Liczby trójkątne. Lot żurawi

Édo­uard Lucas^* (1842–1891) przy­pi­su­je pocho­dze­nie liczb, zwa­nych trój­kąt­ny­mi, obser­wa­cji lotu pew­nych pta­ków. Na cze­le szy­bu­je jeden ptak, za nim w dru­gim sze­re­gu dwa, w trze­cim sze­re­gu trzy itd., wsku­tek cze­go szyk tej lot­nej kolum­ny przy­po­mi­na nam trójkąt.

Aby wytwo­rzyć sobie poję­cie o licz­bach trój­kąt­nych i nauczyć się przed­sta­wiać je gra­ficz­nie na papie­rze krat­ko­wa­nym, spójrz­my na poniż­szy rysu­nek, któ­re­go jed­na część (A) zawie­ra w pierw­szym wier­szu 1 krat­kę, w dru­gim – 2 krat­ki, w następ­nych wier­szach, do siód­me­go włącz­nie, odpo­wied­nio 3, 4, 5, 6, 7 kra­tek, czy­li wyobra­ża siód­mą licz­bę trój­kąt­ną 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7; dodaw­szy, znaj­dzie­my 28.

Lecz taki spo­sób two­rze­nia liczb trój­kąt­nych nie daje nam żad­nych ogól­nych wska­zó­wek do łatwe­go wyzna­cze­nia któ­rej­kol­wiek z nich; gdy­by­śmy chcie­li obli­czyć np. tysięcz­ną, musie­li­by­śmy dodać do sie­bie 1000 pierw­szych liczb, począw­szy od 1, co, oczy­wi­ście, sta­no­wi­ło­by dłu­gi i nud­ny rachunek.

Zamiast tego, zauważ­my, że dru­ga część (B) rysun­ku, roz­pa­try­wa­na czy to z góry, czy z dołu, wyobra­ża, ze wzglę­du na licz­bę zawar­tych w niej kra­tek, tę samą licz­bę trój­kąt­ną, co i część (A); całość jest zatem ilu­stra­cją podwo­jo­nej licz­by trój­kąt­nej, o któ­rą cho­dzi. Ponie­waż cały rysu­nek skła­da się z sied­miu wier­szy, po osiem kra­tek w każ­dym, zawie­ra więc 7 · 8 kra­tek, poło­wa zaś tego ilo­czy­nu, czy­li 28, jest siód­mą licz­bą trójkątną.

Inny­mi sło­wy, mamy: \[ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +7 = \dfrac{7 \cdot 8}{2} = 28.\]

Podob­nie, dla obli­cze­nia tysięcz­nej licz­by trój­kąt­nej wyko­na­li­by­śmy rachu­nek: \[ 1 + 2 + 3 + \ldots + 1000 = \dfrac{1000 \cdot 1001}{2} = 500\ 500.\]

Zastę­pu­jąc licz­bę 1000 jaką­kol­wiek inną n, otrzy­ma­my wzór \[ 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \dfrac{n \cdot (n+1)}{2},\]

pozwa­la­ją­cy nam obli­czyć n-ą licz­bę trój­kąt­ną, któ­rą ozna­czy­my sym­bo­lem T_n.

Kra­tek na rysun­ku jest więc 2 T_n. Jeże­li usu­nie­my na tym rysun­ku ostat­nią kolum­nę, pozo­sta­nie nam kwa­drat, zło­żo­ny z 7 wier­szy, po 7 kra­tek w każ­dym, któ­ry, jak łatwo widzieć, jest połą­cze­niem dwóch liczb trój­kąt­nych T₆ i T₇. Mamy więc:

2 T₇ – 7 = 7² = T₇ + T₆.

Jeże­li na tym samym rysun­ku doda­my jesz­cze jeden wiersz na dole, zło­żo­ny z 8 kra­tek, łatwo prze­ko­na­my się, że otrzy­ma­my równość:

2 T₇ + 8 = 8² = T₈ + T₇.

Wziąw­szy zaś zamiast 7 jaką­kol­wiek licz­bę n, otrzy­ma­my wzo­ry ogólne:

2 T_n — n = n² = T_n + T_n _₁

2 T_n + n + 1 = (n + 1)² = T_n+1 + T_n.

Pomi­mo wszel­kich pozo­rów uczo­no­ści, otrzy­ma­li­śmy ostat­nie wzo­ry, nie posił­ku­jąc się żad­nym rachun­kiem, lecz po pro­stu „odczy­tu­jąc” je, „widząc” na rysun­kach lub, wresz­cie, budu­jąc wła­sny­mi ręko­ma z drew­nia­nych kwa­dra­ci­ków, albo jakich­kol­wiek licz­ma­nów, kła­dzio­nych po jed­ne­mu w każ­dej kratce.

***

Tekst arty­ku­łu pocho­dzi z książ­ki pt. Ini­tia­tion mathéma­ti­que, któ­rej auto­rem jest C.A. Laisant. Pol­ski prze­kład Z. Czu­bal­skie­go uka­zał się w 1908 r.

^* Lucas w 1883 roku wymy­ślił grę zwa­ną Wie­że Hanoi.