Dwa są zasadnicze poglądy dydaktyków na sposób rozpoczynania początków geometrii.
Pierwszy da się krótko streścić tak: należy rozpoczynać naukę na tle doświadczalnym i wybierać najsilniejszy konkret materialny tzn. bryłę (w szczególności zaś sześcian), łącząc naukę z bezpośrednim ujmowaniem rzeczywistości1; by z poznanej bryły wyprowadzać (przez obrysowywanie) figury planimetryczne (kwadrat z sześcianu), przechodząc następnie do linii i punktu.
Drugi, przeciwstawiając się, twierdzi: ze stanowiska geometrycznego sześcian (bryła) jest również obcy, jak konkretny obraz figur płaskich (linii), większa „materialność” bryły wytwarza fałszywe łączenie formy geometrycznej (czystej abstrakcji) z kształtem materialnym. Geneza figury płaskiej, powstałej przez obrysowanie bryły, kojarzyć się będzie w umyśle dziecka z obrysowywaniem nieznanego przecież przedmiotu, nie zaś z istotnymi elementami tj. linią i kątem.2
Przedstawicielem pierwszego poglądu w Polsce był Lucjan Zarzecki, przedstawicielką drugiego – dr Ludwika Jeleńska.
***
Poglądy te nie wykluczają się, moim zdaniem. Można, a nawet jest wskazanym, idąc ogólnie za cennymi wskazaniami Jeleńskiej, traktować bryły jako obiekty, na których da się wyróżnić elementy (figury) płaskie. Istnieje ogólna wartość i przyczyna, dla której bryły są ciągłym tematem programów nauczania. Tą wartością jest ich znaczenie praktyczne, polegające na wszechstronnym zastosowaniu w technice, w rzemiośle i w ogóle w życiu.
Samo jednak wykazanie utylitaryzmu nowoczesnej dydaktyki zadowolić nie może. Może ważniejszym jest pytanie, jakie własności kształcące ma uczenie się o bryłach, łącznie z obliczaniem ich powierzchni i objętości. Przede wszystkim więc wzgląd na dziecko.3
Traktowanie brył na lekcjach geometrii ma niestety wiele z niewolniczej rutyny – polega na schemacie postępowania: pokaz bryły, opis (liczba ścian, krawędzi, wierzchołków itp.), siatka i (nie tak zresztą często i nie zawsze przez wszystkie dzieci) wykonanie bryły.
Dlatego najczęściej zaczyna się od opisu jakiejś przyniesionej na lekcję bryły, zamiast od jej wytwarzania (nie drogą siatki)? Jest to powszechny grzech nauczycieli.
Poniżej przedstawiam, jak z brył można stworzyć materiał wysoce kształcący wyobraźnię przestrzenną, pomysłowość i twórczość dziecięcą w połączeniu z wielką atrakcją!
„Jak gigant Anteusz w walce z Herkulesem nowych sił nabierał, zetknąwszy się ze swą matką Ziemią, tak studium matematyki znajduje w zetknięciu się zmysłowym ze zjawiskami świata materialnego stałe i najsilniejsze oparcie”.4
autor: Heinrich Aldegrever, (ok.1502–1555)
Prowadząc w kilku oddziałach naukę ułamków, miałem wrażenie, że dłuższe stosowanie kół ułamkowych ma wszelkie podobieństwo do startu samolotu: im doświadczenie pewniejsze, koła ułamkowe obfitsze i podział częstszy, tym oderwanie się w sferę abstrakcji prędsze, bez wstrząsów i wahnięć, tym zrozumienie ułamków i działań na nich gruntowniejsze i bardziej trwałe.
Nie od przedstawienia opisu własności bryły, lecz od przygotowania (wytwarzania) modelu tej bryły przez uczniów powinniśmy rozpoczynać naukę początków geometrii. Trzy kolejne czynności to: 1) modelowanie, czyli tworzenie modelu bryły w plastelinie lub glinie, 2) wytworzenie kształtu (modelu krawędziowego) bryły z drutu lub patyczków, 3) budowanie bryły z deseczek.
Przed przejściem do wytwarzania potrzebna jest krótka obserwacja gotowej bryły przez uczniów. (Obserwacja bez żadnych omówień).
Klasa staje się laboratorium, gdzie wre praca. Krytycy postawią się zarzut: a ileż to czasu „stracimy”? — Zdobyte w wykrawaniu brył doświadczenia opłacą się sowicie, a czas wróci się z nawiązką, ale dopiero wtedy, gdy przyjdzie do tworzenia siatki bryły, do obliczania powierzchni, do przekrojów brył.
W modelowaniu zdobywa dziecko niezwykle pewne wrażenia co do danej bryły. Samo uformowanie konturów nastręcza dla umysłu i rąk dziecka niezwykle kształcącą trudność myślowo-logiczną i praktyczną. Ta trudność w uformowaniu kształtów narzuca wprost z wielką silą potrzebę wyodrębnienia w danej bryle elementów takich, jak krawędzie, płaszczyzny itd.
Praca z plasteliną (gliną) fizycznie nie jest trudna: nieforemna próba da się znów łatwo przekształcić — dla tej przyczyny modelowanie jest pierwszym etapem wytwarzania. Zatem cały wysiłek myślowy i uwaga kieruje się na zależności bryły od jej elementów. Powstają w ten sposób przybliżone formy idealnych kształtów. Przybliżenia te w niezbyt zręcznych rękach dziecka będą bardzo grube. Dzięki temu tym jaskrawiej wystąpi spostrzeżenie, że najdokładniejsze nasze twory materialne, są tylko obrazem przybliżonym pojęć abstrakcyjnych takich jak płaszczyzna i linia!
Z modelowaniu jak również w następnych pracach rola nauczyciela ograniczy się do kierowania uwagi na zasadnicze błędy: nierówność płaszczyzn, nieregularność linii i dysproporcja bryły.
Pojęcie płaszczyzny płaskiej i niepłaskiej (u stożka, walca), a zarazem ich połączenia (u stożka i walca), to zdobycz umysłu dziecka przez modelowanie.
Uczeń, wykonując sześcian, od razu nie wie, że trzeba 12 patyczków, dostaje jeden lub dwa długie np. po 60 cm. Podpowiadamy mu tylko sposób łączenia: glina, plastelina lub gotowany groch. (W miesiącu czerwcu, kiedy są już zielone małe owoce kasztanów, można je użyć). W samej pracy drogę badania, prób i powtórzeń (często kosztem zniszczenia części patyczków) uczeń naocznie przekona się, że w sześcianie jest dwanasćie6 krawędzi i że sześcian ma sześć ścian (w kształcie kwadratu).
Przy osadzaniu patyczków uczeń osadzać musi je prostopadle – zauważy naroża sześcianu, a nakierowany przez nauczyciela dostrzeże różne wzajemne położenie linii prostych w przestrzeni: proste przecinające się, proste równolegle i proste wichrowate (które nie leżą na jednej płaszczyźnie i nigdy się nie przecinają). Co ważnie, uczeń zrozumie, w jaki sposób od wielkości boku zależy wielkość sześcianu. W ten sposób wejdzie na drogę myślenia funkcyjnego7. Doświadczenia związane z wykonaniem modelu bryły będą też procentować w późniejszym czasie, gdy uczeń będzie szkicować rysunki danej bryły.
Bryła sześcianu wykonana z deseczek, zwróci uwagę dziecka na wzajemne położenie płaszczyzn — ścian sześcianu: prostopadłość ścian i równoległość, jak również pojęcie naroża. Oczywiście w czasie takich zajęć z geometrii uczeń przyswoi sobie właściwe nazwy (np. ściana bryły, krawędzie, naroże) w momentach najwłaściwszych podane przez nauczyciela.
Część pracy (zwłaszcza przygotowawczej) może odbywać się w formie pracy domowej ucznia.
Po takim doświadczalnym nabyciu plastycznych wiadomości o własnościach bryły może nastąpić „opis” w formie zebrania, usystematyzowania, porównania z własnościami innych brył.
***
Ostatnia forma wytwarzania (deseczki) może prowadzić do poszukiwania siatki bryły. Sześcian można „rozkładać” na deseczki8 – mamy możliwość odkrywania różnych siatek sześcianu. (Różnych, a nie jednej w formie krzyżyka, który rutyna w traktowaniu przyjęła nie wiadomo dlaczego9)!
Siatka w formie krzyża nie wyróżnia się niczym szczególnym. Ze ściśle praktycznego punktu widzenia jest gorsza od siatki, która na poniższym rysunku jest oznaczona numerem 7. Zważywszy, że materiał na siatkę zwykle przedstawia prostokąt — marnuje się tylko cztery pola, gdy w przypadku siatki z krzyżem – sześć. To kolejny przykładem rutynowego podejścia, który wprawia w umyśle dziecka fałszywą sugestię, że „krzyżyk” jest najważniejszą (najlepszą) z siatek sześcianu.
Podaję dwanaście10 postaci siatki sześcianu.
Dziecko, poznając pojęcie siatki sześcianu metodą odkrywania, tj. przez rozkładanie deseczek, zapewne nie trafi akurat na „krzyżyk”. Ta właśnie możność do otrzymywania kilkunastu rozwiązań jednego zagadnienia ma kapitalne znaczenie dla rozwoju matematycznego naszych uczniów.
Zaświadczam, że klasa przy tej pracy wre. Sypią się zewsząd różnorakie pomysły rozwinięć! Oczywiście zarówno błędne i dobre! Projektodawca w szybkim szkicu notuje swój projekt na tablicy, która zapełnia się coraz prędzej! Po wyczerpaniu projektów, poddajemy je zbiorowej krytyce klasy, w ten sposób klasyfikując na dobre i błędne. Dobre pomysły są samodzielnymi odkryciami uczniów i w tym ich wartość kształcąca i stąd radość w klasie i w duszy małego odkrywcy. Jeżeli klasa ma robić bryłę, każdy wybiera sobie albo własny kształt siatki, albo jakiś „ładniejszy”. Przy utrwaleniu lub powtórzeniu rysowania siatek uczeń obiera dowolne rozwiązanie, wszelka obojętność uczuciowa znika, zainteresowanie ożywia pracę dziecka.
Przypisy
1 Odcień tego poglądu pod nazwą Formenkuude rozpoczynać chce naukę od form naturalnych.
Lucjan Zarzecki w „Nauczaniu matematyki początkowej” na s. 50 (wydanie z 1920 r.) wyrażał ten san pogląd, mówiąc: „Nawet tacy wielcy pedagogowie jak Pestalozzi lub Herbart popełniali w tym względzie błąd zasadniczy, wychodząc z rozważań planimetrycznych. Samo pojęcie geometrii było tak związane z układem Euklidesa, że nawet ci tak krytyczni reformatorzy nauczania nie potrafili wyzbyć się sugestii wielkiego Greka.” Na s. 60 L. Zarzeckie rozważa zaś. tzw. „metodę konturów”.
2 Pogląd ten przepojony jest do głębi geometrią Euklidesa i jej elementami: punkt, prosta, płaszczyzna, przestrzeń.
Ludwika Jeleńska w „Metodyce pierwszych lat nauczania” na s. 250 (wydanie z 1927 r.), krytykując pierwszy pogląd dodaje, że w ten sposób (obrysowywania) „zagważdżamy” pojęcie linii prostej, tj. utrudniając dziecku zrozumienie różnicy między odcinkiem i linią. U L. Jeleńskiej znajdziemy piękne rozważania na temat wprowadzenia linii prostej, kąta (jako obrotu), kwadratu i prostokąta już w pierwszym roku nauki.
3 Cytowany już Zarzecki na s. 11 mówi: „Nauczania matematyki nie można uzależnić od interesów innych nauk, należy natomiast uzależniać od interesów rozwijającej się myśli ludzkiej”.
4 K. Cwojdziński, Jak pozyskać ucznia dla matematyki. „Muzeum” (nr 2/1926).
5 O „wytwarzaniu“ mówi Zarzecki na s. 52.
Patyczki można zastąpić drutem; wykonanie sześcianu z drutu dla sprytniejszych uczniów nasunie ciekawy problem: czy z jednego kawałka drutu, bez wracania się i bez podwojeń można (zginając drut) wykonać sześcian?
6 W przypadku zajęć szkolnych prowadzonych metodą rutynową (opisową) liczenie krawędzi przyniesionej przez nauczyciela bryły sześcianu jest często nieskuteczne – dziecko liczy bez żadnego porządku, często wodzi palcem dwa razy po jednej krawędzi, a inne opuszcza.
7 Zaprawianie do myślenia funkcyjnego, czego oczekują coraz częściej dydaktycy matematyki, ma się odbywać już w szkole powszechnej. Że to jest możliwe już od pierwszego roku nauki pokazał W. Borejko w pracy O myśleniu funkcyjnem w szkole („Przyjaciel szkoły”, nr 1/1927) podając ciekawe dyskusje zadań i przykładów.
8 Spotkać się można z innym sposobem rozwijania siatek a mianowicie przez rozcinanie gotowych brył.
9 Dowodem, że to rutynowe podejście daje się we znaki, jest artykuł Heleny Stattlerówny pt. Siatki sześcianu („Parametr”, nr 1/1930), która opowiada, jak jedna ze słuchaczek, mając lekcję na temat „siatka sześcianu“, napotkała w klasie znajomość jednego szablonu „krzyżyka”, podany kiedyś wcześniej na lekcjach prac ręcznych. Autorka podaje w swym artykule trzy rozwinięcia siatki sześcianu (numery 4. 7. i 10. z naszego rysunku).
10 Zainteresowany Czytelnik zechce z ołówkiem i kartką w ręku przekonać się, czy są to już wszystkie możliwe rozwinięcia, czy jeszcze jakieś pominięto.
Artykuł jest przeredagowaną wersją publikacji p. Saturnina Racinowskiego pt. Bryły geometryczne w nauce rachunków, wydrukowanej we włocławskim miesięczniku „Życie szkolne” (nr 4/1930, s. 170–177).
