Zastosowanie wartości bezwzględnej pozwala ująć w jednym równaniu opis figury, złożonej z odcinków prostych lub łuków linii krzywych.
Przykład 1.
Równanie | x + y | + | x – y | = 2 opisuje kwadrat o boku długości 2 i przekątnych zawartych w prostych o równaniach ogólnych x + y = 0 oraz x – y = 0.
Przykład 2.
Równanie | x2 + y2 – 1| + | x – y | + | x2 + y2 –4 | = 5 jest opisem „żyletki”, której kontur stanowią:
– dwa odcinki prostoliniowe równoległe,
– cztery łuki kół,
– okręgi dwóch jednakowych kół małych stycznych wzajemnie (w środku konturu).
To łączenie elementów różnych figur w jedną całość pochodzi stąd, że równanie, w którym użyto zapisu z symbolem wartości bezwzględnej, zastępuje pewną liczbę „zwykłych” równań, z których każde dotyczy innego obszaru płaszczyzny. Można sprawdzić, że np. odcinki równoległe w powyższej „żyletce” są zawarte w prostych o równaniach ogólnych: x – y – 2 =0 oraz x – y + 2 = 0.
Ustalenie interpretacji geometrycznej danego równania z symbolami wartości bezwzględnej przy większej liczbie tych symboli jest na ogół dość żmudne – wymaga „rozbicia” płaszczyzny na obszary i zbadania równań, odpowiadających każdemu z tych obszarów. Istnieją jednak pewne metody, ułatwiające taką dyskusję, np. metoda przekątnych i metoda odzwierciedlania.
Pierwsza polega na ustaleniu przekątnych wieloboku. W ten sposób powstało powyższe równanie kwadratu.
Druga polega na odzwierciedlaniu w prostych (traktowanych jako zwierciadła jednostronne) – odzwierciedlanie polega na usunięciu z wykresu (modelu) części figury, znajdującej się za „zwierciadłem”, której miejsce zajmuje natomiast odbicie zwierciadlane pozostałej części, stanowiące – łącznie z tą częścią – nową figurę symetryczną względem „zwierciadła”.
Przykład 3.
Odzwierciedlanie w prawej części osi OY (x = 0) prostej o równaniu x + y = 1 da łamaną, złożoną z prostej o równaniu x + y = 1 (na prawo od osi OY) i prostej o równaniu – x + y = 1 (na lewo od OY). Równaniem tej łamanej będzie |x| + y = 1.
Gdy naszym celem jest możliwość „przerywania” linii i konturów, to na uwagę zasługuje metoda z czynnikiem „wyłączającym” postaci \( \sqrt{\frac{\left|f\left(x,y\right)\right|}{f\left(x,y\right)}}. \)
Oczywiście to wyrażenie ma wartość 1, gdy \( f\left(x,y\right) > 0 \), a traci sens liczbowy w innych przypadkach.
Przykład 4.
Wykresem równania \( y = 1\cdot\sqrt{\frac{\left|x\right|}{x}} \) będzie półprosta otwarta (bez początku) zawarta w prostej o równaniu y = 1.
Przykład 4.
Wykresem równania \[ y = 1\cdot\sqrt{\frac{\left|y – 1 – cos x\right|}{y – 1 – cos x}} \] będzie nieskończony ciąg odcinków (otwartych) leżących na prostej o równaniu y = 1.
Każdy taki odcinek ma długość π, a odstępy między odcinkami również są długości π. Jest to konsekwencją tego, że funkcja \( f(x,y) = y – 1 – cos x\) ma wartość dodatnią wyłącznie dla takich \( x \), dla których \( cos x > 0 \).
Artykuł jest opracowaniem wykładu dr. Antoniego Chromińskiego wygłoszonego w sekcji dydaktycznej podczas V Zjazdu Matematyków Polskich, który odbył się w Krakowie w dniach 29–31 maja 1947 r.
Dr Antoni Chromiński był wykładowcą Politechniki Warszawskiej (do 1939 r.). Po wojnie pracował na Politechnice Krakowskiej. Zmarł w 1951 r.
