Z punktu widzenia psychologii lepiej by było, gdybyśmy mogli zrezygnować z wymogu opanowania tabliczki mnożenia, ale w metodyce nauczania nie można zbytnio psychologizować. Na pewno nie kosztem logiki i wymogów nauki szkolnej. Tabliczka mnożenia jest koniecznością, albowiem jest ona podstawą rachunku pamięciowego w zakresie mnożenia i dzielenia, jest podstawą rachunku piśmiennego. Musi więc być opanowana.
Odróżniamy w nauce szkolnej wiadomości i umiejętności. Wiadomości wystarczy zrozumieć i zapamiętać. Jeśli jednak wiadomości ulecą chwilowo z pamięci, wystarczy posiadać technikę nabycia ich z powrotem, czy przez zajrzenie do encyklopedii, czy przez dedukcyjne wyprowadzenie, czy przez przypominanie. Wiadomości często stosowane nie ulatują z pamięci, są w tzw. pogotowiu psychicznym. Inaczej z umiejętnościami. Dla ich zdobycia trzeba ćwiczyć aż do ich opanowania. Rozum odgrywa tu mniejszą i tylko pośrednią rolę.
Wyrażamy się często, że wiadomości nabyte uczeniem się są bardziej wartościowe, niż wiadomości zdobyte nauczaniem. Formułujemy też często zasadę nowoczesnej szkoły: zastąpić nauczanie przez uczenie się. Proces nauczania sensu stricto nie istnieje. Istnieją tylko różne metody uczenia się. Przeciwstawienie uczenie się – nauczanie jest nieporozumieniem wynikłym z niedostatecznej analizy tych pojęć. Nie da się zmusić uczniów w szkole do uważania, pamiętania, myślenia, słyszenia. Aktywność władz psychicznych człowieka jest nieodzownym warunkiem nabywania wiedzy. Ta aktywność jest uczeniem się. Wiadomości zdobyte własnym wysiłkiem będą lepiej przyswojone, niż wiadomości zasłyszane tylko.
Jeśli zaś w pracy szkolnej wymyślamy rozmaite zabawy i stosujemy tablice i inne pomoce naukowe, by ułatwić dzieciom opanowanie tabliczki mnożenia, nazywamy to ułatwiamy uczniom nabywanie wiedzy. Zamiast odwoływać się tylko do pamięci, odwołujemy się do pamięci, rozumowania i doświadczenia. Zamiast odwoływać się tylko do wyobraźni, odwołujemy się do obserwacji, wyobraźni, porównywania. Nie jest to marnowaniem energii, ale odwrotnie jest to oszczędność, ekonomia i racjonalizacja pracy. Wiadomości zdobyte w sposób naturalny, tzn. przy współdziałaniu całej psychiki są bardziej wartościowe, gdyż są bardziej przyswojone, mniej obce, mają więcej cech przeżycia indywidualnego, weszły głębiej w nasze masy apercepcyjne, w ściślejsze skojarzenia. Nauka szkolna jest mniej męcząca, bardziej przyjemna, zapamiętanie – bardziej trwałe, aktualność i przyswojenie – bardziej osobowe, mniej obce, a zamiłowanie do nauki – większe. Proces nabywania wiadomości na takiej drodze będziemy nazywali naturalnym procesem uczenia się.
Zamiast dawnej zasady: powtarzać, powtarzać i jeszcze raz powtarzać, nowoczesna dydaktyka wymaga takiej metody podawania wiedzy, by ona miała wszelkie cechy przeżycia i nie wymagała setek bezmyślnych powtórzeń. Tak należy rozumieć zasadę uczenia się przez życie. Jest to zasada uczenia się przez przeżycia.
Powstaje teraz pytanie, czy opanowanie tabliczki mnożenia należy do umiejętności czy do wiedzy? Leży ona pośrodku i dlatego zasady nowej dydaktyki nie są nigdzie bardziej potrzebne, niż w nauce tabliczki mnożenia. Jest rzeczą niemożliwą opanować tabliczkę mnożenia naturalnym sposobem uczenia, ale jest rzeczą szkodliwą uczyć się jej mechanicznie w sposób sztuczny. Trzeba uczyć tabliczki mnożenia wedle zasady maksimum ułatwienia i minimum przymusu. Zasada ta – pisze Thorndike1 – jest oczywista i w teorii uznawana przez każdego nauczyciela, lecz w praktyce jesteśmy jeszcze przywiązani do konwencjonalnego postępowania, które powstało, zanim zaczęto studiować psychologię arytmetyki.
W nauce elementarnej szkolnej triady (czytanie, pisanie bez błędów ortograficznych, tabliczka mnożenia), stojącej na pograniczu między wiedzą a umiejętnością musimy zmierzać do doskonałości nawyku, do sprawności wykluczającej nawet świadomy namysł, do tak ścisłego kojarzenia zadania z wykonaniem, byśmy uzyskali maksimum sprawności. Jest rzeczą jasną, że między bodźcem a reakcją w czytaniu, między myślą a wykonaniem w pisaniu, między pytaniem a odpowiedzią w tabliczce mnożenia musi istnieć związek tak silny, by czas reakcji był minimalny. Tu tylko wyjątkowo i w początkowych stadiach uczenia się można dopuścić namysł, wahanie.
Ale nie wolno mieszać celu nauczania z metodą. Jeśli idzie o cel nauczania tabliczki mnożenia, powiemy, że jest ona za mało zmechanizowana. Jeśli idzie o metodę uczenia się tabliczki mnożenia powiemy, że jest ona zbytnio zmechanizowana, za mało naturalna. Tabliczka mnożenia jest często u dzieci za mało ugruntowana, nie dość silnie, by stała się naprawdę narzędziem umożliwiającym ich dalszą naukę arytmetyki. Znajomość tabliczki mnożenia jest niezbędna po to, by pracować dokładnie (unikać błędów), choć wolno z początku. Szybkość zdobywa się przez praktykę. Taka jest zasada wszelkich nauk stojących na pograniczu między wiedzą a umiejętnością. W praktyce szkolnej naukę tabliczki mnożenia proponuję cel rozłożyć na dwa etapy. W klasie II i III niech dzieci zdobędą pewność i dokładność. Biegłości (szybkości) nauczą się przez jej stosowanie.
Co innego metoda nauczania. Ta musi być rozumowa, nie może być mechaniczna. Powołam się na pewną analogię. Tabela dodawania i odejmowania do 20 jest niemniej potrzebna w dalszej nauce, jak tabela mnożenia i dzielenia. Jednak nie uczymy jej mechanicznym kuciem, tylko metodą rozumową. Już w klasie I dzieci poznają te działania metodą poglądową, dla nich dostępną, nabywają stopniowo pewności dzięki dokładności. Nie uczą się tego na pamięć, lecz za pomocą palców lub środków poglądowych w postaci liczmanów. Mniej więcej w drugim półroczu klasy II dzieci osiągają biegłość w tym zakresie. Nigdy w polskiej szkole nie tworzymy tabel dodawania i odejmowania i nie polecamy się ich uczyć na pamięć. A jednak w ciągu dwóch lat dzieci osiągają biegłość i w klasie III nie ma dziecka, które by nie dodawało i odejmowało biegle w zakresie 20. Cel został osiągnięty. Tabela dodawania jest zmechanizowana, metoda nie była mechaniczna. Dawała tylko środki dokładnej i pewnej pracy, która się zmechanizowała przez ćwiczenia. Krótko mówiąc: punktem dojścia jest mechanizacja, punktem wyjścia wszelkie dostępne środki dla zrozumienia. Wówczas wynik jest dobry.
W tabliczce mnożenia zaczynamy od uczenia się na pamięć, od mechanizmu. Zaczynamy już w klasie II. Chcąc osiągnąć wyniki zbliżone do tabeli dodawania i odejmowania, powinni byśmy uzyskać biegłość już w drugim półroczu klasy IV. Okazuje się jednak, że i w klasie VII są dzieci, które nie umieją tabliczki mnożenia. Czy nie jest to najlepszy wskaźnik, jakiej metody należy użyć? Powie ktoś może, że w tabliczce dodawania i odejmowania do 20 jest mniej zdań, że tabela jest łatwiejsza. Proste wyliczenie przekona nas, że to nie jest słuszne. Tabliczka dodawania do 20 obejmuje 220 zdań, tyleż tabliczka odejmowania. (Jeśli odrzucimy przypadki, w których mamy ułatwienia dla pamięci: w postaci prawa przemienności, np. 7 + 8 = 8 + 7, i dodawania 0, to zostanie nam jeszcze 100 wypadków dodawania i 200 odejmowania). W tabliczce mnożenia spośród 100 iloczynów mamy 45 podlegających prawu przemienności (7 × 8 = 8 × 7). Pozostaje więc do wyuczenia się tylko 55 przypadków. I to sprawia tak niesłychaną trudność. Czyż nie należy tego przypisać wadliwej metodzie?
Tabliczka mnożenia jest ciężkim krzyżem dla ucznia — pisze Krantz2 — jeżeli wkuwa się ją pamięciowo z pominięciem czynników logicznych. Wszelka nauka elementarna stojąca na pograniczu między umiejętnością a wiedzą musi być doprowadzona do biegłości nawykowej. Punktem wyjścia i metodą stosowaną w nabyciu tej wiedzy musi być jasność, rozumienie, aż do osiągnięcia zupełnej pewności i dokładności. Zmechanizowanie nastąpi samorzutnie przez częste stosowanie. Uczymy dzieci czytać i pisać tylko pewnie i dokładnie, szybkość przychodzi z czasem przez częste stosowanie. Wszak tabliczki mnożenia uczymy dlatego, że będzie nam potrzebna w dalszej nauce, więc będzie stosowana aż do uzyskania biegłości.
Współcześnie nikt już nie pisze tabliczki mnożenia i nie każe uczniom się jej nauczyć, ale najpierw wyjaśniamy, a dopiero potem każemy się uczyć (np. zaczynając od pierwszej ćwiartki tej tablicy). Ale nie wystarczy raz wyjaśnić, bo to się szybko zapomina. Musimy wyjaśniać często i coraz na innej drodze, i przez to wzmocnić myśl dziecka, by wszelkie trudności umiało natychmiast pokonać. Nie wolno, gdy tylko dziecko raz zrozumiało już ćwiczyć, bo wtedy pamięć wypiera rozum. „Co umiemy, nad tym się nie zastanawiamy. Brak umiejętności zmusza do namysłu” – trafnie zauważa Gerlach3.
Zanim przystąpimy do tabliczki mnożenia, musi dziecko doskonale rozumieć mnożenie. Nie jest to wcale takie łatwe. Jeszcze więcej: tabliczka mnożenia nie powinna być tylko zastosowaniem pojęcia mnożenia, lecz uczenie się jej powinno też prowadzić do ugruntowania, pogłębienia rozumienia istoty mnożenia. By zrozumieć działanie symbolizowane przez 3 × 4 należy widząc jedności składające się na liczbę 4 jako różne, pomyśleć o nich jako o całości (kolekcji). Następnie należy wyobrazić sobie oddzielnie trzy takie kolekcje (zbiory) po cztery, myśląc o nich jako o częściach większej całości. Pojęcie mnożenia wymaga więc skomplikowanego aktu psychicznego, który może powstać tylko z obserwacji konkretnych faktów4 oraz z przeżycia odpowiednich doświadczeń i obserwacji. Należy więc liczyć guziki przyczepione na kartonie po pięć w rzędzie, pudełka ustawione po 4, 5, 6, 7, w rzędzie, rysować kółka po 3, 4, 5 itd. w rzędzie, układać patyczki, ustawiać dzieci, doniczki, zliczać kwadraty mniejsze w większym, zliczać dziurki w tekturze, kwiaty na chustach, gałązki na drzewie, szyby w oknach itd. itd. Stałe schematy figur liczbowych mogą tu tylko przeszkadzać5.
Jeśli zaniecha się fazy eksperymentowania (badania) i zastąpi się ją mechanicznym recytowaniem tabliczki mnożenia, dziecko nigdy nie zrozumie istoty mnożenia i co za tym idzie, nie nauczy się tabliczki mnożenia. Dlatego przez dłuższy czas należy pozwolić dzieciom na dodawanie równych składników i, na przykład, w zabawach w sklep płacić z początku za każdy przedmiot oddzielnie. Takie i podobne ćwiczenia długo stosowane dadzą pewność, że dzieci rozumieją pojęcie mnożenia. Długo trzeba tak pracować, aż potrzeba nazwania wyodrębnienia nowego działania (mnożenia) okaże się uzasadniona.
Jeśli np. w klasie mamy 4 okna, a w każdym 6 szyb, to uczniowie zliczą okna poprzez dodawanie 6 + 6 + 6 + 6, a nie mnożenie 4 × 6.
Jeśli wprawienie jednej szyby kosztuje 3 zł, to uczniowie policzą koszt wprawienia 6 szyb tak: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3.
Dobrym ćwiczeniem, gdy już wprowadzimy pojęcie mnożenia po długim dodawaniu równych składników, jest czynienie zapisu obrazu, który dzieci widzą.
Jeśli na kartonie uszyto np. 3 rzędy po 6 guzików (narysujemy je jako kółka w trzech rzędach po 6), to dzieci patrząc na ten obraz muszą umieć zapisać 6 + 6 + 6, a potem 3 × 6 (nie 6 ×3).
Na koniec pierwszej części naszych rozważań dodam jeszcze dwie szczegółowe uwagi.
- Zanim dzieci nie zrozumieją dobrze istoty mnożenia, nie wolno mieszać zapisu 4 × 3 z zapisem 3 × 4. Albowiem pierwszy zapis znaczy 3 + 3 + 3 + 3, a drugi znaczy 4 + 4 + 4.
- Zadania słowne w rodzaju „Jeśli mamy 7 piórników, a w każdym 4 ołówki, to ile jest ołówków?” są bezcelowe, bo jak słusznie zaznacza Feinstein6, dziecko odrzuca treść słowną nieciekawą i zadowala się samymi liczbami. Nie przyczyniają się one do zrozumienia sensu mnożenia. Cytując Thorndike’a: „dzieci – nie rozumiejące istoty mnożenia – mnożą, a nie dodają, bo tylko ta odpowiedź podoba się nauczycielowi”7, ale ze zrozumieniem istoty mnożenia nie ma to nic wspólnego.
Zrozumienie, nie w sensie jednorazowego wyjaśnienia, ale w sensie częstych doświadczeń i obserwacji istoty mnożenia jest podstawą dobrej nauki tabliczki mnożenia.
dr Ignacy Kiken
Pierwotna wersja tekstu pt. Uczenie się naturalne tabliczki mnożenia ukazała się w „Miesięczniku Pedagogicznym” (nr 2 z 1939 r.)
1 E. L. Thorndike, The psychology of Arithmetic. New York 1922.
2 A. Krantz, Pierwiastek myślenia w nauczaniu rachunków. „Parametr”, t. 1, nr 10.
3 A. Gerlach, Von schönen Rechenstunden. Lipsk 1921.
4 Grosgurin, Enseignement de l’arithmétique. Lozanna–Genewa 1922.
5 W drugiej połowie XIX w. postulowano oprzeć nauczanie początków arytmetyki, uwzględniać aspekt wyobrażeniowy, który – jak sądzono – dominuje w intelekcie dziecka. W tym celu zaproponowano różnego rodzaju obrazy liczbowe, a metodę nauczania, opartą na nich, nazwano metodą obrazów (figur) liczbowych. W Polsce w okresie międzywojennym popularna była koncepcja A. M. Rusieckiego: każdej liczbie naturalnej w zakresie do 20, odpowiadał charakterystyczny obraz liczbowy, dający się rozpoznać – jak sądzono – jednym „rzutem oka” (oprac. red. P.Perekietka).
6 P. Feinstein, Jak nauczyłam dzieci kl. III tabliczki mnożenia?. Praca Szkolna, R. XV, nr 1.
7 E. L. Thorndike, Psychologie der Erziehung. Jena 1922.
