Temat „Nie­dzie­siąt­ko­we sys­te­my licze­nia” wybra­łem na zaję­cia koła mate­ma­tycz­ne­go w szko­le pod­sta­wo­wej z dwóch powo­dów. Po pierw­sze, to zagad­nie­nie mate­ma­tycz­nie cie­ka­we, a jed­no­cze­śnie nie­obec­ne w pod­sta­wie pro­gra­mo­wej. Po dru­gie, to zagad­nie­nie, któ­re ma sze­ro­kie zasto­so­wa­nie. Sys­tem dwój­ko­wy (binar­ny) jest powszech­nie wyko­rzy­sty­wa­ny w infor­ma­ty­ce i elek­tro­tech­ni­ce kom­pu­te­ro­wej, a zapis liczb w sys­te­mie szes­nast­ko­wym na trwa­łe zago­ścił w prak­ty­ce pro­gra­mi­stów czy gra­fi­ków kom­pu­te­ro­wych. Dodaj­my, że z sys­te­mem binar­nym spo­ty­ka­my się rów­nież pośred­nio, na przy­kład wte­dy, gdy czy­ta­my o ilo­ści prze­sy­ła­nych danych (poda­nej w bitach na sekun­dę) lub pojem­no­ści dys­ków (poda­nej w bajtach).

Pro­po­zy­cja dydaktyczna
Pro­po­zy­cja opie­ra się na trzech meto­dach: poga­dan­ce wpro­wa­dza­ją­cej, poka­zie dydak­tycz­nym oraz pra­cy ćwi­cze­nio­wej. Jako pierw­szą wybra­łem poga­dan­kę wpro­wa­dza­ją­cą, ponie­waż – moim zda­niem – naj­le­piej wpro­wa­dza ona uczniów w nowy temat zajęć koła mate­ma­tycz­ne­go. Ucznio­wie dowia­du­ją się w jej trak­cie o sys­te­mach addy­tyw­nych i pozy­cyj­nych, pozna­ją histo­rię liczb oraz ich zasto­so­wa­nie w życiu codzien­nym. Meto­dę poka­zu dydak­tycz­ne­go wyko­rzy­stam nato­miast do tego, by w pro­sty spo­sób na kil­ku przy­kła­dach poka­zać uczniom, jak zamie­niać licz­by z jed­ne­go sys­te­mu na dru­gi oraz jak wyko­ny­wać dzia­ła­nia aryt­me­tycz­ne w sys­te­mie dwójkowym.

Poga­dan­ka wprowadzająca
Poni­żej znaj­du­je się tekst, pomoc­ny w przy­go­to­wa­niu pogadanki.

Daw­no temu, kie­dy ludzie nie zna­li jesz­cze żad­ne­go pisma, jedy­ny­mi liczeb­ni­ka­mi były sło­wa: „nic”, „jeden, „dwa” itd.. Aby wyra­zić np. licz­bę 5, ludzie uży­wa­li praw­do­po­dob­nie kom­bi­na­cji słów: „jeden” i „dwa” (5 = 2 + 2 + 1) lub po pro­stu mówio­no „wie­le”. Pierw­szym „narzę­dziem” do licze­nia były pal­ce jed­nej ręki, następ­nie obu rąk – stąd natu­ral­na dzie­siąt­ka. Z cza­sem poja­wi­ła się potrze­ba zapi­su infor­ma­cji o licz­bie np. zwie­rząt, skór czy strzał. Naj­star­szym zna­nym spo­so­bem było ryso­wa­nie odpo­wied­niej licz­by kre­sek na zie­mi albo wyko­ny­wa­nie nacięć na paty­ku lub kości.

Aby łatwiej obli­czać więk­sze ilo­ści, co pią­te lub co dzie­sią­te nacię­cie zazna­cza­no poprzecz­ną kre­ską. W ten spo­sób powsta­ły pierw­sze sym­bo­le ozna­cza­ją­ce poli­czo­ne przed­mio­ty. Pew­ne śla­dy odkry­te przez arche­olo­gów wska­zu­ją, że pro­ste obli­cze­nia wyko­rzy­sty­wa­li myśli­wi i wodzo­wie ple­mien­ni, np. do sza­co­wa­nia bojo­wej siły swo­ich ludzi.

Dro­gi roz­wo­ju umie­jęt­no­ści licze­nia i pisma licz­bo­we­go prze­bie­ga­ły róż­nie u róż­nych ludów. Nie­któ­re z nich zaczę­ły zapi­sy­wać licz­by za pomo­cą liter wła­sne­go alfa­be­tu, co pro­wa­dzi­ło do trud­no­ści z zapi­sem dużych war­to­ści. Dużo wygod­niej­szą dro­gą oka­za­ło się wpro­wa­dze­nie odręb­nych sym­bo­li prze­zna­czo­nych wyłącz­nie do zapi­su liczb, co z cza­sem dopro­wa­dzi­ło do powsta­nia bar­dziej upo­rząd­ko­wa­nych sys­te­mów liczbowych.

Roz­róż­nia­my dwa sys­te­my licz­bo­we: addy­tyw­ny i pozy­cyj­ny. W sys­te­mie addy­tyw­nym licz­by two­rzy się przez doda­wa­nie kolej­nych sym­bo­li, stąd nazwa tej meto­dy (jeśli np. „X” = 10, „V” = 5, „I” = 1, to „XVI” = 10 + 5 + 1 = 16). Przy­kła­dem sys­te­mu addy­tyw­ne­go jest dobrze zna­ny i wciąż sto­so­wa­ny rzym­ski sys­tem licz­bo­wy. Innym przy­kła­dem były hie­ro­gli­fy uży­wa­ne w sta­ro­żyt­nym Egipcie.

Lep­szym, cho­ciaż­by ze wzglę­du na wyko­ny­wa­nie dzia­łań aryt­me­tycz­nych, oka­zał się sys­tem pozy­cyj­ny, wyna­le­zio­ny przez Babi­loń­czy­ków. W sys­te­mie tym licz­bę przed­sta­wia się jako ciąg cyfr, przy czym „waga” każ­dej cyfry zale­ży od jej miej­sca (pozy­cji), na któ­rym się znaj­du­je. Powszech­nie sto­so­wa­nym przez ludzi sys­te­mem licz­bo­wym stał się sys­tem dzie­sięt­ny, opar­ty dzie­się­ciu cyfrach.

Naj­star­sze doku­men­ty zawie­ra­ją­ce zna­ki odpo­wia­da­ją­ce 1, 2, …, 9, się­ga­ją czwar­te­go tysiąc­le­cia p.n.e. Zero (0) poja­wi­ło się znacz­nie póź­niej – jako odpo­wied­nik wyra­zu „nic” dłu­go wyda­wa­ło się czymś odręb­nym od liczb dodat­nich. Cyfry „wyna­le­zio­ne” przez Hin­du­sów nazy­wa­my dziś cyfra­mi arab­ski­mi, bowiem naro­dy euro­pej­skie pozna­ły je wła­śnie za pośred­nic­twem Arabów.

Jak widać na rysun­ku, cyfry hindusko-arabskie nie od razu przy­bra­ły współ­cze­sną postać.

Źró­dło: W. Kry­sic­ki, Jak liczo­no daw­niej a jak liczy­my dziś, War­sza­wa 1979, s. 10

W wier­szu 1. widzi­my cyfry hin­du­skie z I w. p.n.e. 
W wier­szu 2. znaj­du­ją się cyfry hin­du­skie ukła­du pozy­cyj­ne­go z IX w. n.e.
Wiersz 3. przed­sta­wia cyfry arab­skie z X w. n.e.
W wier­szu 4. uka­za­no zna­ki cyfr uży­wa­ne w Euro­pie w XII w.
W wier­szu 5. znaj­du­ją się cyfry hin­du­skie z XII w.
Wiersz 6. zawie­ra naj­star­sze dru­ko­wa­ne cyfry z 1474 r.

Zanim sys­tem dzie­siąt­ko­wy stał się powszech­nie uży­wa­ny, róż­ne ple­mio­na i naro­dy posłu­gi­wa­ły się inny­mi sys­te­ma­mi. Układ piąt­ko­wy wystę­po­wał m.in. u indiań­skie­go ple­mie­nia Szo­szo­nów w Ame­ry­ce Pół­noc­nej oraz w języ­ku Wedau na Nowej Gwi­nei. Sta­ro­żyt­ni Majo­wie (I w. p.n.e.) uży­wa­li nato­miast ukła­du dwudziestkowego.

Pozo­sta­łość sys­te­mów innych niż dzie­siąt­ko­wy spo­ty­ka­my do dziś. Przy­kła­dy zasto­so­wa­nia sys­te­mu dwu­nast­ko­we­go są licz­ne: rok podzie­lo­ny jest na 12 mie­się­cy, dzień i noc mają po 12 godzin, a w han­dlu sto­su­je się sło­wo „tuzin’’. Śla­dy ukła­du sześć­dzie­siąt­ko­we­go, pocho­dzą­ce­go od Babi­loń­czy­ków, są widocz­ne zarów­no w mia­rach cza­su (godzi­na ma 60 minut, minu­ta – 60 sekund), jak i w daw­nym licze­niu „na kopy” (60 sztuk). Podział kąta peł­ne­go na 360 stop­ni jest rów­nież w ści­słym związ­ku z tym systemem.

Współ­cze­śnie w tech­ni­ce kom­pu­te­ro­wej sto­so­wa­ny jest powszech­nie sys­tem dwój­ko­wy, któ­ry cha­rak­te­ry­zu­je się tym, że:
• do zapi­sa­nia każ­dej licz­by wystar­czą dwie cyfry: 0 i 1,
• jed­nost­ka każ­de­go następ­ne­go rzę­du jest dwa razy więk­sza od jed­nost­ki rzę­du poprzedniego.

Pokaz dydak­tycz­ny
Poni­żej znaj­du­ją się slaj­dy przed­sta­wia­ją­ce dwa zagadnienia:
– kon­wer­sję (zamia­nę) zapi­su licz­by z jed­ne­go sys­te­mu licz­bo­we­go na inny;
– dzia­ła­nia aryt­me­tycz­ne w sys­te­mie dwój­ko­wym*.

.

Pro­po­zy­cja ćwiczeń
1. Zapisz licz­by: 23(10) i 31(10) w sys­te­mach dwój­ko­wym oraz szesnastkowym.
2. Dane są licz­by w sys­te­mie dwój­ko­wym 10101(2) i 11011(2). Zapisz je w sys­te­mie dziesiątkowym.
3. Zapisz licz­by: 17(10) i 25(10) w sys­te­mie dwój­ko­wym, dodaj je, a war­tość sumy tych liczb zapisz w sys­te­mie dziesiątkowym.
4. Dodaj licz­by 10111(2), 11001(2) , a wynik sprawdź w sys­te­mie dziesiątkowym.
5. Wyko­naj odej­mo­wa­nie 11001(2) – 10111(2) i sprawdź wynik w sys­te­mie dziesiątkowym.
6. Oblicz ilo­czyn 11011(2) · 1111(2) i sprawdź wynik w sys­te­mie dziesiątkowym.
7. Oblicz ilo­raz nastę­pu­ją­cych par liczb:
a) 11001(2) i 101(2),
b) 1100(2) i 100(2),
c) 11110(2) i 110(2).
8. Wyko­naj dzie­le­nie 60 : 12 w sys­te­mie dwójkowym.
9. Licz­bę 11000101(2) zapisz w sys­te­mie szesnastkowym.

Roz­wią­za­nia ćwi­czeń znaj­du­ją się tutaj.

Lite­ra­tu­ra:
W. Kry­sic­ki, Jak liczo­no daw­niej a jak liczy­my dziś, War­sza­wa 1979.
Z. Kraw­ce­wicz, Zada­nia dla uczniów klas V‑VIII uzdol­nio­nych mate­ma­tycz­nie, War­sza­wa 1976.

Grze­gorz Kowalczyk 
Szko­ła Pod­sta­wo­wa nr 8 im. Jana Paw­ła II z Oddzia­ła­mi Dwu­ję­zycz­ny­mi i Spor­to­wy­mi w Policach

* Przy­ję­to nastę­pu­ją­ce kon­wen­cje zapi­su liczb w sys­te­mie dwój­ko­wym: (101)2 , (101)2 lub 1012.  Czy­ta­my: „jeden-jeden-zero w sys­te­mie dwójkowym”.