Tabliczka mnożenia metodą naturalną (cz. II)

Z punk­tu widze­nia psy­cho­lo­gii lepiej by było, gdy­by­śmy mogli zre­zy­gno­wać z wymo­gu opa­no­wa­nia tablicz­ki mno­że­nia, ale w meto­dy­ce naucza­nia nie moż­na zbyt­nio psy­cho­lo­gi­zo­wać. Na pew­no nie kosz­tem logi­ki i wymo­gów nauki szkol­nej. Tablicz­ka mno­że­nia jest koniecz­no­ścią, albo­wiem jest ona pod­sta­wą rachun­ku pamię­cio­we­go w zakre­sie mno­że­nia i dzie­le­nia, jest pod­sta­wą rachun­ku piśmien­ne­go. Musi więc być opanowana.

Część I arty­ku­łu znaj­du­je się tutaj.

***

Zasa­da stop­nio­wa­nia trudności
Zazwy­czaj w szko­le zaczy­na­my naukę tablicz­ki mno­że­nia od przy­kła­dów z mno­że­niem przez 2 (np. 2 × 6 w miej­sce 6 + 6). Po tym, co dotych­czas powie­dzie­li­śmy na temat wpro­wa­dza­nia poję­cia mno­że­nia, nie­sto­sow­ność takie­go podej­ścia dydak­tycz­ne­go od razu rzu­ca się w oczy. (Pró­ba uza­sad­nie­nia takie­go podej­ście zasa­dą stop­nio­wa­nia trud­no­ści jest chy­bio­na). Co inne­go, gdy roz­wią­za­nie jakie­goś zada­nia wyma­ga wie­lo­krot­ne­go doda­wa­nia jed­ne­go skład­ni­ka – wów­czas sto­so­wa­nie ope­ra­cji mno­że­nia ma sens. Zamiast 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 z pew­no­ścią lepiej powie­dzieć (zapi­sać) 8 × 5.

Naucze­nie się na pamięć ilo­czy­nów z mno­że­niem przez 2 nie spra­wi dziec­ku trud­no­ści. Ale z tego nie ma żad­nej korzy­ści, a są szko­dy. Dziec­ko się nasta­wi, że na lek­cjach rachun­ków „nie ma co rozu­mieć”, że tablicz­ka mno­że­nia to taki wier­szyk (wyli­czan­ka) w rodza­ju „erlicz­ki, per­licz­ki, czer­wo­ne guziczki”.

Zasa­da stop­nio­wa­nia trud­no­ści ma zasto­so­wa­nie w nauce tablicz­ki mno­że­nia, ale nie kosz­tem jasno­ści pojęć i celo­wo­ści pracy.

Naj­trud­niej­sze i naj­ła­twiej­sze iloczyny
Döring⁸ zba­dał, któ­re ilo­czy­ny tablicz­ki mno­że­nia nale­żą do naj­trud­niej­szych. Pole­cił w tym celu 351 oso­bom wypi­sać trzy przy­kła­dy z tablicz­ki mno­że­nia, któ­re uwa­ża­ją za naj­trud­niej­sze. Poniż­sza tabe­la przed­sta­wia infor­ma­cje o 10 naj­czę­ściej wska­zy­wa­nych iloczynach.

Jeśli wziąć pod uwa­gę tyl­ko jeden z czyn­ni­ków ilo­czy­nu, to roz­kład wska­zań ankie­to­wa­nych wyglą­da następująco:
• mno­że­nie przez 6 — 496 wskazań,
• mno­że­nie przez 8 — 427 wskazań.
• mno­że­nie przez 9 — 339 wskazań,
• mno­że­nie przez 6 – 251 wskazań,
• mno­że­nie przez 4 — 58 wskazań,
• mno­że­nie przez 5 — 27 wskazań,
• mno­że­nie przez 3 – 14 wskazań,
• mno­że­nie przez 1, 2, 10 – 0 wskazań.

Bada­nia te zna­la­zły potwier­dze­nie u Mey­era⁹, któ­ry doszedł do wnio­sku, że im bar­dziej ilo­czyn „odda­la” się od peł­nej dzie­siąt­ki, tym zada­nie jest trud­niej­sze, i wyróż­nił czte­ry gru­py ilo­czy­nów. Cechy cha­rak­te­ry­stycz­ne tych grup trud­no­ści – według nie­go – są następujące:
1. Czyn­ni­ki i ilo­czyn mają róż­ne cyfry, np. 8 × 9 = 72.
2. Jeden czyn­nik i jed­na cyfra ilo­czy­nu są iden­tycz­ne, np. 5 × 9 = 45.
3. Oba czyn­ni­ki są rów­ne, a cyfry ilo­czy­nu są inne, np. 9 × 9 = 81.
4. Rów­ne czyn­ni­ki i iden­tycz­na z nimi jed­na cyfra ilo­czy­nu, np. 6 × 6 = 36.

Spra­wę tę zba­dał rów­nież Korn¹⁰. Oto jego wyniki:

Wyni­ki wszyst­kich przy­wo­ła­nych badań mniej wię­cej pokry­wa­ją się.

Efek­tyw­ność w nauce tablicz­ki mno­że­nia zale­ży od zaan­ga­żo­wa­nia pamię­ci, od intu­icji i rozu­mie­nia licz­by, od myśle­nia, od spo­strze­gaw­czo­ści, od zdol­no­ści mne­mo­tech­nicz­nych, od rymu i ryt­mu. Że pamięć odgry­wa rolę, o tym świad­czy fakt, że ilo­czyn 8 × 8 jest łatwiej­szy, niż 7 × 8, bo trze­ba zapa­mię­tać mniej­szą licz­bę ele­men­tów. O uła­twie­niu nauki przez rym i rytm świad­czy fakt, że ilo­czy­ny 6 × 6 = 36, lub 5 × 5 = 25 nale­żą do naj­ła­twiej­szych. O zależ­no­ści od rozu­mo­wa­nia świad­czy fakt, że 18 osób nie uwa­ża­ło za trud­ne 9 × 8, mimo że 8 × 7 spra­wia­ło im trud­ność. Widocz­nie sto­su­ją tu w myśli zasa­dę roz­dziel­no­ści, zmie­nia­jąc 9 × 8 na (10 — 1) × 8. 

O cie­ka­wym zasto­so­wa­niu mne­mo­tech­ni­ki prze­ko­na­łem się, gdy mi jeden uczeń zwró­cił uwa­gę, że 7 × 8 = 56 jest łatwe, bo są tu cyfry 5, 6, 7, 8, nie­co prze­sta­wio­ne, i że 6 × 4 = 24 jest rów­nież łatwe: 4 łatwo zapa­mię­tać, bo tu 4 (dru­gi czyn­nik) i tu 4 (dru­ga cyfra ilo­czy­nu), a 2 = 6 — 4. 

Naj­ła­twiej­sze jest mno­że­nie przez 3, 5 i 4. Kie­ru­jąc się zasa­dą stop­nio­wa­nia trud­no­ści, nale­ża­ło by zacząć naukę tablicz­ki mno­że­nia od przy­kła­dów z mno­że­niem przez 3. W prak­ty­ce jed­nak lepiej jest roz­po­cząć od mno­że­nia przez 5, bo na przy­kła­dzie tej licz­by łatwiej jest wpro­wa­dzić ope­ra­cję mno­że­nia, gdyż mamy natu­ral­ne pomo­ce nauko­we: 5 pal­ców, pię­cio­gro­szów­ki, pię­cio­zło­tów­ki. Dzię­ki nim dzie­ci mają ćwi­czyć doda­wa­nie po pięć.

Kolej­ność liczb w przy­kła­dach ilo­czy­nów pod­czas nauki tablicz­ki mno­że­nia powin­na być nastę­pu­ją­ca: 5, 3, 4, 6, 9, 8, 7.

Ilo­czy­nów z mno­że­niem przez 1, 2 i 10 nie będzie­my spe­cjal­nie uczyć. Dzie­ci rozu­mie­ją­ce poję­cie mno­że­nia same się tego nauczą.

Po opra­co­wa­niu tablicz­ki mno­że­nia przez 6 moż­na poświę­cić czas przy­kła­dom z mno­że­niem przez 10, żeby w kolej­nym eta­pie mieć moż­li­wość zwró­cić dzie­ciom uwa­gę na uła­twie­nie mno­że­nia przez 9 (gdyż 9 = 10 — 1).

Tak opra­cu­je­my całą tablicz­kę mnożenia.

Eks­pe­ry­men­ty. Una­ocz­nie­nie iloczynów
Naukę każ­de­go z ilo­czy­nów roz­pocz­nie­my od licze­nia na kon­kre­tach, by zain­te­re­so­wać dzieci.

Wyobraź­my sobie, że mamy 8 rzę­dów po 7 guzi­ków przy­cze­pio­ne na kar­to­nie. Zada­nie pole­ga na poli­cze­niu wszyst­kich guzi­ków. Być może dzie­ci zaczną od licze­nia po jed­nym. Nie broń­my im tego. Szyb­ko „poła­pią” się, że jest łatwiej­szy spo­sób, że moż­na liczyć po 7 i wkrót­ce doli­cza­nie po 7 sta­nie się dla nich tak oczy­wi­ste jak licze­nie po 10.

Spo­so­bów jest wie­le. Moż­na usta­wiać dzie­ci w sió­dem­ki (dla­cze­go zawsze tyl­ko nud­ne pary, a na wiel­kie „świę­to czwórki”?)

Zasa­dą jest, że każ­dy ilo­czyn musi być opra­co­wa­ny eks­pe­ry­men­tal­nie. Nie wystar­czy for­mu­ła słow­na. Zanim dziec­ko się nauczy, że 6 × 7 = 42, musi się nauczyć uło­żyć 6 razy po 7 guzi­ków, nary­so­wać 6 razy po 7 kółe­czek itd. Potem musi umieć napi­sać i wypo­wie­dzieć zada­nie na pod­sta­wie oglą­da­nia rysun­ku 6 rzę­dów po 7 kółek, uło­żo­nych w rzę­dach piłe­czek, usta­wio­nych odpo­wied­nio pude­łek itp. Dopie­ro potem niech się nauczy na pamięć, że 6 × 7 = 42 na pamięć.

I jesz­cze jed­na suge­stia – niech dziec­ko spo­tka się i z takim przy­pad­kiem, że ma kil­ka rzę­dów o nie­rów­nej ilo­ści ele­men­tów i niech się prze­ko­na, że z tego nie moż­na zro­bić iloczynu.

Gdy dzie­ci w opi­sa­ny wyżej spo­sób opra­cu­ją każ­dy ilo­czyn, będzie­my mie­li pew­ność, że rozu­mie­ją co zna­czy mno­żyć i nie będą „mie­sza­ły” w zada­niach mno­że­nia z dzie­le­niem lub nawet z doda­wa­niem. I nauczą się tablicz­ki mno­że­nia. Nabio­rą pew­no­ści i dokład­no­ści, potra­fią sobie każ­de zada­nie wyobra­zić i szyb­ko w myśli prze­li­czyć, jeśli nie będą umia­ły na pamięć. To wystarczy.

„Tak! Ale na to nie ma cza­su!” – ktoś powie. Odrzuć­my to wszyst­ko, co na lek­cji zupeł­nie nie­po­trzeb­ne (na co tra­ci­my czas…), a znaj­dzie się czas na racjo­nal­ną naukę i przy naszej pomo­cy dziec­ko nabę­dzie dokład­no­ści, pew­no­ści i zarad­no­ści w tablicz­ce mnożenia.

Teraz kolej na bie­głość. To się osią­gnie przez sto­so­wa­nie w kla­sach III i IV. Zmie­rza­my do opa­no­wa­nia pamię­cio­we­go, ale nie natych­miast. (Uczeń w kla­sie II zapy­ta­ny o ilo­czyn 7 × 8, odpo­wie po namy­śle. W cza­sie namy­słu może sobie wyobra­zić 7 rzę­dów po 8 guzi­ków, znacz­ków itp.).

Uła­twie­nia w nauce nie­któ­rych iloczynów
Pamię­cio­we opa­no­wa­nie tablicz­ki mno­że­nia powin­no w zasa­dzie nastą­pić przez sto­so­wa­nie. Nauczy­ciel może jed­nak uła­twić ucznio­wi i przy­spie­szyć pro­ces zapa­mię­ta­nia przez uzmy­sło­wie­nie im kil­ku uła­twień (pra­wi­dło­wo­ści).

Naukę ilo­czy­nów z mno­że­niem przez 5 moż­na oprzeć na mno­że­niu przez 10. Prze­cież 4 × 5 = 2 × 10. Podob­nie 6 × 5 = 3 × 10, nato­miast 7 × 5 = 3 × 10 + 5. Zysku­je się na tym pod­sta­wę przy­go­to­waw­czą do nauki aryt­me­ty­ki – ilo­czyn się nie zmie­nia, gdy jeden czyn­nik zwięk­szy­my, dru­gi zmniej­szy­my tę samą ilość razy. (Nie potrze­bu­ję doda­wać, że tego twier­dze­nia nie wypo­wia­da­ją dzie­ci, że tyl­ko uzy­sku­ją pod­sta­wę do zro­zu­mie­nia tego we wła­ści­wym czasie).

Naukę ilo­czy­nów z mno­że­niem przez 6 moż­na na rów­no­ści 6 = 5 + 1. Więc 6 × 8 = 5 × 8 + 8. Odkry­cie tego uła­twie­nia nie spra­wia trud­no­ści dzie­ciom, któ­re mają wyobra­że­nie rzę­dów uzmy­sła­wia­ją­cych mno­że­nia. Ana­lo­gicz­nie 9 × 8 = 10 × 8 – 8 = 10 — 1.

Nie­któ­re z tych uła­twień dzie­ci mogą same odkryć, o czym może świad­czyć fakt, że mno­że­nie przez 9 jest łatwiej­sze, niż np. mno­że­nie przez 8.

Pod­su­mo­wa­nie
Na koniec zacy­tu­ję kil­ka zdań z książ­ki Lucja­na Zarzec­kie­go: „Tablicz­ka mno­że­nia ma wiel­kie zna­cze­nie w rachun­ku, a dobre jej przy­swo­je­nie, tj. takie, któ­re jed­no­cze­śnie wpły­wa na roz­wój umy­sło­wy dzie­ci, wyma­ga spo­ro cza­su. (…) Nauczy­ciel winien wszyst­kie środ­ki wyzy­skać, aby umo­co­wać, że tak powiem, tablicz­kę mno­że­nia w pamię­ci dzie­ci i to nie tyl­ko przez czę­ste powta­rza­nie, ale i przez powo­ła­nie do pomo­cy środ­ków uzmy­sła­wia­ją­cych tam, gdzie moż­na i nade wszyst­ko logicz­nych czyn­ni­ków. (…) [T]ym samym stwo­rzy­my pod­sta­wę do tego, by uczeń wie­rzył nie tyl­ko śle­pej pamię­ci, ale i wła­snej gło­wie”. (L. Zarzec­ki, Naucza­nie rachun­ku począt­ko­we­go. War­sza­wa 1916)

dr Igna­cy Kiken

Pier­wot­na wer­sja tek­stu pt. Ucze­nie się natu­ral­ne tablicz­ki mno­że­nia uka­za­ła się w „Mie­sięcz­ni­ku Peda­go­gicz­nym” (nr 2 z 1939 r.)

⁸ M. Döring, Zur Psy­cho­lo­gie des kle­inen Ein­ma­le­ins. „Zeit­schrift für päda­go­gi­sche Psy­cho­lo­gie und Jugend­kun­de”, 13/1912.
⁹ M. Mey­er, Beiträge zur Psy­cho­lo­gie des kle­inen Ein­ma­le­ins. „Zeit­schrift für päda­go­gi­sche Psy­cho­lo­gie und Jugend­kun­de”, 14/1913.
¹⁰ G. Korn, Über Rechen­le­istung und Rechen­feh­ler. Eine pädagogisch-psychologische Unter­su­chung. „Zeit­schrift für ange­wand­te Psy­cho­lo­gie”, 25/1926.