W języ­ku codzien­nym, a tak samo i w słow­nic­twie nauko­wym ist­nie­je wie­le ter­mi­nów i pojęć, któ­rych treść raczej intu­icyj­nie odczu­wa­my niż rozu­mie­my. Dość wspo­mnieć o przy­kła­dach takich jak „dobry“ lub „zły“, „dro­gi“ i „tani“, „uczci­wy“ i „nie­uczci­wy“, wzię­tych z życia codzien­ne­go, lub o ter­mi­nach takich jak „rze­czy­wi­stość“, „abso­lut“, „trans­cen­den­tal­ny“, „arty­stycz­ny“ itp.

Zna­cze­nie ich inne jest zwy­czaj­nie dla jed­nych, a inne lub przy­naj­mniej odmien­ne dla dru­gich, a zmie­nia się nawet nie­raz z naszym sta­nem psy­chicz­nym. Toteż pra­ce i trak­ta­ty nauko­we, poświę­co­ne już nie tyl­ko zagad­nie­niom życia spo­łecz­ne­go, lite­ra­tu­ry lub sztu­ki, ale i naukom ści­słym, jeże­li nawet zro­zu­mia­łe są dla auto­ra i czy­tel­ni­ka, to czę­sto, lub przy­naj­mniej czę­ściej niż się to zwy­kle przy­pusz­cza, ina­czej przez oby­dwu. Brak jed­no­znacz­nej ter­mi­no­lo­gii i dosta­tecz­nie okre­ślo­nych pojęć pro­wa­dzi wsku­tek tego nie­jed­no­krot­nie do gru­bych błę­dów i nie­po­ro­zu­mień, a co za tym idzie utrud­nia roz­wój nauki.

Trud­no się zresz­tą dzi­wić temu sta­no­wi rze­czy. Z jed­nej stro­ny w two­rze­niu i inter­pre­ta­cji goto­wych już pojęć współ­dzia­ła­ją obok praw logi­ki prze­róż­ne czyn­ni­ki psy­chicz­ne w rodza­ju intu­icji, wyobra­żeń, uczuć itp., z któ­rych nie­jed­no­krot­nie trud­no zdać sobie spra­wę, z dru­giej zaś, kwe­stia usta­le­nia pojęć i wyja­śnie­nia ich wza­jem­ne­go sto­sun­ku się­ga samych pod­staw naszej wie­dzy a doświad­cze­nia poczy­nio­ne wska­zu­ją, że bada­nie tych pod­staw nale­ży do najtrudniejszych.

Bada­nia te roz­po­czę­ła i pro­wa­dzi mate­ma­ty­ka już od daw­na, bo od cza­sów grec­kich i słyn­ne­go postu­la­tu Eukli­de­sa, a do eta­pów tej pra­cy zali­czyć moż­na książ­kę D. Hil­ber­ta o pod­sta­wach geo­me­trii oraz dzie­ło Rus­sel­la i Whi­te­he­ada pt. Prin­ci­pia mathe­ma­ti­ca. Co praw­da, nie­któ­re nauki, zwłasz­cza np. fizy­ka doświad­czal­na i bez tych badań, a mimo pew­nych nawet znacz­nych bra­ków i nie­ja­sno­ści w świe­cie swo­ich pojęć doszła do wyni­ków, na któ­re patrzy­my z podzi­wem. Nie­mniej jed­nak na koniecz­ność takiej krytyczno-filozoficznej rewi­zji i budo­wy od pod­staw zda­je się wska­zy­wać sama nawet fizy­ka w związ­ku z teo­rią względ­no­ści – poję­cie tak zda­wa­ło­by się intu­icyj­nie jasne, jak „rów­no­cze­sność dwóch zja­wisk“ potrze­bu­je logicz­nej pre­cy­zji, bo może się stać pozba­wio­ne sen­su, gdy nie okre­śli­my bli­żej warun­ków, w jakich te zja­wi­ska rozpatrujemy.

Do rzę­du pojęć raczej intu­icyj­nie odczu­wa­nych przez wie­lu, niż rozu­mia­nych, nale­ży poję­cie nie­skoń­czo­no­ści. Było ono przed­mio­tem badań przez wie­lu filo­zo­fów i mate­ma­ty­ków, począw­szy od filo­zo­fów grec­kich jak Ary­sto­te­les, a skoń­czyw­szy na cza­sach naj­now­szych i dało nie­jed­no­krot­nie powód do gorą­cych dys­ku­sji namięt­nych spo­rów. Zda­je się ono świad­czyć mię­dzy inny­mi, jak nie­bez­piecz­ne jest uży­wa­nie słów o nie­ja­sno sfor­mu­ło­wa­nej treści.

Dla jed­nych, np. u Spi­no­zy, sło­wo „nie­skoń­czo­ny“ zna­czy­ło coś w tym rodza­ju co „nie dają­cy się powięk­szyć“ lub „więk­szy od wszyst­kie­go, co ist­nie­je“; dla innych łączy­ło się ono z pew­ne­go rodza­ju czyn­no­ścią i było rów­no­znacz­ne ze sło­wem „nie­koń­czą­cy się“ lub „nie mają­cy koń­ców“. W tym ostat­nim zna­cze­niu zda­je się uży­wać tego sło­wa Kant, sta­ra­jąc się dowieść tezy swej pierw­szej anty­no­mii czy­ste­go rozu­mu: „świat ma począ­tek w cza­sie i jest ogra­ni­czo­ny w prze­strze­ni“. Roz­róż­nia­no przy tym kil­ka nie­skoń­czo­no­ści, jak np. abso­lut­ną, nazy­wa­ną ina­czej abso­lu­tem, aktu­al­ną i poten­cjal­ną, czy­li syn­ka­te­go­re­ma­tycz­ną, a nawet „praw­dzi­wą“ w odróż­nie­niu od „fał­szy­wej“ itp.

Doda­ję, że dys­ku­sje w kwe­stii nie­skoń­czo­no­ści scho­dzi­ły nie­jed­no­krot­nie na tory reli­gij­ne (dowo­dze­nie albo zaprze­cza­nie ist­nie­nia Boga). Prze­ciw wycią­ga­niu takich wnio­sków wystę­pu­je w jed­nym ze swych listów G. Can­tor, któ­ry w głów­nej mie­rze przy­czy­nił się do wyja­śnie­nia pro­ble­mu nie­skoń­czo­no­ści i któ­re­go moż­na uwa­żać za wła­ści­we­go twór­cę liczb nieskończonych.

Przy­stę­pu­jąc do bliż­sze­go roz­pa­trze­nia poję­cia nie­skoń­czo­no­ści i do poda­nia wyni­ków, do jakich nauka w tym kie­run­ku doszła, chciał­bym zazna­czyć, że przed­sta­wie­nie moich uwag zamie­rzam podać w for­mie raczej przy­stęp­nej, niż pre­cy­zyj­nej. Celem zaś łatwiej­sze­go zorien­to­wa­nia się w cało­ści, roz­dzie­lę ją na nastę­pu­ją­ce czte­ry części:
1. O wiel­ko­ściach cią­głych i nieciągłych.
2. Poję­cie zbio­ru nie­skoń­czo­ne­go i przy­pusz­czal­ne powo­dy, dla któ­rych daw­niej nie­skoń­czo­ność odrzucano.
3. Budo­wa poza­skoń­czo­nych liczb kar­dy­nal­nych i porząd­ko­wych przez Cantora.
4. Nie­skoń­czo­ność u Gre­ków i para­dok­sy Zenona.

***

Odczyt wygło­szo­ny 9 czerw­ca 1921 r. w Towa­rzy­stwie Filo­zo­ficz­nym w Kra­ko­wie, był pier­wot­nie opu­bli­ko­wa­ny w mie­sięcz­ni­ku „Ogni­wo” (5/1921).