Wielka księga zagadek

Krzysz­tof Cie­siel­ski, Zdzi­sław Pogoda
Wiel­ka księ­ga zagadek.
Mate­ma­tycz­na bombonierka
Demart
War­sza­wa 2015*

Mate­ma­tycz­na bom­bo­nier­ka? W bar­dzo dużym uprosz­cze­niu moż­na by zapy­tać – co ma wspól­ne­go nie­zbyt lubia­na przez spo­łe­czeń­stwo mate­ma­ty­ka z uwiel­bia­ną przez wszyst­kich cze­ko­la­dą? By się tego dowie­dzieć, nie musi­my nawet otwie­rać książ­ki. Na tyl­nej stro­nie okład­ki znaj­dzie­my odpo­wiedź – nastę­pu­ją­cy frag­ment ze wstę­pu auto­rów:

Bom­bo­nier­ka to kolek­cja cze­ko­la­dek, naj­czę­ściej uroz­ma­ico­nych i atrak­cyj­nie zapa­ko­wa­nych. A cze­go moż­na się spo­dzie­wać po mate­ma­tycz­nej bom­bo­nier­ce? Nasze „cze­ko­lad­ki” to krót­kie opo­wia­da­nia o licz­bach, figu­rach geo­me­trycz­nych, ludziach mate­ma­ty­ki – i nie tyl­ko… Nie ma mate­ma­ty­ki bez logicz­ne­go rozu­mo­wa­nia, bez roz­dzia­łu o zada­niach książ­ka była­by nie­peł­na; są tu zada­nia nie­stan­dar­do­we, ale nie prze­sad­nie trud­ne. Jest roz­dział z dow­ci­pa­mi i aneg­do­ta­mi poka­zu­ją­cy spe­cy­ficz­ny mate­ma­tycz­ny humor.

***

Książ­ka Krzysz­to­fa Cie­siel­skie­go i Zdzi­sła­wa Pogo­dy, mate­ma­ty­ków z Uni­wer­sy­te­tu Jagiel­loń­skie­go, zosta­ła podzie­lo­na na sie­dem czę­ści, a w każ­dym roz­dzia­le znaj­du­je się 40 pytań (i odpo­wie­dzi). Trzy pierw­sze roz­dzia­ły (Licz­by, Figu­ry oraz Roz­ma­ito­ści) są zwią­za­ne z poję­cia­mi mate­ma­tycz­ny­mi; w roz­dzia­le czwar­tym (Posta­cie) pozna­my mate­ma­tycz­ne oso­bo­wo­ści; roz­dział pią­ty to Zada­nia; w roz­dzia­le szó­stym znaj­dzie­my Dow­ci­py i aneg­do­ty; w roz­dzia­le siód­mym zamiesz­czo­no Roz­wią­za­nia zadań z roz­dzia­łu pią­te­go.

Peł­ny tytuł książ­ki zawie­ra (nie­co mylą­ce?) okre­śle­nie „Wiel­ka księ­ga zaga­dek”. Nie jest to jed­nak kolek­cja typo­wych zaga­dek, czy pytań rodem z mate­ma­tycz­ne­go tele­tur­nie­ju. Jak wyja­śnia­ją to sami auto­rzy: Pyta­nia w tej książ­ce prze­waż­nie są inne. […] Po pro­stu pyta­nie jest pew­ne­go rodza­ju pre­tek­stem do prze­ka­za­nia Czy­tel­ni­ko­wi roz­ma­itych infor­ma­cji zwią­za­nych z matematyką.

Poszcze­gól­ne „cze­ko­lad­ki” są bar­dzo krót­kie, więc zawsze moż­na łatwo prze­rwać czy­ta­nie, gdy już zapo­zna­my się z kolej­nym hasłem. Myślę, że więk­szość czy­tel­ni­ków książ­ki i tak będzie ją czy­tać stro­na po stro­nie. Jed­nak zgod­nie z inten­cja­mi auto­rów: Nasze »mate­ma­tycz­ne cze­ko­lad­ki« są zazwy­czaj nie­za­leż­ne od sie­bie; czy­ta­nie moż­na prze­rwać w zasa­dzie w dowol­nym miej­scu, po czym wró­cić do książ­ki po dłuż­szym cza­sie i na zupeł­nie innej stronie.

Według mnie – nie ma pro­ble­mu, żeby „pochło­nąć” od razu cały roz­dział i stra­cić poczu­cie cza­su. Ina­czej niż w przy­pad­ku cze­ko­la­dek, „pochła­nia­nie” odpo­wie­dzi na kolej­ne pyta­nia nie powin­no zaszko­dzić zdro­wiu – nie musi­my więc ogra­ni­czać się tyl­ko do kil­ku haseł naraz.

***

Roz­dział 1. Liczby
Książ­ka to nie tyl­ko zagad­ki i pyta­nia, ale to wła­śnie za ich pomo­cą auto­rzy wyja­śnia­ją poję­cia mate­ma­tycz­ne i cie­ka­wost­ki zwią­za­ne z tą dzie­dzi­ną nauki. Spo­tka­my się tutaj z pyta­nia­mi, któ­re spra­wią, że na nowo zasta­no­wi­my się nad „fak­ta­mi”, któ­re do tej pory były dla nas prze­cież „oczy­wi­ste”. Czę­sto dzie­ci potra­fią zadać pro­ste pyta­nia, na któ­re zna­my taką „oczy­wi­stą” odpo­wiedź, ale sami nie potra­fi­my jej uzasadnić.

W pierw­szym roz­dzia­le znaj­dzie­my odpo­wie­dzi i wyja­śnie­nia dla kil­ku takich pro­ble­ma­tycz­nych pytań:
(1.5) Dla­cze­go 1 nie jest licz­bą pierwszą?
(1.31) Dla­cze­go nie dzie­li­my przez zero?
(1.33) Dla­cze­go minus razy minus daje plus?
Dodam, że w haśle 1.36 pozna­je­my licz­by zespolone.

W tym roz­dzia­le moż­na zauwa­żyć licz­ne odno­śni­ki do poprzed­nich (czę­sto dopie­ro co prze­czy­ta­nych) haseł. Przy zało­że­niu, że książ­kę moż­na otwie­rać w dowol­nym miej­scu, jest to zro­zu­mia­łe. Oddaj­my ponow­nie głos auto­rom: Nowe poję­cia oraz twier­dze­nia bazu­ją na wcze­śniej­szych. Jeśli do zro­zu­mie­nia odpo­wie­dzi na pyta­nie nie­zbęd­na jest zna­jo­mość pew­nych fak­tów poda­nych gdzie indziej, nume­ry tych innych haseł są poda­ne przy sfor­mu­ło­wa­niu pytania.
Ktoś może poczuć się lek­ko poiry­to­wa­ny, gdy po raz n‑ty zosta­nie ode­sła­ny do defi­ni­cji licz­by pierw­szej. Nale­ży zazna­czyć, że jest to tyl­ko takie „pierwsze(go roz­dzia­łu) wra­że­nie”, gdzie przy jed­nym haśle potra­fią się zna­leźć nawet czte­ry odno­śni­ki (hasło 1.39) – póź­niej nie­mal o nich zapo­mni­my. Myślę, że to nie­wiel­ki koszt przy tak pasjo­nu­ją­cej lekturze.

Roz­dział 2. Figury
O ile w pierw­szym roz­dzia­le moż­na było jesz­cze nie zauwa­żyć, że książ­ka jest boga­to ilu­stro­wa­na, to w roz­dzia­le dru­gim nie da się już tego prze­oczyć. Trud­no o roz­dział o figu­rach bez odpo­wied­nich rysun­ków, ilu­stru­ją­cych oma­wia­ne pojęcia.

Rów­nież w roz­dzia­le trze­cim znaj­dzie­my świet­ne ilu­stra­cje. W kolej­nych roz­dzia­łach też oczy­wi­ście wystę­pu­ją, ale (przy­naj­mniej według mnie) nie są już one tak zachwycające.

W roz­dzia­le dru­gim poja­wia­ją się napraw­dę skom­pli­ko­wa­ne kon­struk­cje geo­me­trycz­ne. Wyobra­ża­nie sobie opi­sy­wa­nych kształ­tów nie zawsze jest łatwe. W haśle 2.31 sami auto­rzy przy­zna­ją, że:

Łatwo powie­dzieć, gorzej wyko­nać. Pró­bu­je­my to robić, a wstę­ga zaplą­tu­je się o samą sie­bie… Bo też istot­nie, potrzeb­ny jest do tego czwar­ty wymiar. W nor­mal­nej prze­strze­ni trój­wy­mia­ro­wej poja­wia­ją się, podob­nie jak przy butel­ce Kle­ina, samo­prze­cię­cia. Wyobra­że­nie sobie tej kon­struk­cji wyma­ga nie lada ekwi­li­bry­sty­ki umysłowej.…

Roz­dział 3. Rozmaitości
Jak sama nazwa wska­zu­je – w tym roz­dzia­le może­my spo­dzie­wać się „roz­ma­itych” haseł. Książ­ka nie jest pod­ręcz­ni­kiem, z któ­re­go wszyst­kie­go musi­my się nauczyć. Ogól­ni­ko­wo i skró­to­wo, ale w spo­sób przy­stęp­ny zosta­ły tutaj wyja­śnio­ne (cza­sem bar­dzo trud­ne) poję­cia z róż­nych obsza­rów mate­ma­ty­ki. Cóż więc cie­ka­we­go może­my odna­leźć wśród tych rozmaitości?

Dowie­my się na czym pole­ga zasa­da szu­flad­ko­wa (3.15); co to jest pochod­na (3.35), cał­ka nie­ozna­czo­na (3.36) oraz cał­ka ozna­czo­na (3.37).

Zapo­zna­my się z kil­ko­ma kla­sycz­ny­mi cie­ka­wost­ka­mi matematycznymi:
(3.17) O czym mówi para­doks golibrody?
(3.18) Czy opła­ca się grać w Lotto?
(3.22) Na czym pole­ga oso­bli­wość hote­lu Hilberta?

Pozna­my rów­nież wiel­kie pro­ble­my matematyczne:
(3.19) Cze­go doty­czy pro­blem czte­rech barw?
(3.23) Co mówi hipo­te­za continuum?
(3.38) Jaka hipo­te­za jest powszech­nie uwa­ża­na za naj­waż­niej­szy nie­roz­strzy­gnię­ty pro­blem matematyczny?

Spo­tka­my rów­nież kil­ka napraw­dę „dziw­nych” pro­ble­mów:
(3.25) Na czym pole­ga para­doks Banacha-Tarskiego?
(3.26) Któ­re twier­dze­nie mate­ma­tycz­ne doty­czy kanapek?
(3.28) Czy sfe­rę moż­na uczesać?

Ze wzglę­du na róż­no­rod­ność poru­sza­nych tema­tów – to mój ulu­bio­ny roz­dział. Muszę jed­nak przy­znać, że wybór nie był łatwy…

Roz­dział 4. Postacie
Bar­dzo doce­niam patrio­tyzm auto­rów książ­ki. Aż 18 z 40 pytań tego roz­dzia­łu doty­czy Pola­ków! W zagra­nicz­nych publi­ka­cjach raczej nie spo­tka­my pol­skich mate­ma­ty­ków, poza spo­ra­dycz­ny­mi wzmian­ka­mi o udzia­le pol­skich kryp­to­lo­gów przy zła­ma­niu szy­frów Enig­my. Nie­ste­ty, w pol­skiej szko­le też o nich nie usły­szy­my – w pro­gra­mie naucza­nia nie ma ele­men­tów histo­rii mate­ma­ty­ki. Uwa­żam, że nale­ża­ło­by to zmie­nić. Wystar­czy­ła­by prze­cież tyl­ko jed­na lek­cja, pod­czas któ­rej ucznio­wie mogli­by krót­ko zapre­zen­to­wać wybra­ne posta­cie – a mamy z kogo wybierać.
Wymień­my pol­skich mate­ma­ty­ków wspo­mnia­nych w samej tyl­ko „Bom­bo­nier­ce”: Wite­lon; Koper­nik; Jan Bro­żek; Adam Ada­man­dy Kochań­ski; Fran­ci­szek Mer­tens; Sta­ni­sław Zarem­ba; Wacław Sier­piń­ski; Hugo Ste­in­haus; Ste­fan Banach; Alfred Tar­ski; Sta­ni­sław Mazur; Sta­ni­sław Ulam; Marian Rejew­ski; Jerzy Różyc­ki; Hen­ryk Zygal­ski; Ste­fan Stra­sze­wicz; Fran­ci­szek Leja; Tade­usz Ważew­ski; Karol Bor­suk; Sta­ni­sław Łoja­sie­wicz; Andrzej Pliś.

W tym momen­cie pasjo­na­ci mate­ma­ty­ki powin­ni zatrzy­mać się na chwi­lę i zasta­no­wić – o ilu z tych nazwisk cho­ciaż­by tyl­ko usły­sze­li­śmy już wcześniej?

W haśle 4.34 poja­wia się jesz­cze Lech Pija­now­ski, któ­ry co praw­da nie był mate­ma­ty­kiem z wykształ­ce­nia, ale to wła­śnie on powo­łał do życia Abac­kich, Babac­kich i Cabac­kich – nazwi­ska zna­ne z wie­lu łami­głó­wek i zadań logicznych.

Uzu­peł­nia­jąc – pozna­my w tym roz­dzia­le rów­nież wie­le (mniej lub bar­dziej) zna­nych i fascy­nu­ją­cych mate­ma­tycz­nych postaci.

Mate­ma­tyk, któ­ry został papie­żem? To praw­dzi­wa histo­ria, a jed­no­cze­śnie mało zna­ny fakt – wystar­czy prze­czy­tać hasło 4.5. Marzy wam się spo­tka­nie z „księ­ciem mate­ma­ty­ków”? Carl Frie­drich Gauss cze­ka na was w haśle 4.14. A jeśli czu­je­cie się onie­śmie­le­ni tą (dostoj­ną) pro­po­zy­cją, to moż­na zacząć od spo­tka­nia z „księ­ciem ama­to­rów” w haśle 4.10.

Roz­dział 5. Zadania
Nale­ży pod­kre­ślić, że to nie są zwy­kłe zada­nia obli­cze­nio­we zna­ne ze szko­ły, ale bar­dzo cie­ka­we i nie­ty­po­we zagad­ki oraz pomy­sło­we łami­głów­ki. Zada­nia te sta­no­wią znów pre­tekst do przed­sta­wie­nia cie­ka­wych i ory­gi­nal­nych tech­nik matematycznych.
Znaj­dzie­my tutaj kla­sycz­ne zada­nia z logicz­ne­go myśle­nia, takie jak zada­nie o tubyl­cach (5.4); zada­nie o kape­lu­szach (5.30); zada­nie o kra­sno­lud­kach (5.40). Jest też coś dla miło­śni­ków sza­chów: słyn­ne zada­nie o koni­ku sza­cho­wym (5.33); mniej zna­ne zada­nie o het­ma­nach (5.34); bar­dzo ory­gi­nal­ne zada­nie o macie (5.35).

Jak wspo­mnia­łem już we wstę­pie – roz­dział 7 zawie­ra roz­wią­za­nia zadań. Nie są to tyl­ko odpo­wie­dzi licz­bo­we, albo „tak” lub „nie”. Przed­sta­wio­ne i wyja­śnio­ne jest całe rozu­mo­wa­nie pro­wa­dzą­ce do roz­wią­za­nia. Zapew­ne zada­nia zosta­ły dobra­ne tak, aby uka­zać pięk­no i potę­gę matematyki.
Nie­ste­ty, nie­któ­re z tych zadań są pod­chwy­tli­we. Oba­wiam się, że może to dać poczu­cie, że jest się „sła­bym” z mate­ma­ty­ki. Pró­by roz­wią­za­nia nie­któ­rych zadań mogą dopro­wa­dzić nas do fru­stra­cji. Może też poja­wić się (bar­dzo groź­na dla mło­dych osób) rezy­gna­cja – „mat­ma to nie dla mnie”. Trze­ba jed­nak pamię­tać, że są to bar­dzo spe­cy­ficz­ne zada­nia. Nale­ży więc podejść do tema­tu z odpo­wied­nim dystansem.

Roz­dział 6. Dow­ci­py i anegdoty
Jak to bywa z żar­ta­mi – nie­któ­re nas roz­ba­wią, inne nie­szcze­gól­nie. Być może tra­fią się i takie, któ­rych nie do koń­ca zro­zu­mie­my. Jed­nak jeśli cho­dzi o aneg­do­ty, to są one wcią­ga­ją­ce. Bar­dzo spodo­ba­ły mi się „zbio­ro­we” hasła Cytat Roku (6.35) oraz Nie­ty­po­we dowo­dy (6.36). Znaj­dzie­my rów­nież żar­to­bli­wy „hymn mate­ma­ty­ków” (6.37).

***

Naj­trud­niej­sze z „pytań” zosta­wi­łem na koniec – dla kogo wła­ści­wie jest ta książ­ka? Mam z tym pyta­niem lek­ki kło­pot. Przy­tocz­my więc może kolej­ny frag­ment ze wstę­pu auto­rów:

Z cze­ko­lad­ka­mi w bom­bo­nier­kach jest tak, że jed­ne­mu bar­dzo sma­ku­je aku­rat pew­na kon­kret­na, a dru­gie­mu zupeł­nie inna. Jed­ne cze­ko­lad­ki przy­cią­ga­ją atrak­cyj­nym wyglą­dem, inne wyszu­ka­nym sma­kiem, a jesz­cze inne ze wzglę­du na swo­ją spe­cy­fi­kę zysku­ją nasze uzna­nie po jakimś cza­sie. Chcie­li­by­śmy jed­nak, by każ­dy zna­lazł w naszej książ­ce coś, co mu się choć tro­chę spodoba…

Jak dużą część tre­ści książ­ki (i poszcze­gól­nych haseł) będzie sta­no­wi­ło to „coś”? Nie­któ­re cze­ko­lad­ki mogą oka­zać się cięż­ko­straw­ne (czyt. trud­ne) nawet dla doświad­czo­ne­go miło­śni­ka mate­ma­ty­ki. Może nie jeste­śmy jesz­cze goto­wi na nie­któ­re hasła, któ­re „zysku­ją nasze uzna­nie po jakimś cza­sie”? Auto­rzy słusz­nie zazna­cza­ją, że: Moż­na trak­to­wać pew­ne pyta­nia jako sygnał; wstęp do poten­cjal­ne­go głęb­sze­go zapo­zna­nia się z tema­tem. Myślę, że może to być taka książ­ka, któ­ra posłu­ży nam na lata, ze wzglę­du na zróż­ni­co­wa­ną trud­ność poru­sza­nych tema­tów. Nie­mniej jed­nak, każ­dy odnaj­dzie w niej coś dla sie­bie, bez wzglę­du na poziom wie­dzy matematycznej.

„Mate­ma­tycz­ną bom­bo­nier­kę” wyda­no z „roz­ma­chem” – w dużym for­ma­cie, w twar­dej opra­wie, w peł­nym kolo­rze, na dobrej jako­ści papie­rze. Brzmi jak dosko­na­ła zachę­ta do zaku­pu książ­ki jako atrak­cyj­ne­go pre­zen­tu dla nasto­lat­ka. Bez waha­nia pole­cił­bym tę książ­kę jako war­to­ścio­wy pre­zent, gdy­by nie ta zawar­tość – matematyka…
Z dru­giej stro­ny, może to wła­śnie z myślą o młod­szych, nasto­let­nich czy­tel­ni­kach zosta­ła napi­sa­na ta książ­ka – i dla­te­go jest w for­mie nie­za­leż­nych haseł. Być może nie­chęć do szkol­nych rachun­ków i zadań z mate­ma­ty­ki nie odstra­szy cie­ka­wych świa­ta dzie­ci ze szko­ły pod­sta­wo­wej? Róż­no­rod­ność przed­sta­wio­nych tema­tów – ina­czej niż na lek­cjach w szko­le – może spra­wić cuda, a lek­tu­ra szyb­ko się nie znu­dzi. Może dzi­siaj masz ocho­tę na pozna­nie nowej posta­ci (roz­dział 4), prze­czy­ta­nie aneg­do­ty (roz­dział 6), albo na zmie­rze­nie się z zada­niem (roz­dzia­ły 5 i 7) lub naukę nowych pojęć mate­ma­tycz­nych (roz­dzia­ły 1, 2, 3)?
Powtó­rzę jesz­cze raz, że nie jest to pod­ręcz­nik, gdyż nie wszyst­kie poję­cia zosta­ły pre­cy­zyj­nie zde­fi­nio­wa­ne, ale książ­ka ta nie­jed­no­krot­nie przed­sta­wi nam w spo­sób obra­zo­wy i przy­stęp­ny zło­żo­ne poję­cia i pro­ble­my matematyczne.

^* Recen­zu­ję wyda­nie I książ­ki z 2015 roku, ale z cie­ka­wo­ści spraw­dzi­łem też naj­now­sze – wyda­nie III z 2023 roku. War­to od razu pod­kre­ślić, że uak­tu­al­nie­nia tre­ści w kil­ku miej­scach nie wpły­nę­ły na zmia­nę nume­ra­cji stron, jak rów­nież samych haseł. A jak tak napraw­dę pre­zen­tu­je się to „wyda­nie III uak­tu­al­nio­ne”?
W środ­ku znaj­dzie­my dokład­nie te same hasła, gra­fi­ki i błę­dy języ­ko­we. Szu­ka­łem wska­zó­wek we wstę­pie auto­rów, ale on aku­rat nie został obję­ty uak­tu­al­nie­niem. Za to na koń­cu książ­ki znaj­dzie­my dodat­ko­we zdję­cie przed­sta­wia­ją­ce auto­rów oraz ok. pół stro­ny infor­ma­cji o nich. Z nowo­ści dosta­je­my też zmie­nio­ną gra­fi­kę drze­wa rodzi­ny Ber­no­ul­lich (hasło 4.12) oraz zdję­cia nowej ław­ki (z 2016 r.), któ­ra upa­mięt­nia tzw. „odkry­cie Bana­cha” (hasło 4.23).
Czy to całe, nie­mal tytu­ło­we, „uak­tu­al­nie­nie” pole­ga na dopi­sa­niu (w haśle 4.19) nazwisk kil­ku lau­re­atów Meda­lu Field­sa i Nagro­dy Abe­la? Nie­wie­le zosta­ło doda­ne. Na doda­tek pew­ne rze­czy „się zepsu­ły”. Mowa o wykre­sach (i rysun­kach figur), przy któ­rych poja­wia­ją się teraz dziw­ne błę­dy dru­ku w posta­ci pustych kwa­dra­tów. O ile taki kwa­drat zamiast zna­ku ’minus’ czy ’prim’ nie sta­no­wi (poza walo­ra­mi este­tycz­ny­mi) więk­sze­go pro­ble­mu, to już kwa­dra­ty zamiast mate­ma­tycz­nych wzo­rów spra­wia­ją, że gra­fi­ki tra­cą wie­le na war­to­ści. Nie­ste­ty doty­czy to całej książ­ki. Moż­na tyl­ko zła­pać się za gło­wę i zapy­tać – kto to w ogó­le dopu­ścił do druku?!

Auto­rem recen­zji jest Mate­usz Lit­ka, dok­to­rant Szko­ły Dok­tor­skiej Nauk Ści­słych Uni­wer­sy­te­tu im. Ada­ma Mic­kie­wi­cza w ramach dys­cy­pli­ny matematyka.