Euklides (365 – 300 p.n.e.) to ojciec geometrii, wychowanek Akademii Platońskiej. Jego Elementy – naukowa księga wszech czasów – liczbą wydań (prawie dwa tysiące!) i tłumaczeń plasuje się na drugim miejscu, tuż za Biblią. Genialny Grek przez większość życia belfrował w „Oxfordzie starożytności”, czyli w sławnej Szkole Aleksandryjskiej.
Dla swoich uczniów napisał Pseudaria (Fałszywe wnioski). Niestety, dzieło zawieruszyło się gdzieś w przestrzeni i czasie starożytności. Składało się z różnego typu byków w matematycznych rozumowaniach, którym należało samodzielnie utrzeć rogi.
Król Ptolemeusz I Soter chciał opanować dzieło wielkiego matematyka. Trzynaście ksiąg Elementów wymagało jednak, by solidnie przysiąść na tronie. Ambitny władca nie dysponował nadmiarem czasu, zapytał więc Euklidesa o krótszą drogę wiodącą do wiedzy zawartej w jego księgach. Grecki uczony wyperswadował mu to, odpowiadając, że „w geometrii nie ma specjalnych dróg nawet dla królów”.
Elementy rozpoczynają wykład od pięciu postulatów (pewników, aksjomatów), na których budowany jest cały gmach geometrii.
Dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwu kątów prostych, przetną się z tej właśnie strony, jeśli się je odpowiednio przedłuży.
Na piąty postulat (zwany postulatem o równoległych) matematycy obsesyjnie wydziwiali od samego początku. Kręcili nosem, bo wydawał się im podejrzany. Nie był ani oczywisty, ani jasny. Próbowano więc jakoś się z nim uporać. Sposobów ataku było przez wieki trzy, ale w końcu pojawił się nowy sposób, który wyskoczył jak diabeł z pudełka.
Pierwszy sposób ataku poszedł w stronę dowodu zależności. Wywodząc postulat o równoległości logicznie z pozostałych aksjomatów uzyskano by taki efekt, że stałby się pospolitym twierdzeniem. Ruszyła przeto fabryka fałszywych dowodów. Z taśmy schodziły buble, bo nie mogło być inaczej. Nieuchronność klapy podejmowanych prób udowodniono dopiero w XIX wieku. Piąty aksjomat jest niezależny od pozostałych i jako taki nie jest twierdzeniem, lecz podstawowym założeniem w aksjomatyce geometrii Euklidesa.
Poprzez natarcie drugą flanką próbowano zastąpić kość niezgody innym bardziej jasnym sformułowaniem piątego pewnika. Równoważników znaleziono całą furę i kilka przyczep. Na przykład: suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa dwóm kątom prostym. Standardem stało się brzmienie piątego aksjomatu zaproponowane przez szkockiego matematyka Johna Playfaira (1785): Na płaszczyźnie przez punkt nieleżący na danej prostej przechodzi jedna i tylko jedna prosta równoległa do niej.
Trzeci kierunek odwołał się do Natury. Najbardziej efektowny atak przeprowadził Gauss, który uznał, że skoro matematyka jest bezradna, niechaj sędzią będzie doświadczenie. Książę matematyków ruszył w góry Harzu i postanowił zmierzyć kąty między trzema bokami trókąta wyznaczonego wierzchołkami: Brocken (góry Harz), Hoher Hagen pod Getyngą, Inselberg (Las Turyński). Promienie światła tworzyły boki trójkąta.
Niestety, wynik eksperymentu był żaden, bo prawem kaduka nieuniknione błędy pomiaru nie pozwalały na „uczepienie się’’ powtarzalności wyników, czyli na stwierdzenie czegokolwiek z pewnością. Suma kątów była – do wyboru – większa, równa lub mniejsza od 180o, według uznania (oceny wpływu błędów pomiaru na wynik). Oznaczało to, według Gaussa, że można przebierać w trzech możliwościach: nie ma równoległych (na płaszczyźnie przez punkt nieleżący na danej prostej nie przechodzi żadna prosta równoległa do niej.), jest tylko jedna prosta równoległa albo równoległe sypią się niczym z rogu obfitości.
Princeps mathematicorum, Gauss, złamał się w obliczu tej światoburczej prawdy. Wnioski cicho powędrowały do szuflady. Obawa, że okrzykną go kimś mającym nierówno pod sufitem, zwyciężyła. Jak się później okazało, obawy księcia matematyków były słuszne.
*
Czwarty atak: duet Łobaczewski-Bolyai był odważniejszy; Rosjanin i Węgier, niezależnie od siebie, przyjęli za pewnik, że do punktu poza prostą „doczepiony” jest worek równoległych, w których można przebierać jak w ulęgałkach. Okazało się, że budowla trzyma się kupy, co w języku Królowej Nauk znaczy, że i ta geometria jest niesprzeczna. Jednak geometrii hiperbolicznej, jak ochrzczono noworodka, przyszło jeszcze wiele lat czekać na obywatelstwo i uznanie ze strony świata nauki.
Gdy w 1829 r. Łobaczewski ogłosił nową teorię geometrii, inną od jedynie „słusznej”, euklidesowej, zlekceważono ją i wyśmiano. Twierdzono nawet, że uczony jest niespełna rozumu i głosi nonsensy. Zarówno Łobaczewski, jak i Bolyai zapłacili wysoką cenę za swoje idee; pierwszy został zwolniony z uniwersytetu w Kazaniu, drugi popadł na wiele lat w depresję.
Na dworze Królowej Nauk rządziła w owym czasie matematyczna konserwa, euklidesowy beton. Wkrótce jednak Bernhard Riemann wyszedł z diametralnie inną propozycją (1854): worek jest pusty, równoległych nie ma. I ta konstrukcja trzymała się równie dobrze jak poprzednia. Tak narodziła się geometria eliptyczna.
Tak więc wiekowe, brodate przekonanie, iż aksjomatykę ustala się na placu oczywistości, zostało w tymże miejscu rozłożone na łopatki. Istota matematyki polega na wyprowadzaniu twierdzeń przez pociąganie za sznurki wybranych aksjomatów.
A skoro sznurki są dowolne, to dla każdego znajdzie się coś miłego. I stąd, zamiast jednej urzędowej geometrii, mamy ich wiele. Podobnie jest na innych grządkach współczesnej matematyki – algebr na pęczki, logik zatrzęsienie. Pluralizm matematyczny (klęska urodzaju, jak biadali niektórzy) stał się faktem. Jest w czym przebierać i można przekładać jedno nad drugie, a wybrzydzać na trzecie, co prof. Andrzej Mostowski skwitował: „Tylko żon nie trzeba wybierać, one są nam dane”.
Czworokąt Saccheriego* (zwany też czworokątem Chajjama**–Saccheriego) to czworokąt ABCDABCD o dwóch kątach prostych przy podstawie AB, w którym boki AD i BC mają równe długości. Girolamo Saccheri w dziele Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euklides uwolniony od wszelkich wad), opublikowanej w 1733 r., wziął na warsztat geometrię pozbawioną podejrzanego piątego aksjomatu Euklidesa. Przy pomocy swego czworokąta rozpatrywał trzy hipotezy (opisane poniżej). Chciał dowieść prawdziwości hipotezy pierwszej (kąta prostego), poszukując się sprzeczności hipotez drugiej i trzeciej z pierwszymi czterema postulatami Euklidesa. Doszedł jednak do fałszywego wniosku o sprzeczności, stwierdzając, że „hipoteza kąta ostrego jest absolutnie fałszywa, ponieważ jest sprzeczna z naturą linii prostych.” Saccheri pochopnie uznał to przekonanie za sprzeczność natury logicznej, której szukamy, dowodząc nie wprost.
Warto dodać, że w swym dziele Saccheri, niejako przy okazji, udowodnił wiele twierdzeń i własności geometrii, nazywanej dzisiaj geometrią hiperboliczną.
Status geometrii hiperbolicznej usankcjonował Felix Klein, publikując w 1870 roku jej model w geometrii euklidesowej oraz model geometrii euklidesowej w geometrii hiperbolicznej, dowodząc tym samym ich równoprawności (jednakowej poprawności) i definitywnie zamykając istniejące zamieszanie. Kilkanaście lat później Henri Poincaré dołożył inny model geometrii hiperbolicznej. Na dokładkę, Bernhard Riemann w wykładzie habilitacyjnym (1854) podał sposób konstrukcji różnych geometrii, gdzie euklidesowa i hiperboliczna były tylko szczególnymi przypadkami. Tego świat naukowy nie mógł już ani ignorować, ani kwestionować. Tak więc po ponad dwóch tysiącleciach panowania geometrii euklidesowej pojawiła się równoprawna z nią geometria hiperboliczna, a około dwadzieścia lat później ruszyła lawina różnych geometrii, z eliptyczną na czele.
W geometrii hiperbolicznej mamy maksimum powierzchni przy minimalnej objętości, dlatego Matka Natura obdarzyła np. koralowce tą geometrią, gdy organizm potrzebuje dużej powierzchni do pochłaniania pożywienia.
Omar Chajjam** (1048 – 1131) to znakomity perski matematyk, filozof, astronom oraz gwiazda poezji – w jednej osobie. Jako matematyk jest znany ze swojej pracy o rozwiązywaniu równań trzeciego stopnia za pomocą konstrukcji geometrycznych. Trójkąt Pascala w krajach arabskich jest zwany trójkątem Chajjama, gdyż badał go na kilkaset lat przed Pascalem. Rozpatrywał także czworokąt Sacheriego na długo przed nim, dochodząc do pierwszych twierdzeń geometrii nieeuklidesowych.
Jako astronom obliczył długość roku słonecznego z niezwykłą precyzją i dokładnością oraz zaprojektował kalendarz, który jest nadal ‚po prawie tysiącu lat, w użyciu w Iranie, a jako poeta podbił świat swoimi rubaiyatami – filozoficznymi czterowierszami, tłumaczonymi na niezliczoną liczbę języków. Jeden człowiek + ogrom osiągnięć = Omar Chajjam!
Jak ptak w sidłach myśliwca, tak my w sidłach doli,
serce oszołomione wiecznością aż boli.
Zbłąkani na tym świecie bez drzwi i bez dachu,
mimo chęci przyszedłszy, odchodzim wbrew woli…
Cóż po tym, że się wola z przeszkodami pora
nie szczędząca zabiegów i do czynu skora:
zapęd wszelki wraz osadza ta myśl nieznośna,
że ledwieśmy oto przyszli, a już odejść pora…
Po cóż troskę w tobie niecą przyszłych zdarzeń wici?
Kto daleko myślą sięga, ponad żal nie schwyci –
nie zacieśniaj światu granic przed radosnym sercem,
troski ciebie nie nakarmią, i żal nie nasyci…
Nikt nie zgadł, co świat kryje za swą zasłoną,
ani wie kto, jak duszę w niego złożono,
nie odpocząć nikomu, aż w ziemnym pyle,
…i tak się ten wątek snuje, bez końca pono.
I ci, co się zestarzeli, i nowo przybyli
po to tylko przyszli, aby znów odejść po chwili;
nikt się długo nie ostał na tym bożym świecie.
Wciąż nań ludzie przychodzili, wciąż zeń odchodzili.
(tłumaczenie: Andrzej Gawroński, „Wybrane czterowiersze”, 1933)
Przez dziesiątki lat astronomowie debatowali nad naturą kształtu Wszechświata – czy jest on „płaski” (co oznacza, że linie równoległe pozostaną na zawsze równoległe), „zamknięty” (linie równoległe w końcu się przetną) czy „otwarty” (linie te będą się rozchodzić). To geometria Wszechświata dyktuje mu jego los. Płaski i otwarty Wszechświat będzie się rozszerzać w nieskończoność, podczas gdy zamknięty Wszechświat w końcu „zapadnie się” w sobie.
Pytanie o kształt Wszechświata jest jednym z otwartych problemów współczesnej astronomii: czy jego globalny kształt – gdyby wyprostować ugięcia wynikające z obecności gwiazd, galaktyk czy czarnych dziur – nadal byłby zakrzywiony jak powierzchnia kuli, czy też byłby płaski, a może byłby światem o ujemnej krzywiźnie; a może Wszechświat przypomina pączek z dziurką? Niestety, obecny stan wiedzy (grudzień 2025) nie pozwala rozstrzygnąć w żadną stronę, jaki jest jego lokalny i globalny kształt. Parafrazując słowa Sokratesa, wiemy, że (wciąż) nic nie wiemy. A może rację miał Omar Chajjam, że „nikt nie zgadł, co świat kryje za swą zasłoną…”
Tadeusz Ostrowski
dr nauk matematycznych
