Przy pomo­cy prze­kształ­ce­nia Tschirn­hau­se­na spro­wa­dza Kle­in ogól­ne rów­na­nie stop­nia piątego
(1) \( {}\hspace{2em} x^5 + a_1\ x^4 + a_2\ x^3 + a_3\ x^2 + a_4\ x + a_5 = 0 \)
do postaci
(2) \( {}\hspace{2em} y^5 + 5\,\alpha\,y^2 + 5\,\beta\,y + γ = 0 \),
któ­re­go współ­czyn­ni­ki wyra­ża­ją się przez współ­czyn­ni­ki rów­na­nia (1).

Następ­nie two­rzy Kle­in tzw. rów­na­nie roz­wią­zu­ją­ce głów­ne rów­na­nia dwu­dzie­sto­ścia­nu o zna­nych współ­czyn­ni­kach kształtu
(3) \( {}\hspace{2em} Y^5 + 5\,A\,Y^2 + 5\,B\,Y + C = 0, \)
któ­re­go pier­wiast­ki dadzą się obli­czyć przy pomo­cy sze­re­gów hipergeometrycznych.

Mając pier­wiast­ki rów­na­nia (3), znaj­du­je­my, przy­rów­nu­jąc współ­czyn­ni­ki rów­nań (2) i (3), pier­wiast­ki rów­na­nia (1).

Oprócz rów­na­nia (3), przy pomo­cy któ­re­go roz­wią­zu­je Kle­in ogól­ne rów­na­nie alge­bra­icz­ne stop­nia pią­te­go, ist­nie­je sześć rodza­jów rów­nań roz­wią­zu­ją­cych głów­nych rów­na­nia dwu­dzie­sto­ścia­nu. Każ­da pię­cio­war­to­ścio­wa for­ma czwo­ro­ścien­na $Y_{\nu}\,(z_1,\,z_2)$, $\nu = 0,\,1,\,2,\,3,\,4$ jest pier­wiast­kiem rów­na­nia roz­wią­zu­ją­ce­go stop­nia pią­te­go rów­na­nia dwudziestościanu.

Jeże­li speł­nio­ny jest warunek
(a) \( {}\hspace{2em} \Sigma\,Y_{\nu}\,(z_1,\,z_2) = 0, \nu = 0,\,1,\,2,\,3,\,4, \)
to for­ma czwo­ro­ścien­na może przy­jąć tyl­ko nastę­pu­ją­ce postacie:
(1) \( {}\hspace{2em} y_{\nu} = \varphi_1\,r_{\nu} + \varphi_2, \)
(2) \( {}\hspace{2em} y_{\nu} = \frac{\varphi_1}{r_{\nu} – 3}, \)
(3) \( {}\hspace{2em} y_{\nu} = \frac{\varphi_1}{(r_{\nu} – 3)^2}, \)
(4) \( {}\hspace{2em} y_{\nu} = \frac{\varphi_1}{r_{\nu}^2 – 10\,r_{\nu} + 45}, \)
(5) \( {}\hspace{2em} y_{\nu} = \varphi_1\,r_{\nu}^2 + \varphi_2\,r_{\nu} + \varphi_3, \)
(6) \( {}\hspace{2em} y_{\nu} = \frac{\varphi_1}{(r_{\nu} – 3)\,(r_{\nu}^2 – 10\,r_{\nu} + 45)}, \)
(7) \( {}\hspace{2em} y_{\nu} = \frac{\varphi_1\,r_{\nu}^2 + \varphi_2\,r_{\nu} + \varphi_3}{(r_{\nu} – 3)\,(r_{\nu}^2 – 10\,r_{\nu} + 45)}. \)

(8) && y_v &= \frac{\varphi_1\, r_v^3 + \varphi_2\, r_v^2 + \varphi_3\, r_v + \varphi_4}{(r_v – 3)}\„ \\[1ex]
(9) && y_v &= \frac{\varphi_1\, r_v^2 + \varphi_2\, r_v + \varphi_3}{r_v – 3}\„ \\[1ex]
(10) && y_v &= \frac{\varphi_1\, r_v + \varphi_2}{r_v^2 – 10\, r_v + 45}\„ \\[1ex]
(11) && y_v &= \frac{\varphi_1\, r_v + \varphi_2}{(r_v – 3)^2}\„ \\[1ex]
(12) && y_v &= \varphi_1\, r_v^3 + \varphi_2\, r_v^2 + \varphi_3\, r_v + \varphi_4\„ \\[1ex]
(13) && y_v &= \frac{\varphi_1\, r_v^3 + \varphi_2\, r_v^2 + \varphi_3\, r_v + \varphi_4}{r_v^2 – 10\, r_v + 45}\„ \\[1ex]
(14) && y_v &= \frac{\varphi_1\, r_v^3 + \varphi_2\, r_v^2 + \varphi_3\, r_v + \varphi_4}{(r_v – 3)^2}\„ \\[1ex]
(15) && y_v &= \frac{\varphi_1\, r_v + \varphi_2}{(r_v – 3)\,(r_v^2 – 10\, r_v + 45)}\„ \\[1ex]
(16) && y_v &= \frac{\varphi_1\, r_v^2 + \varphi_2\, r_v + \varphi_3}{(r_v – 3)^2\,(r_v^2 – 10\, r_v + 45)}\„ \\[1ex]
(17) && y_v &= \frac{\varphi_1\, r_v + \varphi_2}{(r_v – 3)^2\,(r_v^2 – 10\, r_v + 45)}\„ \\[1ex]
(18) && y_v &= \frac{\varphi_1}{(r_v – 3)^2\,(r_v^2 – 10\, r_v + 45)}\„ \\[1ex]
(19) && y_v &= \frac{\varphi_1\, r_v^4 + \varphi_2\, r_v^3 + \varphi_3\, r_v^2 + \varphi_4\, r_v + \varphi_5}{(r_v^2 – 10\, r_v + 45)}\„ \\[1ex]
(20) && y_v &= \frac{\varphi_1\, r_v^4 + \varphi_2\, r_v^3 + \varphi_3\, r_v^2 + \varphi_4\, r_v + \varphi_5}{r_v – 3}\„

\begin{equation*}
\text{(21)}\qquad y_{\text{v}} = \frac{\varphi_1 \, r_{\text{v}}^4 + \varphi_2 \, r_{\text{v}}^3 + \varphi_3 \, r_{\text{v}}^2 + \varphi_4 \, r_{\text{v}} + \varphi_5}{(r_{\text{v}} – 3)(r_{\text{v}}^2 – 10 \, r_{\text{v}} + 45)},
\end{equation*}

\begin{equation*}
\text{(22)}\qquad y_{\text{v}} = \frac{\varphi_1 \, r_{\text{v}}^4 + \varphi_2 \, r_{\text{v}}^3 + \varphi_3 \, r_{\text{v}}^2 + \varphi_4 \, r_{\text{v}} + \varphi_5}{(r_{\text{v}} – 3)^2},
\end{equation*}

\begin{equation*}
\text{(23)}\qquad y_{\text{v}} = \frac{\varphi_1 \, r_{\text{v}}^3 + \varphi_2 \, r_{\text{v}}^2 + \varphi_3 \, r_{\text{v}} + \varphi_4}{(r_{\text{v}} – 3)^2 \, (r_{\text{v}}^2 – 10 \, r_{\text{v}} + 45)},
\end{equation*}

\begin{equation*}
\text{(24)}\qquad y_{\text{v}} = \varphi_1 \, r_{\text{v}}^4 + \varphi_2 \, r_{\text{v}}^3 + \varphi_3 \, r_{\text{v}}^2 + \varphi_4 \, r_{\text{v}} + \varphi_5,
\end{equation*}

gdzie $\varphi_i$ oznaczaj\k{a} funk­cje wymier­ne niezmiennik\’ow gru­py dwudziesto\’scianu $f$, $H$ i $T$, za\’s
\begin{align*}
r_{\text{v}} &= \frac{t_{\text{v}}^2 \, (z_1,\, z_2)}{f \, (z_1,\, z_2)} = \\
= \frac{(\varepsilon^{\,3\text{v}} z_1^6 + 2 \, \varepsilon^{\,2\text{v}} z_1^5 z_2 – 5 \, \varepsilon^{\,\text{v}} z_1^4 z_2^2 – 5 \, \varepsilon^{\,4\text{v}} z_1^2 z_2^4 – 2 \, \varepsilon^{\,3\text{v}} z_1 z_2^5 + \varepsilon^{\,2\text{v}} z_2^6)^2}{f(z_1,\, z_2)} \\
\varep­si­lon &= e^{\dfrac{2 \, \pi \, i}{5}}
\end{align*}

Wprowadzaj\k{a}c opr\’ocz warun­ku (a) warunek
\begin{align*}
\text{(b)}\qquad\qquad\qquad\qquad &\sum y_{\text{v}}^2 \, (z_1,\, z_2) = 0 \\
&\text{v} = 0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4,
\end{align*}
otrzy­mu­je­my w przy­pad­kach 19, 20, 21, 22, 23 i 24 pier­wiast­ki sze\’sciu nowych rodzaj\’ow r\’owna\’n rozwi\k{a}zuj\k{a}cych g\l\’ownych r\’ownania dwudziesto\’scianu. Warun­ki (a) i (b) wprowadzaj\k{a} w wymie­nio­nych przy­pad­kach nast\k{e}puj\k{a}ce zale\.zno\’sci mi\k{e}dzy funk­cja­mi $\varphi_i$:

\textbf{(19)}
\begin{itemize}
\item[\textbf{a)}] $99 \, \varphi_1 + 14 \, \varphi_2 + \varphi_3 = 0$,
\item[\textbf{b)}] $3725 \, \varphi_1^2 + 4160 \, \varphi_1 \, \varphi_2 + 294 \, (2 \, \varphi_1 \, \varphi_3 + \varphi_2^2) + {}$\\
${} + 48 \, (\varphi_1 \, \varphi_4 + \varphi_2 \, \varphi_3) + (2 \, \varphi_1 \, \varphi_5 + 2 \, \varphi_2 \, \varphi_4 + \varphi_3^2) = 0$,
\item[\textbf{c)}] $5280625 \, \varphi_1^3 + 1480250 \, \varphi_1 \, \varphi_2 + 47125 \, (2 \, \varphi_1 \, \varphi_3 + {}$\\
$\left.\varphi_2^2) – 11950 (\varphi_1 \varphi_4 + \varphi_2 \varphi_3) – 2375 (2 \varphi_1 \varphi_5 + 2 \varphi_2 \varphi_4 + \varphi_3^2) -{}\right.$\\
${}- 790 \, (\varphi_2 \varphi_5 + \varphi_3 \varphi_4) – 35 \, (2 \varphi_3 \varphi_5 + \varphi_4^2) + 2 \, \varphi_4 \varphi_5 + \varphi_5^2 = 0$,
\end{itemize}

\end{align*}