O wielościanach. List 1

Dro­ga M…

Daw­no Ci obie­ca­łem opo­wie­ści o wie­lo­ścia­nach. Wresz­cie zaczy­nam i sta­ram się pogo­dzić sprzecz­no­ści ­­– opi­sać je dokład­nie, a jed­no­cze­śnie nie zanu­dzić Cię nad­mia­rem informacji.

War­to zająć się naj­pierw tymi, któ­re – w prze­no­śnym sen­sie – są ele­men­ta­mi pod­sta­wo­wy­mi, jak­by „pier­wiast­ka­mi” w mate­rii wie­lo­ścia­nów. Od Sta­ro­żyt­no­ści wie­dza o prze­strze­ni była ufun­do­wa­na na pię­ciu bry­łach, któ­re nazy­wa­my platońskimi.

W dia­lo­gu Tima­ios Pla­ton (ok. 427–347 p.n.e.) przed­sta­wił swój pogląd na budo­wę świa­ta, a w nim opi­sał żywio­ły, z któ­rych zbu­do­wa­ni jeste­śmy my sami i wszyst­ko wokół nas. Dziś wie­my o ponad stu pier­wiast­kach i ich ato­mach (czy kto je kie­dy­kol­wiek widział?). W IV wie­ku p.n.e. świat był pod tym wzglę­dem prost­szy: skła­dał się z czte­rech żywio­łów. Mate­ria ule­pio­na była z wiel­kiej ilo­ści bar­dzo małych dro­bin nale­żą­cych do któ­re­goś żywio­łu. Wszyst­kie sub­stan­cje były – jak przed­sta­wiał to Pla­ton – jakąś mie­sza­ni­ną tych dro­bin. Ze wspo­mnia­ne­go dia­lo­gu wia­do­mo, że dro­bi­ny ognia mają kształt czwo­ro­ścia­nu forem­ne­go (jesz­cze chwil­kę, zaraz napi­szę co to wie­lo­ścian forem­ny), naj­mniej­sze czę­ści zie­mi to sze­ścia­ny, powie­trze skła­da się z ośmio­ścia­nów forem­nych, a woda to dwu­dzie­sto­ścia­ny. Pla­ton dość meto­dycz­nie kon­stru­uje opi­sy tych czte­rech wie­lo­ścia­nów. Wresz­cie wspo­mi­na „naj­trud­niej­szą” bry­łę – dwu­na­sto­ścian forem­ny: „Jest jesz­cze jed­na kom­bi­na­cja, pią­ta z rzę­du; bóg użył jej do wyma­lo­wa­nia wszechświata”.

Moż­na zachwy­cić się prze­myśl­no­ścią całe­go tego porząd­ku, w któ­rym zda­rzy­ło nam się żyć:

Wszyst­kie te bry­ły trze­ba sobie przed­sta­wić tak drob­ne, że, z powo­du ich mało­ści, poszcze­gól­nych brył każ­de­go rodza­ju zgo­ła widzieć nie może­my – dopie­ro gdy się ich dużo zbie­rze, widzi­my ich masy. Jeże­li cho­dzi o sto­sun­ki ilo­ścio­we, o ruchy i inne siły, to wszyst­ko bóg, o ile tyl­ko jego woli i per­swa­zji ustę­po­wa­ła dobro­wol­nie natu­ra koniecz­no­ści, wykoń­czył dokład­nie i dosko­na­le i zestro­ił to z sen­sem. (tłum. Wła­dy­sław Witwicki)

Do tej wizji budo­wy świa­ta nawią­zy­wał Johan­nes Kepler (1571–1630), umiesz­cza­jąc w swo­jej książ­ce rysu­nek przed­sta­wia­ją­cy pięć brył platońskich.

Zwo­len­ni­cy takiej wizji wią­za­li dwu­na­sto­ścian forem­ny – ten pią­ty kształt – z ete­rem, pią­tą esen­cją, czy­li kwin­te­sen­cją: czymś, co wypeł­nia prze­strzeń we wszech­świe­cie tam, gdzie nie ma powie­trza. Uzna­wa­li bowiem, że prze­strzeń nie może być cał­kiem pusta.

Mogło­by się wyda­wać, że to wizja ato­mi­stycz­na, jed­nak Pla­ton nie zga­dzał się z kon­cep­cją Demo­kry­ta – zwłasz­cza z nie­po­dziel­no­ścią naj­mniej­szych czą­stek mate­rii. Wyobra­żał sobie ich ruchli­wość i prze­mia­ny. Tych „dro­bin żywio­łów” nie może­my utoż­sa­miać z ato­ma­mi, bowiem atom zna­czy nie­po­dziel­ny. Wpraw­dzie dziś wie­my, że nie­po­dziel­ność ato­mów daw­no zosta­ła pod­wa­żo­na, ale to zupeł­nie inna opo­wieść. Dobrze – porzu­cam Pla­to­na i wra­cam do wielościanów.

Wie­lo­ścian forem­ny to taki wie­lo­ścian, któ­re­go ścia­ny są wie­lo­ką­ta­mi forem­ny­mi jed­ne­go rodza­ju: jeśli to są trój­ką­ty – to tyl­ko trój­ką­ty; jeśli kwa­dra­ty – to same kwa­dra­ty; jeśli pię­cio­ką­ty – wyłącz­nie pię­cio­ką­ty. No dobrze, a co z sze­ścio­ką­ta­mi, sied­mio­ką­ta­mi itd.? Te wie­lo­ką­ty (forem­ne!) nie mogą two­rzyć kąta bry­ło­we­go. Trzy sze­ścio­ką­ty zesta­wio­ne razem tak, by przy­le­ga­ły i nie zacho­dzi­ły na sie­bie, dają figu­rę pła­ską – leżą w jed­nej płasz­czyź­nie). A sied­mio­ką­ty, ośmio­ką­ty i dal­sze zebra­ne po trzy two­rzą kąty więk­sze niż kąt peł­ny (co naj­mniej dwa wie­lo­ką­ty zacho­dzą na sie­bie). Spróbuj!

Wie­lo­ścian forem­ny ma ścia­ny forem­ne jed­ne­go rodza­ju. Ale to jesz­cze nie wszyst­ko. Ścia­ny muszą spo­ty­kać się w takich samych wierz­choł­kach. Wystar­czy powie­dzieć, że w każ­dym wierz­choł­ku zbie­ga się taka sama licz­ba wie­lo­ką­tów. Poli­czysz, ile?

Dość daw­no było wia­do­mo, że bry­ły pla­toń­skie świet­nie nada­ją się na kości do gry. Takie kości były uży­wa­ne na przy­kład w Egip­cie, w cza­sie pano­wa­nia dyna­stii Pto­le­me­uszy (od 304 do 30 r. p.n.e.). War­to zasta­no­wić się przy oka­zji, jakie warun­ki powi­nien speł­niać kształt, żeby taka kost­ka była spra­wie­dli­wa. Kie­dyś może to omówimy…

Policz­my, ile kra­wę­dzi i wierz­choł­ków mają te wie­lo­ścia­ny. Licz­ba ścian jest w nazwie.

Przyj­rzyj się tym licz­bom i spró­buj wska­zać jakąś regu­lar­ność. Będę o tym pisał w następ­nym liście.

Mię­dzy poszcze­gól­ny­mi bry­ła­mi zacho­dzą też inne cie­ka­we związki.

Johan­nes Kepler w Myste­rium Cosmo­gra­phi­cum (1596) opi­sał model Ukła­du Sło­necz­ne­go (orbi­ty pla­net wte­dy zna­nych jako układ sfer i wie­lo­ścia­nów forem­nych o odpo­wied­nich pro­por­cjach. Ten model bywa nazy­wa­ny kub­kiem Keplera.

Na sfe­rze, na któ­rej leży orbi­ta Mer­ku­re­go (powiedz­my kró­cej: na sfe­rze Mer­ku­re­go), opi­sa­ny jest ośmio­ścian forem­ny. Na tym ośmio­ścia­nie opi­sa­na jest sfe­ra Wenus. Na sfe­rze Wenus opi­sa­ny jest dwu­dzie­sto­ścian forem­ny wpi­sa­ny w sfe­rę Zie­mi. Na sfe­rze Zie­mi opi­sa­ny jest dwu­na­sto­ścian forem­ny, na nim opi­sa­na jest sfe­ra Mar­sa. Czwo­ro­ścian forem­ny opi­sa­ny na sfe­rze Mar­sa jest wpi­sa­ny w sfe­rę Jowi­sza. Sze­ścian opi­sa­ny na sfe­rze Jowi­sza jest wpi­sa­ny w sfe­rę Saturna.

Na wszel­ki wypa­dek dopo­wiem: wie­lo­ścian jest wpi­sa­ny w sfe­rę wte­dy, gdy wszyst­kie jego wierz­choł­ki leżą na tej sfe­rze. Z kolei sfe­ra wpi­sa­na w wie­lo­ścian sty­ka się ze wszyst­ki­mi jego ścia­na­mi, z każ­dą w jed­nym punkcie.

Pro­por­cje opi­sa­ne przez Keple­ra były zgod­ne z ówcze­sny­mi obli­cze­nia­mi doty­czą­cy­mi orbit pla­net. Te obli­cze­nia nie były jed­nak bar­dzo pre­cy­zyj­ne, więc dziś może­my powie­dzieć, że kon­cep­cja Keple­ra nie zga­dza się z bar­dziej sub­tel­ny­mi pomia­ra­mi. Inna spra­wa, że dla pla­net wykry­tych póź­niej nie ma już wię­cej brył pla­toń­skich. Mimo to model pozo­sta­je ciekawy.

Póź­niej Kepler, dokład­niej bada­jąc ruchy pla­net wokół Słoń­ca, poka­zał, że ich tory są elip­sa­mi, i osta­tecz­nie sfor­mu­ło­wał trzy pra­wa opi­su­ją­ce ten ruch.

W następ­nym liście zamie­rzam opi­sać Ci nie­któ­re związ­ki mię­dzy pię­cio­ma bry­ła­mi platońskimi.

Pozdra­wiam serdecznie
Janek

Zdję­cia zosta­ły wyko­na­ne przez autora.