Droga M…
Mam zamiar Ci opowiedzieć o dwóch przeplecionych czworościanach, ale zanim będę mógł o nich pisać, zajmę się figurami na płaszczyźnie.
Na pewno spotkałaś się z gwiazdą Dawida, nazywaną czasami gwiazdą sześcioramienną.
Gwiazda Dawida to dwa przeplecione trójkąty równoboczne symbolizujące przeciwieństwa. Jeden jest obrazem drugiego w symetrii względem wspólnego geometrycznego środka. Miejsc, w których boki tych trójkątów się przecinają, nie uznajemy za wierzchołki całej figury.
Podobną sytuację wyobraźmy sobie w przestrzeni. Dwa przeplecione czworościany foremne mogą być symetryczne względem wspólnego środka, czyli punktu równo odległego od wszystkich wierzchołków. To połączenie czworościanów Luca Pacioli w księdze De Divina Proportione (ilustrowanej przez Leonarda da Vinci, wydanej w 1509 roku) nazwał octahedron elevatum.
Tak, jak w wypadku gwiazdy Dawida, za wierzchołki uznajemy tylko wierzchołki obu czworościanów, nie punkty przecięcia ich krawędzi. Cały układ ma 8 ścian, 12 krawędzi i 8 wierzchołków, ale nie tworzy jednego wielościanu, bo rozpada się na dwa czworościany. Zobacz:
Nazwa nadana przez Lucę Paciolego sugeruje, że gwiazda powstaje przez przedłużenie ścian ośmiościanu – rzeczywiście, gdybyśmy od tej gwiazdy odcięli osiem ramion, pozostałby ośmiościan foremny.
Ten trójwymiarowy odpowiednik gwiazdy Dawida jest w mistyce symbolem przedstawiającym jedność ciała, umysłu i ducha, nazywanym merkaba (a to w tradycji biblijnej jest rydwan lub tron boży). Wiąże się go z zawartością mistyczną Księgi Henocha.
Jeśli przyjrzysz się tej figurze uważniej, zobaczysz jeszcze, że tę gwiazdę można „ubrać” w sześcian.
Krawędzie czworościanów są wtedy przekątnymi ścian sześcianu. Dwa czworościany foremne wpisane w ten sposób w sześcian Kepler nazwał stella octangula. Mamy więc kilka nazw (i kilka sposobów widzenia) tego samego obiektu.
Na razie zajmijmy się tym, jaki jest wynik obcięcia rogów układu sześcian plus ośmiościan i układu dwunastościan plus dwudziestościan.
W splecionych sześcianie i ośmiościanie tkwi bryła o sześciu ścianach kwadratowych (jak sześcian) i ośmiu ścianach trójkątnych (jak ośmiościan) – trochę z tego, trochę z tego, prawda? To jest sześcio-ośmiościan.
W analogicznym układzie złożonym z dwunastościanu i dwudziestościanu częścią wspólną jest dwudziesto-dwunastościan. Ma 12 ścian pięciokątnych i 20 trójkątnych.
W ten sposób doszliśmy do wielościanów półforemnych. To są takie wielościany, których wszystkie ściany są foremne, ale nie jednego rodzaju. Każdy wierzchołek takiego wielościanu jest taki sam. Inaczej: w każdym wierzchołku spotykają się takie same wielokąty w takim samym układzie, np. w dwudziesto-dwunastościanie wokół każdego wierzchołka jest układ: pięciokąt-trójkąt-pięciokąt-trójkąt (jeśli wolisz: trójkąt-pięciokąt-trójkąt-pięciokąt), w takiej a nie innej kolejności. Muszę Cię uprzedzić – to co tu właśnie napisałem, jest pewnym uproszczeniem.
Foremnych wielościanów jest pięć. A półforemnych – jak się okazuje – nieskończenie wiele. Na szczęście da się tę ogromną rodzinę dość łatwo uporządkować. Są dwie serie nieskończone: foremnościenne graniastosłupy i foremnościenne graniastosłupy skręcone. A trzecia gromada to 13 brył archimedesowych.
Foremnościenne graniastosłupy to graniastosłupy proste o foremnych podstawach i kwadratowych ścianach bocznych.
Graniastosłup skręcony to wielościan, który powstaje przez skręcenie jednej z podstaw graniastosłupa prostego względem drugiej podstawy. Ściany boczne tego tworu są trójkątami. Jeśli te trójkąty są równoboczne, a podstawy – foremne, otrzymujemy wielościan półforemny. Tutaj widzisz takie dwa graniastosłupy siedmiokątne – po lewej graniastosłup prosty, po prawej – skręcony.
W polskiej literaturze możesz czasem znaleźć nazwę antygraniastosłup (a nawet – o zgrozo – antypryzma), a to dokładna kalka angielskiego antiprism. Ja stanowczo wolę graniastosłup skręcony – lepiej pasuje do opisywanego obiektu, prawda?
Ciekawsza jest ta trzynastka brył. Należą do niej i sześcio-ośmiościan, i dwudziesto-dwunastościan.
Nazwa „bryły archimedesowe” wiąże się z Archimedesem z Syrakuz (III w. p.n.e.), któremu przypisuje się pierwszy opis wszystkich tych brył. Nie zachowały się żadne pisma Archimedesa na ich temat. Pierwsza wzmianka o tym, że znał on te bryły pochodzi od Pappusa z Aleksandrii, który żył na przełomie III i IV wieku naszej ery. Pappus zapewne spotkał się z autentycznymi przekazami z czasów Archimedesa.
A teraz skok do renesansu.
W XV wieku włoscy artyści, m.in. Alberti, Brunelleschi i Uccello, starali się jak najwierniej oddać trójwymiarową rzeczywistość na płaszczyźnie obrazu lub fresku. Poważnie zajmowali się geometrią, zdobywali pewność doświadczenia z perspektywą. Piero della Francesca, znany dziś przede wszystkim jako wybitny malarz, stworzył pierwszą księgę poświęconą wyłącznie tematowi perspektywy – De prospectiva pingendi (O perspektywie w malarstwie). W tym dziele można poznać jego geometryczny kunszt. Wszelako był też matematykiem, wśród jego dzieł są dwie księgi matematyczne – Trattato d’abaco (gdzie można znaleźć między innymi próby rozwiązań równań stopnia trzeciego, czwartego i piątego) i De quinque corporibus regularibus (O pięciu bryłach foremnych). Nie jest to zaskakujące, że w tych czasach równocześnie z zainteresowaniem perspektywą odradza się znajomość podstawowych wielościanów – najczystszych i najprostszych modeli do ćwiczeń w doskonaleniu zasad rysunku.
Dlaczego piszę teraz o Pierze? Otóż w jego rysunkach pojawiają się niektóre bryły archimedesowe. Od niego uczy się i zapożycza elementy perspektywy i geometrii Luca Pacioli (według dzisiejszych domysłów przyjaciel Piera). A Pacioli współpracował z Leonardem da Vinci… Dzieła Piera della Francesca posłużyły za podstawę Traktatu o malarstwie Leonarda da Vinci, gdzie wielościany pokazane w perspektywie znów grają ważną rolę.
Obiecuję, że w następnym liście już naprawdę zajmę się bryłami archimedesowymi! Tymczasem pozdrawiam serdecznie.
Janek
Ilustracje zostały wykonane przez autora.
