Dro­ga M…

Opo­wie­dzia­łem Ci tro­chę o pię­ciu wie­lo­ścia­nach foremnych.

A czym wła­ści­wie jest wie­lo­ścian? Defi­niu­je się go dość pro­sto, a rozu­mo­wa­nie zwy­kle podą­ża jed­ną z dwóch dróg:
– wie­lo­ścian to bry­ła (lub jej powierzch­nia), czy­li część prze­strze­ni ogra­ni­czo­na wielokątami
lub
– wie­lo­ścian to zespół (zbiór, zle­pek, kon­glo­me­rat) punk­tów, odcin­ków i figur płaskich.

Mnie bar­dziej odpo­wia­da to dru­gie sfor­mu­ło­wa­nie, ale wolę, żeby odcin­ki (czy­li kra­wę­dzie) nale­ża­ły do brze­gów ścian będą­cych wie­lo­ką­ta­mi, a punk­ty (po pro­stu: wierz­choł­ki) były koń­ca­mi krawędzi.

Tak okre­ślo­ny wie­lo­ścian nie zawsze ogra­ni­cza jakąś część prze­strze­ni, a nawet jeśli ją ogra­ni­cza, to raczej tak, jak sko­rup­ka ogra­ni­cza wydmusz­kę. Bry­ła jest w moim odczu­ciu czymś bar­dziej mate­rial­nym: bry­ła lodu, węgla, a może zło­ta, to coś kon­kret­ne­go… W naszych listach nie musi­my jed­nak roz­róż­niać tych dwóch pojęć bar­dzo rygo­ry­stycz­nie. Wystar­czy, że obo­je rozu­mie­my, o czym mowa.

W pierw­szym liście zapi­sa­łem (w tabe­li), ile ścian, kra­wę­dzi i wierz­choł­ków mają poszcze­gól­ne bry­ły pla­toń­skie. Czy zauwa­ży­łaś w tym coś ciekawego?

Pamię­taj, że cią­gle zaj­mu­je­my się wie­lo­ścia­na­mi foremnymi.

Sze­ścian ma tyle ścian, ile ośmio­ścian ma wierz­choł­ków, i odwrot­nie: ośmio­ścian ma tyle wierz­choł­ków, ile sze­ścian ma ścian. Kra­wę­dzi oba mają tyle samo, po dwa­na­ście. Podob­nie jest z dwu­na­sto­ścia­nem i dwu­dzie­sto­ścia­nem. Kra­wę­dzi mają tyle samo (po trzy­dzie­ści), a licz­ba ścian jed­ne­go z nich jest dokład­nie rów­na licz­bie wierz­choł­ków drugiego.

A czwo­ro­ścian? Czy on nie ma pary? A może ma? Czwo­ro­ścian ma tyle ścian co …czwo­ro­ścian wierz­choł­ków. I odwrot­nie… Kra­wę­dzi ma tyle samo co czwo­ro­ścian. Wyglą­da jak­bym żar­to­wał, ale jestem cał­kiem poważ­ny! W tym przy­pad­ku też mamy do czy­nie­nia z dualnością.

Sze­ścian i ośmio­ścian są wza­jem­nie dual­ne. Dwu­na­sto­ścian i dwu­dzie­sto­ścian tak­że. A czwo­ro­ścian jest dual­ny sam do siebie.

Kepler jako pierw­szy, lub jeden z pierw­szych spo­strzegł, że wie­lo­ścia­ny forem­ne two­rzą takie pary. Zaob­ser­wo­wał też, co powsta­je z odcin­ków łączą­cych środ­ki sąsied­nich ścian poszcze­gól­nych brył.

Jeśli zazna­czy­my środ­ki ścian sze­ścia­nu (czy­li miej­sca prze­cię­cia prze­kąt­nych ścian), to sześć tych punk­tów wyzna­cza wewnątrz sze­ścia­nu wierz­choł­ki dual­ne­go ośmio­ścia­nu. Odcin­ki łączą­ce środ­ki ścian sąsied­nich są nato­miast kra­wę­dzia­mi tego ośmiościanu.

Jeśli zazna­czy­my środ­ki ścian ośmio­ścia­nu, to tych osiem punk­tów podob­nie wyzna­cza wewnątrz ośmio­ścia­nu dual­ny sześcian.

Środ­ki ścian dwu­na­sto­ścia­nu są wierz­choł­ka­mi tkwią­ce­go wewnątrz nie­go dwu­dzie­sto­ścia­nu, i odwrot­nie: środ­ki ścian dwu­dzie­sto­ścia­nu wyzna­cza­ją wewnątrz nie­go wierz­choł­ki dwunastościanu.

I podob­nie: środ­ki ścian czwo­ro­ścia­nu to wierz­choł­ki dual­ne­go czworościanu.

War­to jed­nak przyj­rzeć się tej dual­no­ści nie­co dokładniej.

Wyobraź­my sobie, że bry­łę znaj­du­ją­cą się wewnątrz stop­nio­wo i rów­no­mier­nie powięk­sza­my we wszyst­kich kie­run­kach. Ośmio­ścian ukry­ty w sze­ścia­nie zaczy­na wte­dy wysta­wiać „rogi”. Powięk­sza­my go tak dłu­go, aż kra­wę­dzie obu brył zetkną się para­mi. I mamy sze­ścian „prze­ple­cio­ny” z ośmiościanem.

Jeśli się dobrze przyj­rzysz temu ukła­do­wi, zoba­czysz, że krzy­żu­ją­ce się kra­wę­dzie dzie­lą się wza­jem­nie na poło­wy i są do sie­bie prostopadłe.

Dwu­dzie­sto­ścian scho­wa­ny w dwu­na­sto­ścia­nie tak­że może wysta­wiać „rogi” i prze­ci­nać swo­imi kra­wę­dzia­mi kra­wę­dzie dwu­na­sto­ścia­nu. Te kra­wę­dzie rów­nież się poło­wią i prze­ci­na­ją pod katem pro­stym. I znów powsta­ją dwa „prze­ple­cio­ne” wielościany.

Na razie przyj­rzy­my się dokład­niej ukła­dom sześcian-plus-ośmiościan i dwunastościan-plus-dwudziestościan. To bar­dzo waż­ne, że kra­wę­dzie dwóch brył poło­wią się i to w dodat­ku pod kątem prostym.

To prze­kąt­ne rom­bów! A żeby dowie­dzieć się o tych rom­bach nie­co wię­cej, musi­my poznać ich pro­por­cje, czy­li sto­su­nek dłu­go­ści jed­nej prze­kąt­nej do dłu­go­ści drugiej.

Kra­wędź sze­ścia­nu to krót­sza prze­kąt­na rom­bu, a kra­wędź ośmio­ścia­nu – dłuż­sza. Spójrz na rysu­nek: widać na nim, że kra­wędź ośmio­ścia­nu ma taką samą dłu­gość jak prze­kąt­na kwa­dra­tu będą­ce­go ścia­ną sześcianu.

Prze­kąt­ne tego rom­bu są w pro­por­cji √2 ∶ 1. W takiej samej pro­por­cji są kra­wę­dzie kar­tek for­ma­tu A4, któ­re zwy­kle wkła­da­my do kse­ro­gra­fu lub dru­kar­ki. Być może kie­dyś z tej wła­sno­ści sko­rzy­sta­my. Na razie wróć­my do naszych brył.

Tro­chę trud­niej zoba­czyć – ale spró­buj! – że w tym przy­pad­ku sto­su­nek prze­kąt­nych jest taki jak w zło­tym podzia­le, czy­li (√5+1)/2 ∶ 1.

Sły­sza­łaś na pew­no o zło­tym podzia­le odcin­ka lub o zło­tej pro­por­cji. Otóż odci­nek jest podzie­lo­ny w zło­tym sto­sun­ku wte­dy, gdy sto­su­nek dłu­go­ści czę­ści dłuż­szej do krót­szej jest rów­ny sto­sun­ko­wi dłu­go­ści całe­go odcin­ka do czę­ści dłuż­szej. Jeśli taki jest sto­su­nek mię­dzy dłu­go­ścia­mi dwóch odcin­ków, mówi­my, że pozo­sta­ją one w zło­tej pro­por­cji. Na przy­kład bok pię­cio­ką­ta forem­ne­go i jego prze­kąt­na są w zło­tej proporcji.

To bar­dzo cie­ka­wa pro­por­cja, ale zostaw­my ją na inną okazję.

A jak wyglą­da czwo­ro­ścian prze­ple­cio­ny z czwo­ro­ścia­nem? Tym zaj­mę się w następ­nym liście. Na razie spró­buj wyobra­zić sobie, co to może być. Jeśli poja­wią się rom­by, to jakie? Ile ich będzie?

Na dual­ność trze­ba jed­nak spoj­rzeć nie­co ina­czej, bo środ­ki ścian wyzna­cza­ją wierz­choł­ki bry­ły dual­nej tyl­ko w wypad­ku brył pla­toń­skich. Inna meto­da kon­stru­owa­nia dual­no­ści jest tro­chę bar­dziej skom­pli­ko­wa­na, ale też bar­dziej uni­wer­sal­na. Zyska­ła ona zna­cze­nie w poło­wie XIX wie­ku, kie­dy Eugène Cata­lan opi­sał bry­ły dual­ne do brył archi­me­de­so­wych. O bry­łach archi­me­de­so­wych napi­szę póź­niej, a na razie w kil­ku zda­niach przed­sta­wię isto­tę tej dru­giej meto­dy kon­stru­owa­nia bry­ły dualnej.

W wie­lo­ścian forem­ny moż­na wpi­sać sfe­rę. Doty­ka ona środ­ka każ­dej ścia­ny. Na wie­lo­ścia­nie forem­nym moż­na też opi­sać sfe­rę: wte­dy każ­dy jego wierz­cho­łek leży na tej sfe­rze. Jest sfe­ra wpi­sa­na, jest sfe­ra opi­sa­na. Jest tak­że sfe­ra pośred­nia – sfe­ra, któ­ra doty­ka każ­dej kra­wę­dzi wie­lo­ścia­nu. Kra­wę­dzie są do niej stycz­ne. Kie­dy popro­wa­dzi­my pro­ste pro­sto­pa­dłe do tych kra­wę­dzi, stycz­ne do tej samej sfe­ry, na tych pro­stych odnaj­dzie­my kra­wę­dzie wie­lo­ścia­nu dual­ne­go. Wbrew pozo­rom to dość proste.

Tym­cza­sem pozdra­wiam serdecznie!

Janek

Ilu­stra­cje zosta­ły wyko­na­ne przez autora.