nich dołączyć zarówno zdanie stwierdzające prawdziwość hipotezy, jak i jego zaprzeczenie.
