Ian Ste­wart
Gabi­net mate­ma­tycz­nych zaga­dek. Część II
Wydaw­nic­two Lite­rac­kie. Kra­ków 2012

Jeśli ktoś miał już oka­zję poznać książ­kę Gabi­net mate­ma­tycz­nych zaga­dek autor­stwa Iana Ste­war­ta (recen­zja dostęp­na jest tutaj) i polu­bił roz­wią­zy­wa­nie łami­głó­wek oraz odkry­wa­nie mate­ma­tycz­nych cie­ka­wo­stek, to na pew­no z ogrom­ną przy­jem­no­ścią się­gnie tak­że po kon­ty­nu­ację. Część II posia­da wszyst­kie atu­ty poprzed­niej części.

Dodaj­my, że – wbrew temu, co może zasu­ge­ro­wać pol­ski tytuł – autor nie zapla­no­wał Gabi­ne­tu w dwóch czę­ściach. Ian Ste­wart we wstę­pie opo­wia­da o tym, jak po ogrom­nym suk­ce­sie pierw­szej książ­ki – został popro­szo­ny o napi­sa­nie kon­ty­nu­acji. Jej ory­gi­nal­ny tytuł to „Pro­fes­sor Ste­war­t’s Hoard of Mathe­ma­ti­cal Tre­asu­res”, co moż­na prze­tłu­ma­czyć dosłow­nie jako „Skar­biec mate­ma­tycz­nych skar­bów pro­fe­so­ra Ste­war­ta”. Pol­ski wydaw­ca zde­cy­do­wał się na tytuł „Gabi­net mate­ma­tycz­nych zaga­dek. Część II”.

Na język pol­ski książ­kę prze­ło­ży­ła Agniesz­ka Sobo­lew­ska (autor­ka prze­kła­du czę­ści I). Kon­sul­tan­tem pol­skie­go wyda­nia był Ste­fan Tur­nau1.

***

Sko­ro naj­lep­sze zagad­ki oraz naj­bar­dziej popu­lar­ne tema­ty poja­wi­ły się już w czę­ści I (autor pisze: „Nie­co mniej [miej­sca poświę­ci­łem] nato­miast wiel­kim pro­ble­mom czy­stej mate­ma­ty­ki, głów­nie dla­te­go, że w Gabi­ne­cie omó­wi­łem kil­ka tych napraw­dę sma­ko­wi­tych.”) , to czy siłą rze­czy część II jest gor­sza? Otóż nie, gdyż autor zna­lazł kolej­ne cie­ka­we tema­ty do przed­sta­wie­nia – kil­ka z nich przy­wo­łu­ję w tej recen­zji. Doświad­czo­ny miło­śnik mate­ma­ty­ki powi­nien więc zna­leźć tu wię­cej nowo­ści, tym razem w posta­ci mniej zna­nych ciekawostek.

Zagad­ki koń­czą się odno­śni­kiem do roz­wią­za­nia: „Odpo­wiedź na stro­nie x”, któ­ry odsy­ła nas do… Dokąd? Zacy­tu­ję auto­ra książki:

Spe­cjal­ny skła­dzik spryt­nych roz­wią­zań i sty­mu­lu­ją­cych suple­men­tów pro­fe­so­ra Ste­war­ta …gdzie docie­kli­wy lub zde­pry­mo­wa­ny czy­tel­nik znaj­dzie odpo­wie­dzi na te pyta­nia, któ­re według obec­ne­go sta­nu wie­dzy odpo­wie­dzi posia­da­ją… oraz, nie­od­płat­nie, garść fak­tów i fan­ta­zji gwo­li dal­szej przy­jem­no­ści, jak i oświecenia.

Odpo­wie­dzi zaj­mu­ją cza­sem nawet czte­ry strony.

Zdję­cie Auto­ra z 2017 roku (CC BY-SA 4.0)

Jed­nak i ci, któ­rzy nie prze­pa­da­ją za roz­wią­zy­wa­niem zaga­dek, znaj­dą w książ­ce coś dla sie­bie. We wstę­pie pro­fe­sor Ste­wart pisze:

Kie­dy grze­ba­łem w moim archi­wum, wybie­ra­jąc nowe mate­ria­ły do Gabi­ne­tu, podzie­li­łem – na wła­sny uży­tek – jego zawar­tość według róż­nych kate­go­rii: zagad­ki, gry, mod­ne słów­ka, humo­re­ski, naj­czę­ściej zada­wa­ne pyta­nia, aneg­do­ty, wyli­czan­ki, nie­sa­mo­wi­to­ści, fak­to­idy (nie­spraw­dzo­ne infor­ma­cje spo­pu­la­ry­zo­wa­ne przez media), żar­ty, cie­ka­wost­ki, para­dok­sy, folk­lor, tajem­ni­ce itd.

Wymie­nię przy­kła­do­we serie oraz zagad­nie­nia (według moje­go podzia­łu na kategorie).

Znaj­dzie­my wie­le serii obec­nych już w pierw­szej czę­ści. Książ­kę otwie­ra­ją Oso­bli­we obli­cze­nia. Tym razem dosta­je­my tyl­ko trzy poje­dyn­cze sztucz­ki, ogra­ni­cza­ją­ce się do „magicz­ne­go” mno­że­nia. Poja­wią się też dwa zada­nia logicz­ne (ze zda­nia­mi w rodza­ju: „Każ­de stwo­rze­nie jedzą­ce miód potra­fi grać na kob­zie.”), w któ­rych musi­my spraw­dzić, czy przed­sta­wio­na deduk­cja jest prawidłowa.

Spo­tka­my tu rów­nież posta­cie, któ­re poja­wi­ły się już w pierw­szej czę­ści, a któ­re tym razem utwo­rzą swo­je wła­sne mini­se­rie.

To podróż peł­na magii – momen­ta­mi dosłow­nie – gdyż Wiel­ki Chu­dy­ni (wraz ze swo­ją asy­stent­ką Gder­li­ną) poja­wia się aż osiem razy. Nie­trud­no odgad­nąć, że inspi­ra­cją był Har­ry Houdi­ni, jeden z naj­słyn­niej­szych ilu­zjo­ni­stów i spe­cja­li­stów od ucie­czek wszech cza­sów. My nie będzie­my jed­nak nigdzie ucie­kać, cha­rak­ter tych sztu­czek to przede wszyst­kim tzw. odgad­nie­nia. Pole­ga­ją one na tym, że jeśli uważ­nie prze­śle­dzi­my wyko­ny­wa­ne ope­ra­cje i obli­cze­nia, oka­że się, że wynik koń­co­wy wca­le nie zale­ży od począt­ko­wo pomy­śla­nej licz­by, albo ta licz­ba jest spryt­nie zaszy­fro­wa­na w osta­tecz­nym rezultacie.

Zapo­zna­my się rów­nież z histo­rią obli­czeń. Jak zapo­wia­da autor:

Wyja­śnię tak­że kil­ka kwe­stii histo­rycz­nych, jak cyfry babi­loń­skie, liczy­dło i egip­skie ułam­ki. Histo­ria mate­ma­ty­ki liczy sobie co naj­mniej 5000 lat, a odkry­cia doko­na­ne w dale­kiej prze­szło­ści są do dziś istot­ne, bo roz­wój tej dzie­dzi­ny opie­ra się na jej daw­nych sukcesach.

Liczy­dło japoń­skie (soro­ban) z począt­ków XX w.
źró­dło: Wiki­Me­dia (CC BY-SA 4.0)

I rze­czy­wi­ście – może­my prze­czy­tać o Sekre­tach liczy­dła; zatrzy­mać się Nad licz­ba­mi Babi­lo­nu; odkryć Egip­skie ułam­ki; a tak­że zoba­czyć, jak Mno­że­nie za pomo­cą lini­jek pro­wa­dzi do logarytmów.

W dru­giej czę­ści Gabi­ne­tu pozna­my też zupeł­nie nowe posta­cie. Mamy tu nową mini­se­rię, któ­rej boha­te­rem jest kapi­tan Roger Rudo­bro­dy. To seria czte­rech „pirac­kich” zadań, w któ­rych spró­bu­je­my m.in. zna­leźć Skarb Rudo­bro­de­go, czy roz­wią­zać zagad­kę Pię­ciu hisz­pań­skich dola­rów.

Histo­ria mate­ma­ty­ki to nie tyl­ko ewo­lu­cja sys­te­mów licz­bo­wych czy tech­nik obli­czeń. Dowie­my się rów­nież, skąd wzię­ły się nie­któ­re sym­bo­le, któ­re są obec­nie powszech­nie sto­so­wa­ne w mate­ma­tycz­nej nota­cji – bo prze­cież ktoś kie­dyś musiał je wymy­ślić. Te cie­ka­wost­ki prze­czy­ta­my w roz­dzia­łach: Kto wyna­lazł znak rów­no­ści? Skąd się wziął sym­bol pier­wiast­ka kwa­dra­to­we­go, licz­by pi oraz sil­ni?

Tra­fi­my też na kil­ka cał­kiem poważ­nych pro­ble­mów, ale o napraw­dę „dziw­nie” brzmią­cych nazwach. Twier­dze­nie o zacze­sa­niu sfe­ry mówi nam, że nie­ste­ty nie da się jej ucze­sać (cokol­wiek mia­ło­by to zna­czyć). Roga­ta sfe­ra Ale­xan­dra to taka nie­sfor­na sfe­ra, któ­rej „obszar zewnętrz­ny nie jest rów­no­waż­ny topo­lo­gicz­nie z obsza­rem na zewnątrz zwy­kłej sfe­ry”. Sam opis brzmi dość enig­ma­tycz­nie – dla­te­go war­to zoba­czyć ją na ilustracji.

Sfe­ra Ale­xan­dra to gra­ni­ca cią­gu zbio­rów. Rysu­nek poka­zu­je kil­ka począt­ko­wych.
„Każ­dą z [dwóch] rączek roz­sz­cze­pia­my na dwie (…) i powsta­łe odga­łę­zie­nia prze­pla­ta­my ze sobą. (…) Tę kon­struk­cję kon­ty­nu­uje­my induk­cyj­nie. Mając w n‑tym kro­ku 2n rączek (…) kon­stru­uje­my 2n+1 obej­mu­ją­cych się roz­ga­łę­zień.”
Rysu­nek i cytat pocho­dzą z arty­ku­łu K. Cie­siel­skie­go i Z. Pogo­dy z mie­sięcz­ni­ka Del­ta (nr 6 z 1987 r.)

Z kolei Twier­dze­nie o kanap­ce z szyn­ką pod­po­wia­da, że zawsze ist­nie­je takie cię­cie, któ­re podzie­li każ­dy skład­nik dokład­nie na pół (pod wzglę­dem obję­to­ści). Znaj­dzie­my rów­nież instruk­cję, Jak wywró­cić sfe­rę na lewą stro­nę.

W książ­ce popu­lar­no­nau­ko­wej nie mogło oczy­wi­ście zabrak­nąć naj­bar­dziej zna­nych tema­tów mate­ma­tycz­nych.

Poczy­ta­my o tym jak powsta­ją – i jak bywa­ją łama­ne – Taj­ne szy­fry („Zaszy­fro­wa­ne wia­do­mo­ści są tak sta­re jak samo pismo.”). A kie­dy już pozna­my odpo­wiedź na pyta­nie Kie­dy 2+2=0? („To aryt­me­ty­ka modu­lar­na, sze­ro­ko sto­so­wa­na w teo­rii liczb.”), będzie­my bar­dziej goto­wi na zaska­ku­ją­ce Taj­ne szy­fry, któ­re moż­na ujaw­nić publicz­nie2. Spo­tka­my tak­że Nie­koń­czą­ce się sumy, któ­re „nale­żą do naj­waż­niej­szych mate­ma­tycz­nych wyna­laz­ków”. A jeśli ktoś lubi filo­zo­ficz­ne roz­wa­ża­nia, to Para­dok­sal­ny Zenon z Elei przed­sta­wi nam swo­je para­dok­sy, czy­li zbiór „czte­rech eks­pe­ry­men­tów myślo­wych, z któ­rych każ­dy ma na celu udo­wod­nie­nie, że ruch jest nie­moż­li­wy”. Z kolei Butel­ka Kle­ina to „przy­kład powierzch­ni bez brze­gu i z tyl­ko jed­ną stro­ną”. (Czy­tel­ni­cy pierw­szej czę­ści „Gabi­ne­tu” zapew­ne pamię­ta­ją, że „wstę­ga Möbiu­sa ma jed­ną stro­nę, ale ma też brzeg”).

Nie­któ­re hasła pro­wa­dzą nas do napraw­dę wiel­kich pro­ble­mów mate­ma­tycz­nych i naj­bar­dziej zna­nych zagad­nień. Jed­nym z nich jest Lista prze­bo­jów Hil­ber­ta. („W 1900 roku nie­miec­ki mate­ma­tyk David Hil­bert wygło­sił słyn­ny wykład na Mię­dzy­na­ro­do­wym Kon­gre­sie Mate­ma­ty­ków w Pary­żu, w któ­rym wymie­nił 23 naj­waż­niej­sze pro­ble­my matematyki.”)

W dru­giej czę­ści Gabi­ne­tu poja­wia­ją się też frag­men­ty poświę­co­ne samej mate­ma­ty­ce (jako dzie­dzi­nie nauki). Znaj­dzie­my tu „zbior­cze” hasła z cyta­ta­mi, któ­re uka­zu­ją Mate­ma­ty­ków (a tak­że Nie­ma­te­ma­ty­ków) roz­my­śla­nia nad mate­ma­ty­ką, a tak­że dow­cip­ne Tech­ni­ki dowo­do­we. W książ­ce zosta­ła też zamiesz­czo­na zwię­zła i Krót­ka histo­ria mate­ma­ty­ki.

Innu­me­ra­tus i Mat­mo­fi­la – para bliź­nia­ków zna­na już z pierw­szej czę­ści – wra­ca tutaj ponow­nie i to aż pięć razy. To swe­go rodza­ju mate­ma­tycz­ne wyzwa­nia, któ­re pró­bu­ją nas zmy­lić (np. Bra­ku­ją­cy kawa­łek). Bar­dzo cie­ka­wym (i dłu­gim) hasłem jest tajem­ni­czo brzmią­ce Juni­per Gre­en. „-Zagraj­my w grę licz­bo­wą – zapro­po­no­wa­ła Mat­mo­fi­la. Innu­me­ra­tus, ten fra­jer, połknął haczyk”. Jak zakoń­czy­ła się ta histo­ria? Tego już dowie­my się z lektury.

Nową posta­cią jest „nie­ustra­szo­ny poszu­ki­wacz przy­gód i łow­ca skar­bów Colo­ra­do Smith”, wraz ze swo­ją pomoc­nicz­ką Brun­hil­dą. Opi­sy towa­rzy­szą­ce tym hasłom przy­wo­dzą na myśl fil­my o dziel­nych arche­olo­gach. Tro­chę szko­da, że autor umie­ścił w książ­ce tyl­ko dwa zada­nia z ich udziałem.

Coś dla sie­bie znaj­dą tak­że fani (zasto­so­wań mate­ma­ty­ki w) astro­no­mii. W czę­ści I pozna­li­śmy już odpo­wiedź na pyta­nie Jaki kształt ma sierp Księ­ży­ca? Teraz z hasła To tyl­ko taka faza dowie­my się, „kie­dy widocz­ny obszar to dokład­nie jed­na czwar­ta powierzch­ni księ­ży­co­wej tarczy”?

Wewnętrz­na kra­wędź tzw. sier­pa Księ­ży­ca to zawsze poło­wa jakiejś elip­sy (udo­wod­nio­ne w I. czę­ści „Gabi­ne­tu”). Kie­dy pole bia­łe­go sier­pa sta­no­wi ćwierć księ­ży­co­wej tar­czy, czy­li pola koła? Gdy pole elip­sy jest rów­ne poło­wie pola koła. Oka­zu­je się, że AC wyno­si wte­dy dokład­nie poło­wę AB.

Oba hasła uka­zu­ją nam prak­tycz­ne zasto­so­wa­nia geo­me­trii w wyja­śnia­niu zja­wisk, któ­re od tysiąc­le­ci przy­cią­ga­ły uwa­gę czło­wie­ka, a któ­re i dziś obser­wu­je­my na niebie.

Pozna­je­my tak­że odpo­wie­dzi na kolej­ne dwa z czę­sto zada­wa­nych pytań: Dla­cze­go nie mogę doda­wać ułam­ków tak, jak je mno­żę? oraz Ile to jest 0,999…?

***

Dru­ga część Gabi­ne­tu mate­ma­tycz­nych zaga­dek Iana Ste­war­ta to kolej­ne nie­sa­mo­wi­te wyzwa­nia dla miło­śni­ków łami­głó­wek – nowa por­cja nie­co­dzien­nych zaga­dek, któ­rych roz­wią­zy­wa­nie spra­wi spo­ro przy­jem­no­ści i satysfakcji.

Książ­ka napi­sa­na jest pro­stym, przy­stęp­nym języ­kiem, a lek­kość lek­tu­ry to w dużej mie­rze zasłu­ga prze­pla­ta­nia zaga­dek z opo­wie­ścia­mi. To nie tyl­ko świet­na zaba­wa peł­na cie­ka­wo­stek – to tak­że podróż przez mate­ma­tycz­ny świat, z któ­rej wycho­dzi­my bogat­si o nowe doświad­cze­nia i wie­dzę. Moż­na by rzec, że koń­czy­my ją z gło­wą peł­ną „mate­ma­tycz­nych skarbów”.

Wydaw­nic­two Lite­rac­kie po raz kolej­ny zadba­ło o atrak­cyj­ną opra­wę gra­ficz­ną książ­ki (wyda­nie pierw­sze, któ­re recen­zu­ję). Dla porów­na­nia – zamiesz­czam też okład­kę dru­gie­go wyda­nia (z 2021 roku).


1War­to wspo­mnieć, że Ste­fan Tur­nau (zmarł w stycz­niu 2025 roku) był wybit­nym dydak­ty­kiem mate­ma­ty­ki (dr hab.) oraz auto­rem i współ­au­to­rem wie­lu szkol­nych pod­ręcz­ni­ków z mate­ma­ty­ki i porad­ni­ków metodycznych.

2W komen­ta­rzu do tego hasła na s. 340, przy opi­sie pro­ce­du­ry RSA, znaj­du­je się drob­ny błąd w zda­niu: „Wybie­ra­my licz­bę cał­ko­wi­tą s (jak szy­fro­wa­nie) mię­dzy 1 a (p – 1)(q – 1), któ­ra nie jest wie­lo­krot­no­ścią p ani q.”. Popraw­ny waru­nek brzmi: s ma być licz­bą względ­nie pierw­szą z ilo­czy­nem (p – 1)(q – 1).