Licz­ba π to, geo­me­trycz­nie patrząc, sto­su­nek obwo­du koła do dłu­go­ści jego śred­ni­cy (jest on sta­ły jako nie­za­leż­ny od wiel­ko­ści koła, gdyż dowol­ne dwa koła są podobne).

Licz­bę π nazy­wa się rów­nież sta­łą Archi­me­de­sa, w uzna­niu zasług uczo­ne­go, któ­ry jako pierw­szy badał jej wła­sno­ści. Archi­me­des (ok. 287 – 212 p.n.e.) był czło­wie­kiem, któ­ry udo­wod­nił, że naj­więk­sze odkry­cia nauko­we moż­na zro­bić… w wan­nie. Pod­czas gdy inni sie­dzie­li nad per­ga­mi­na­mi, on plu­skał się w wodzie i nagle doznał olśnie­nia tak wiel­kie­go, że wybiegł na uli­cę, krzy­cząc „Eure­ka!”. Trud­no powie­dzieć, co bar­dziej zdzi­wi­ło miesz­kań­ców Syra­kuz: odkry­cie pra­wa wypo­ru, czy fakt, że uczo­ny, cał­kiem nago, bie­ga po mieście.

Holen­der­ski mate­ma­tyk i Ludolph van Ceu­len (1540 – 1610) żył w cza­sach, gdy ludzie odkry­wa­li nowe kon­ty­nen­ty i wymy­śla­li tele­sko­py. Van Ceu­len posta­no­wił nato­miast poświę­cić swo­je życie… licze­niu. Kon­kret­nie, ręcz­nie wyzna­czał kolej­ne cyfry licz­by π. Ręcz­nie. Bez kal­ku­la­to­ra. Bez kom­pu­te­ra. To był hero­izm w czy­stej postaci.

Jego meto­da – za Archi­me­de­sem – pole­ga­ła na wpi­sy­wa­niu w okrąg wie­lo­ką­tów forem­nych oraz opi­sy­wa­niu na nim innych podob­nych wie­lo­ką­tów, zwięk­sza­jąc licz­bę ich boków do absur­dal­nych roz­mia­rów. Gdy inni liczy­li owce przed snem, on liczył boki wie­lo­ką­tów i sto­su­nek ich pól do kwa­dra­tu pro­mie­nia okrę­gu. Gdy­by ktoś zapy­tał go „co sły­chać?”, mógł­by odpo­wie­dzieć: „3,141592653589… i dalej pra­cu­ję”. W efek­cie wyli­czył π z dokład­no­ścią do 35 miejsc po prze­cin­ku, co w tam­tych cza­sach było osią­gnię­ciem imponującym.

Van Ceu­len trak­to­wał swo­je dzie­ło bar­dzo poważ­nie. Tak bar­dzo, że kazał wyryć swo­je wyli­cze­nie licz­by π na nagrob­ku w koście­le Pie­ter­skerk (św. Pio­tra) w Lej­dzie. Nie imię, nie sen­ten­cję typu Car­pe diem (chwy­taj dzień), tyl­ko cyfry. Wyobraź­my sobie tury­stę: „Kim był ten czło­wiek?” – „Nie wiem, ale znał π lepiej niż ja znam PIN mojej kar­ty płatniczej”.

Na jego cześć w kra­jach nie­miec­ko­ję­zycz­nych licz­bę π przez dłu­gi czas nazy­wa­no licz­bą ludol­fiń­ską, a w Pol­sce – ludol­fi­ną. To chy­ba jedy­ny przy­pa­dek w histo­rii mate­ma­ty­ki, gdy ktoś „dostał wła­sną licz­bę” za wyjąt­ko­wą cier­pli­wość. Ludolph van Ceu­len udo­wod­nił, że jeśli bar­dzo kochasz jakąś licz­bę, możesz spę­dzić z nią całe życie. A nawet po śmier­ci jej nie porzu­casz: bo π jest nie­skoń­czo­na, ale cier­pli­wość van Ceu­le­na też taka była.

Współ­cze­sne tech­no­lo­gie pozwo­li­ły na obli­cze­nie licz­by π z nie­spo­ty­ka­ną wcze­śniej pre­cy­zją. Rekord Guin­nes­sa, obli­czo­ny w 2025 roku przez Sto­ra­ge­Re­view (USA) wyno­si, baga­te­la, 314 bilio­nów (3,14·1014) cyfr.

Przy­glą­da­jąc się roz­wi­nię­ciu dzie­sięt­ne­mu licz­by π, moż­na dostrzec, że kolej­ne cyfry zacho­wu­ją się w spo­sób cha­otycz­ny – nie­moż­li­we jest zna­le­zie­nie ogól­nej regu­ły ich kolej­no­ści. Powsta­ła zatem hipo­te­za, że jej roz­wi­nię­cie dzie­sięt­ne zawie­ra wszyst­kie moż­li­we skoń­czo­ne cią­gi cyfr, a tym samym każ­da licz­ba natu­ral­na poja­wia się przy­naj­mniej raz. Inny­mi sło­wy, gdzieś w π jest data uro­dze­nia każ­de­go Czy­tel­ni­ka. I numer tele­fo­nu. I hasło do Wi-Fi, cho­ciaż bar­dzo daleko.

Szym­bor­ska w wier­szu „Licz­ba Pi” nada­ła hipo­te­zie poetycz­ność. W uzna­niu za jej wkład w popu­la­ry­za­cję mate­ma­ty­ki, licz­by posia­da­ją­ce wła­sność, że w roz­wi­nię­ciu dzie­sięt­nym znaj­du­je się każ­dy moż­li­wy ciąg cyfr, nazwa­no na począt­ku tego stu­le­cia licz­ba­mi Szym­bor­skiej. Ale do dziś (14.03.2026) nie wie­my, czy π jest licz­bą Szym­bor­skiej, zaś hipo­te­zę nazwa­no hipo­te­zą Szym­bor­skiej i wciąż cze­ka ona na potwier­dze­nie lub obalenie.

Licz­ba Pi

Podzi­wu god­na licz­ba Pi
trzy koma jeden czte­ry jeden.
Wszyst­kie jej dal­sze cyfry też są początkowe,
pięć dzie­więć dwa ponie­waż nigdy się nie kończy.
Nie pozwa­la się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniem
osiem dzie­więć obliczeniem
sie­dem dzie­więć wyobraźnią,
a nawet trzy dwa trzy osiem żar­tem, czy­li porównaniem
czte­ry sześć do czegokolwiek
dwa sześć czte­ry trzy na świecie.
Naj­dłuż­szy ziem­ski wąż po kil­ku­na­stu metrach się urywa
podob­nie, choć tro­chę póź­niej, czy­nią węże bajeczne.
Koro­wód cyfr skła­da­ją­cych się na licz­bę Pi
nie zatrzy­mu­je się na brze­gu kartki,
potra­fi cią­gnąc się po sto­le, przez powietrze,
przez mur, liść, gniaz­do pta­sie, chmu­ry, pro­sto w niebo,
przez całą nie­ba wzdę­tość i bezdenność.
O, jak krót­ki, wprost mysi, jest war­kocz komety!
Jak wątły pro­mień gwiaz­dy, że zakrzy­wia się w lada przestrzeni!
A tu dwa trzy pięt­na­ście trzy­sta dziewiętnaście
mój numer tele­fo­nu twój numer koszuli
rok tysiąc dzie­więć­set sie­dem­dzie­sią­ty trze­ci szó­ste piętro
ilość miesz­kań­ców sześć­dzie­siąt pięć groszy
obwód w bio­drach dwa pal­ce sza­ra­da i szyfr,
w któ­rym sło­wicz­ku mój a leć, a piej
oraz upra­sza się zacho­wać spokój,
a tak­że zie­mia i nie­bo przeminą,
ale nie licz­ba Pi, co to to nie,
ona wciąż swo­je nie­złe jesz­cze pięć,
nie byle jakie osiem,
nie­ostat­nie siedem,
przy­na­gla­jąc, ach, przy­na­gla­jąc gnu­śną wieczność
do trwania.

Noblist­ka w wier­szu „Licz­ba Pi” poka­za­ła coś, co wcze­śniej wyda­wa­ło się nie­moż­li­we: że licz­by też mogą mieć duszę. I to nie duszę kal­ku­la­to­ra, zim­ną i bez­li­to­sną, lecz duszę nie­co iro­nicz­ną, lek­ko zdzi­wio­ną świa­tem i bar­dzo ludz­ką. W jej poezji licz­by nie słu­żą ani do licze­nia pie­nię­dzy, ani metrów kwa­dra­to­wych pane­li w pro­mo­cji. U Wisła­wy Szym­bor­skiej licz­by słu­żą do zada­wa­nia pytań, na któ­re nikt nie zna odpo­wie­dzi – i całe szczęście.

W jej wier­szu ta mate­ma­tycz­na sta­ła zosta­je jed­no­cze­śnie spro­wa­dzo­na na zie­mię i wynie­sio­na w kosmos. U poet­ki licz­ba π jest nie­skoń­czo­na, nie­po­ję­ta i zupeł­nie nie­prak­tycz­na z per­spek­ty­wy ludz­kiej potrze­by porząd­ku. Czło­wiek chciał­by sztyw­ny podział: począ­tek, śro­dek, koniec. A π odpo­wia­da: „Nie, dzię­ku­ję. Będę cią­giem bez fina­łu”. To nie jest zwy­kła licz­ba, ale mani­fest prze­ciw­ko naszej obse­sji zamy­ka­nia wszyst­kie­go w ramkach.

Szym­bor­ska trak­tu­je licz­by jak dowód na to, że świat nie został stwo­rzo­ny spe­cjal­nie dla nas. One ist­nia­ły przed nami i będą ist­nia­ły po nas, zupeł­nie nie przej­mu­jąc się naszy­mi spraw­dzia­na­mi, egza­mi­na­mi i ter­mi­na­mi odda­nia pra­cy. Licz­by w jej poezji są obo­jęt­ne, ale nie okrut­ne – raczej uprzej­mie igno­ru­ją­ce, jak wszechświat.

U Szym­bor­skiej licz­by czę­sto wygry­wa­ją z emo­cja­mi. Czło­wiek się zako­chu­je, cier­pi, roz­pa­cza, a licz­by dalej robią swo­je: doda­ją się, dzie­lą, cią­gną w nie­skoń­czo­ność. I wła­śnie w tym poet­ka znaj­du­je humor.

Jed­no­cze­śnie licz­by w jej poezji nie są zim­ne. Są raczej świad­ka­mi ludz­kiej krzą­ta­ni­ny. Patrzą, jak pró­bu­je­my opi­sać nie­skoń­czo­ność skoń­czo­nym języ­kiem, jak chce­my zro­zu­mieć świat, któ­ry nie ma obo­wiąz­ku być zro­zu­mia­ły. Szym­bor­ska poka­zu­je, że mate­ma­ty­ka i poezja wca­le się nie wyklu­cza­ją – obie pró­bu­ją ogar­nąć cha­os, tyl­ko każ­da robi to inny­mi narzędziami.

Licz­by u noblist­ki uczą poko­ry. Mówią, że nie wszyst­ko musi mieć sens, nie wszyst­ko da się zamknąć w defi­ni­cji, a brak odpo­wie­dzi bywa bar­dziej uczci­wy niż odpo­wiedź „na siłę’’. W świe­cie, w któ­rym cią­gle chce­my wię­cej, szyb­ciej i dokład­niej, π „cią­gną­ce’’ się bez koń­ca jest deli­kat­nym przy­po­mnie­niem, że nie­skoń­czo­ność nie musi się spieszyć.

Ten wiersz w grun­cie rze­czy jest o czło­wie­ku. O jego potrze­bie licze­nia, mie­rze­nia, porząd­ko­wa­nia – i o jego bez­rad­no­ści wobec tego, co wymy­ka się rachun­kom. A jeśli przy oka­zji moż­na się nad tym uśmiech­nąć, to zna­czy, że poezja zro­bi­ła dokład­nie to, co powin­na. Bo u Szym­bor­skiej nawet licz­by wie­dzą, że nie wszyst­ko trze­ba brać dosłownie.

*

Naj­waż­niej­sza z punk­tu widze­nia mate­ma­ty­ków hipo­te­za doty­czą­ca π mówi, że jest ona licz­bą nor­mal­ną. Brzmi nie­win­nie, a ozna­cza, że jej kolej­ne cyfry two­rzą ide­al­ną tabli­cę liczb loso­wych. Każ­da cyfra poja­wia się rów­nie czę­sto, każ­da kom­bi­na­cja dwóch cyfr wystę­pu­je rów­nie czę­sto, każ­da kom­bi­na­cja trzech cyfr wystę­pu­je rów­nie czę­sto i tak dalej. W kon­se­kwen­cji z tej hipo­te­zy wyni­ka, że np. kom­bi­na­cja „007” czy „2026”, czy numer tele­fo­nu każ­de­go z naszych czy­tel­ni­ków wystę­pu­je nie­skoń­cze­nie wie­le razy.

Licz­ba π jest praw­do­po­dob­nie naj­słyn­niej­szą licz­bą świa­ta. Ma wła­sne świę­to (3/14), swo­ich patro­nów (fizy­ka i mate­ma­ty­ka, Alber­ta Ein­ste­ina i Wacła­wa Sier­piń­skie­go, uro­dzo­nych w dniu jej świę­ta), wła­sne koszul­ki, kub­ki i ma tyle cyfr, że nie mie­ści się nawet w żad­nym zeszy­cie w krat­kę. Jaki gru­by by nie był! A mimo to – i tu zaczy­na się praw­dzi­wa zaba­wa – mate­ma­ty­cy wciąż nie wie­dzą o niej wszyst­kie­go. Pro­blem z π pole­ga na tym, że jest nie­skoń­czo­ne i nie­prze­wi­dy­wal­ne. Nie powta­rza się, nie koń­czy i nie daje się zapa­mię­tać. Mate­ma­ty­cy liczą jej kolej­ne cyfry od tysię­cy lat i do dziś nikt nie zna­lazł sen­su ukry­te­go w jej roz­wi­nię­ciu dzie­sięt­nym. Cho­ciaż wie­lu próbowało.

Dobrze więc, że licz­ba π zosta­ła odkry­ta. Bo ona ist­nia­ła od zawsze. Cza­iła się w każ­dym kole, okrą­głym tale­rzu. Ludzie tyl­ko stop­nio­wo odkry­wa­li, że nie­za­leż­nie od tego, czy mie­rzą koło garn­kiem, kijem czy sznur­kiem, zawsze wycho­dzi to samo. To nie przy­pa­dek! To spi­sek geometrii!

Tym­cza­sem (i póki co) nikt nie wie, jak ona dokład­nie dzia­ła, a mimo to wszy­scy ją uży­wa­ją. Inży­nie­ro­wie budu­ją mosty, fizy­cy opi­su­ją wszech­świat, a ucznio­wie dosta­ją jedyn­ki – wszyst­ko przez π. To tro­chę jak z prą­dem elek­trycz­nym; nie rozu­miesz, ale na pew­no lepiej nie wkła­dać palu­chów tam, gdzie nie trzeba.

*

Naj­bar­dziej podej­rza­ne jest to, że π poja­wia się nawet tam, gdzie nie ma kół. W sta­ty­sty­ce, w fizy­ce, w teo­rii praw­do­po­do­bień­stwa. To tak, jak­by licz­ba przy­szła na impre­zę, na któ­rą nikt jej nie zapra­szał, i jesz­cze zosta­ła głów­ną atrakcją.

Licz­ba π zde­cy­do­wa­nie zosta­ła kie­dyś przez kogoś odkry­ta, ale jej sym­bol (autor­stwa Wil­lia­ma Jone­sa), nazwy i cała otocz­ka to już czy­sty wyna­la­zek czło­wie­ka. Inny­mi sło­wy, π ist­nia­ło zawsze, tyl­ko cze­ka­ło, aż ktoś je zauwa­ży i zacznie się nim stresować.

Naj­więk­szą tajem­ni­cą mate­ma­ty­ki pozo­sta­je jed­nak to, że ona zawsze dzia­ła. Nawet jeśli nikt nie wie dla­cze­go. Rakie­ty lecą w kosmos, mosty się nie zawa­la­ją (zazwy­czaj), a bank wie dokład­nie, ile jeste­śmy win­ni. Wszyst­ko przez mate­ma­ty­kę. I to jest podejrzane.

Bo mate­ma­ty­ka, jak życie, nie zawsze jest łatwa. Ale za to zawsze ma wynik. Nawet jeśli kom­plet­nie inny niż nasz.

Wie­my na pew­no, że licz­ba π jest licz­bą nie­wy­mier­ną, co ozna­cza, że ma nie­skoń­czo­ne nie­okre­so­we roz­wi­nię­cie dzie­sięt­ne. Jest też licz­bą prze­stęp­ną, czy­li nie ist­nie­je wie­lo­mian o współ­czyn­ni­kach cał­ko­wi­tych, któ­re­go była­by miej­scem zero­wym. A to jest ści­śle powią­za­ne ze słyn­ną kwa­dra­tu­rą koła i dowo­dzi, że – uży­wa­jąc tyl­ko linij­ki i cyr­kla – nie da się skon­stru­ować kwa­dra­tu o polu rów­nym polu dane­go koła.

Nie wie­my nato­miast, czy jest licz­bą nor­mal­ną, czy jej kolej­ne cyfry two­rzą ciąg napraw­dę losowy.

*

Patrząc na defi­ni­cję licz­by nie­wy­mier­nej jako licz­by posia­da­ją­cej nie­skoń­czo­ne roz­wi­nie­cie dzie­sięt­ne, w któ­rym nie jest moż­li­we zna­le­zie­nie okre­su, to jest cią­gu liczb takie­go, że od pew­ne­go miej­sca roz­wi­nie­cie będzie sta­no­wi­ło nie­koń­czą­cy się ciąg powtó­rzeń tego cią­gu, nasu­wa się myśl, że wszyst­kie licz­by nie­wy­mier­ne są licz­ba­mi Szym­bor­skiej. Ale to nie jest praw­dą i moż­na zna­leźć bez­lik liczb nie­wy­mier­nych, któ­re nie są licz­ba­mi poet­ki, jak np. licz­ba \(\sum_{k=1}^{\infty} 10^{-nk^2} \), któ­ra w roz­wi­nię­ciu dzie­sięt­nym posia­da same jedyn­ki oddzie­lo­ne blo­ka­mi zer o dłu­go­ści kolej­no 2n, 4n, 6n,… (gdzie n jest dowol­ną sta­łą natu­ral­ną). Jest to zatem licz­ba nie­wy­mier­na, ale nie jest licz­bą Szymborskiej.

Dodaj­my, że tych liczb jest nie­prze­li­czal­nie wie­le (tj. nie moż­na ich upo­rząd­ko­wać, co ozna­cza poli­czyć), czy­li tyle, co wszyst­kich liczb rze­czy­wi­stych! Sko­ro tak, to nasu­wa się pyta­nie, ile jest liczb nie­wy­mier­nych, któ­re nie są licz­ba­mi Szym­bor­skiej. I tu poja­wia się kolej­na nie­spo­dzian­ka – tych liczb rów­nież jest nie­prze­li­czal­nie wiele.

Sta­ła Archi­me­de­sa, ludol­fi­na, czy­li popu­lar­nie licz­ba π, jest jed­ną z naj­le­piej pozna­nych liczb, a jed­no­cze­śnie jed­ną z naj­bar­dziej tajem­ni­czych. To kró­lo­wa tajem­nic, nie­skoń­czo­na i kom­plet­nie nie­po­tra­fią­ca się zde­cy­do­wać, jakie ma kolej­ne cyfry. To licz­ba, któ­ra mówi wprost: „Nie musisz mnie rozu­mieć. Wystar­czy, że zaak­cep­tu­jesz”. Naj­więk­sze hipo­te­zy z nią zwią­za­ne to nor­mal­ność i loso­wość cyfr jej roz­wi­nię­cia dzie­sięt­ne­go. Wszyst­kie pozo­sta­ją otwar­te. Mate­ma­ty­cy zna­ją bilio­ny cyfr licz­by π, ale wciąż nie zna­ją ich tajem­ni­cy. Tak więc licz­ba π to dowód, że nawet coś tak bar­dzo pro­ste­go, jak sto­su­nek obwo­du koła do śred­ni­cy, może pro­wa­dzić do pro­ble­mów, któ­rych nie uda­ło się roz­wią­zać przez kil­ka tysię­cy lat.

Tade­usz Ostrowski
dr nauk matematycznych

Ilu­stra­cje w tek­ście to pro­jek­ty auto­ra wyko­na­ne przy pomo­cy AI.